1、2016 届江西省高安市第二中学高三上学期第二次段考数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ,且 ,则 （ ） 2log(1)Mx6Nxa2MNbaA. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】D【解析】试题分析：根据题意可知 ，根据 ，可知 ，所以有 ，故选(0,5)2,Nb2,5abab7D.考点：集合的运算.2.命题： 的否定是 （ ）,2sin1“xR“A B ,2sin1xRC D six 【答案】D【解析】试题分析：根据特称命题的否定形式是全称命题，并且
2、是其结论的反面，只有 D 正确，故选 D.考点：特称命题的否定.3.将函数 的图像向左平移 个单位长度，所得函数是 （ ）sin2yx4A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【解析】试题分析：根据题意，图像变换以后所得的函数为 ，所以是偶函数，故选 B.sin2()cos24yxx考点：函数的图像变换，函数的奇偶性.4.若 01xy,则 （ ）A log3lxy B 3yx C 44loglyD 1()4xy【答案】C【解析】试题分析：根据函数的性质，可知 ，故选 C.441log3,logl,()yxxyx y考点：指对函数的性质.5.函数 的图象大
3、致是 （ ）)2(coslg)(21xxf【答案】C考点：函数图像的选取.6.已知 ，则 （ ）(tan)sicofxx(2)fA. B C D25354545【答案】A【解析】试题分析：根据题意， ，所以 ，故选 A.(tan)sicofxx222sincotan1x(2)f5考点：函数值的求解.7.已知 ， 则 （ ）1sin()632s()3A B C D7991979【答案】A【解析】试题分析： ，故选 A.2cos()327cos(2)sin()1369考点：诱导公式，倍角公式.8.已知 R 上可导函数 )(xf的图象如图所示，则不等式 0)(32(xfx的解集为（ ）A ),1()
4、2,( B )2,1(,(C 20D ),3(),(【答案】D【解析】试题分析：根据题意， 在 上大于零，在 上小于零，在 上大于零，而()fx,1)(1,)(1,)在 上大于零，在 上小于零，在 上大于零，所以23x(,1(330)(xf的解集为 ),(),，故选 D.考点：不等式的解集.9.已知 ，且 ，则 等于 （ ）21)4tan()4sin(co2A. B. C. D.52105352103【答案】C【解析】试题分析：根据题意，有 ，解得 ，结合角的范围从而可以求得 ，1tan2tan310cos所以 ，故选 C.)4sin(co2s(icos)2cosn5考点：和角公式，同角三角函
5、数关系式，倍角公式.10.设函数 ，则函数 的零点的个数为( ) 1,(,2)()()2xff()1FxfA. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C考点：函数的零点.11.定义两个实数间的一种新运算“*”： lg10,xyxyR.对任意实数 ,abc，给出如下结论： cba*； ab*； *abc； 其中正确的个数是 （ ）A 0 B1 C2 D3【答案】D【解析】试题分析：根据题中所给的条件，结合对数式的运算法则，可知三个结论都是正确的，故选 D.考点：新定义运算，对数的运算法则.12.对于函数 ()fx与 g和区间 D，如果存在 0x，使 0()1fxg，则称 0x是函数 ()fx与
6、()gx在区间 D 上的“友好点” 现给出两个函数： 2f， 2)(x； ()fx， ()2x； xe)(， 1g； ， g， ln则在区间 0,上的存在唯一“友好点”的是 （ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：根据题意，函数在区间 上存在友好点的条件是 的最小值小于等于 ，而两个函()fxg1数在区间 0,上的存在唯一“友好点” ，等价于其最小值就是 ，中 满足12()()fxx条件，中 ，没有友好点，中 存在无217()()4fxgx()xxfge数个友好点，中 ，在 处取得最小值 ，故答案为 B.flnlnx1x1考点：新定义.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分
7、 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 ，则 的值为 123log(6)3xef()f【答案】【解析】试题分析：根据题意， ， ，故答案为 .3()log1f()3f考点：求函数值.14.已知 cos ，cos( ) 且 (0， )， ( ，)，则 cos 的值为_17 1114 2 2【答案】 2【解析】试题分析：根据题意， ， ，所以53sin()143sin7cos().cos()i()i5419182考点：同角三角函数关系式，差角公式.15.已知函数 是定义在(0,+)上的单调函数,若对任意 x(0,+),都有 ,则()fx 21xf的值是 51f【答案】 6【解析】试题分析：由于
8、 为单调函数,又 恒为常数，得知 恒为常数，令()fx1()fx1()fx由 得知 ，把 带入 中，得到1()0fxa()2f2faaa， ，解得 ， ， 带入得到 .21a()x5x()65f考点：函数求值.16.已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是 .32()1fxa()fxx0a【答案】 2【解析】试题分析：根据题中函数特征，当 时，函数 显然有两个零点且一正一负; 当0a2()31fx时，求导可得： ，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：0a2()36fxx和 时函数单调递增; 时函数单调递减，欲要使得函数有唯一的零点且为(,)x2,a(,)a负，则满足 ，可解得
9、： ，则 或 （舍去）; 当32(0)1( 0ffa 242a时，求导可得： ，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：0a2()63()fxx和 时函数单调递减; 时函数单调递增，显然存在正零点，故答案为2(,)x0,2,a.考点：.函数的零点，导数在函数性质中的运用，分类讨论的运用.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（满分 10 分）设 实数 满足 ，其中 .：px0)3(ax实数 满足 .：qx01582（1）若 且 为真，求实数 的取值范围；aqpx（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.a【答案】 （1） ；3
10、2x（2） .a【解析】试题分析：根据题意，现将命题 所对应的不等式组的解集先确定好，第一问将 代入求得命题 所q 1ap对应的不等式的解集求出来，之后两集合求交得到实数 的取值范围，第二问根据 是 的必要不充分条xpq件，所以有不等式组的解集是不等式的解集的真子集，从而求得实数 的取值范围.试题解析：依题意知： 2 分axp3:，所以 ，即 . 4 分0)5(342:xq542或 32x（1）当 时，a31:xp要使 为真，则须满足 ，解得： ； 8 分q232x（2） 是 的必要不充分条件 p),(),a，解得： . 10 分3a1a考点：一元二次不等式及不等式组，复合命题真值表，充要条件
11、.18.（满分 12 分）已知函数 f(x)(1 )sin2x msin(x )sin(x )1tanx 4 4(1)当 m0 时，求 f(x)在区间 ， 上的取值范围； 8 34(2)当 tan 2 时， f( ) ，求 m 的值35【答案】(1) ；(2) m2【解析】试题分析：第一问先将 m0 代入函数解析式，再进一步化简，利用倍角公式和辅助角公式，将函数解析式化简为 f(x) sin(2x ) ，根据题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的范围，进一步确定22 4 12出函数在给定区间上的值域，从而求得结果，第二问利用倍角公式和辅助角公式将函数解析式化简函数解析式 f(x) ，根据 t
12、an 2，利用同角三角函数关系式和倍角公式，求得12 12sin2 ， cos2 ，代入求得 m 的2sin cossin2 cos2 2tan1 tan2 45 cos2 sin2sin2 cos2 1 tan21 tan2 35值.试题解析：(1)当 m0 时， f(x)sin 2xsin xcosx (sin2xcos2 x) sin(2x ) .12 12 22 4 12又由 x ， ，得 2x ，所以 sin(2x )， 8 34 4 4从而 f(x) sin(2x ) 22 4 12(2)f(x)sin 2xsin xcosx cos2x sin2x cos2xm2 1 cos2x
13、2 12 m2 ，12 12由 tan 2，得 sin2 ，2sin cossin2 cos2 2tan1 tan2 45cos2 .cos2 sin2sin2 cos2 1 tan21 tan2 35所以 (1 m) ，得 m235 1245 35 12考点：倍角公式，辅助角公式，同角三角函数关系式，函数的性质.19.（满分 12 分）若直线 )0(y是函数2 3()3cosincos()2fxxx的图象的一条切线，并且切点横坐标依次成公差为 的等差数列.（）求 和 m的值； （）在 中， 分别是 的对边若 0)2A（ ， 是函数 )(xf图象的一个对称中心，且ABCcba,CBA,，求 的
14、最大值4a【答案】 （） 1,；（） .8【解析】试题分析：第一问先利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用切点横坐标依次成公差为 的等差数列，所以其周期是 ，利用公式求得 ，利用 )0(my是切线，所以 ，第二问结合函数11m的性质，利用余弦定理，结合基本不等式求得结果.试题解析：（） ，3 分cos23in=cos(2)6xxx f(x)=3由 的图象与直线 )0my相切，得 1 4 分f(x)切点横坐标依次成公差为 的等差数列，所以周期 , 所以 1, 6 分T（）由（）知 ， ，cos(2)6x f)=2,6xkxkZ 令 得点 0)2A（ ， 是函数 (f图象的一个对称中心，又
15、A 是ABC 内角， . ,3A a=4,由余弦定理得 ，222cos()3abbc，又 ，2)316bc即 ( 2)（12 分22()-,(84cb（ ）考点：倍角公式，辅助角公式，余弦定理，基本不等式.20.（满分 12 分）函数 ，过曲线 上的点 P 的切线方程cxaxf23)( )(xfy)1(f，（为 .13xy（1）若 在 时有极值，求 的表达式；)(f2x)(xf（2）在（1）的条件下，求 在上的最大值；)(fy（3）若函数 在区间上单调递增，求实数 b 的取值范围.)(fy【答案】 （1） ；3245xx（2） ；（3） .0b【解析】试题分析：第一问利用切点在曲线上以及导数的
16、几何意义和极值点的特点，建立等量关系式，求得参数的值，从而确定出函数解析式，第二问利用导数，确定出函数在给定区间上图像的走向，从而确定出函数的最大值，第三问函数在给定区间上单调增，等价于导数在给定区间上大于等于零恒成立，转化为最值问题，利用基本不等式求得结果.试题解析：（1）由 得 ，cbxaxf23)( baxf23)(过 上点 的切线方程为 ，)(xfy1,P)11y即 .)(cba而过 上点 的切线方程为 ，)(f),f 3x故 3 分024132cbacba即 在 处有极值，故)(xfy.124-2- baf，）（联立解得 . 4 分5)(,5,23xx(2) ，令 得43)(f 0)
17、(f .3x或列下表：因此， 的极大值为 ，极小值为 ，)(xf 13)2(f 2795)3(f又 在 上的最大值为 13.8 分,41,83xf,（3） 在 上单调递增，又 ，)(xfy1,3baxxf23)(由（1）知 ，依题意在 上恒有 ，即 即bxfba2)(.02 1,0)(xf 032bx在 上恒成立.当 时恒成立；当 时， ，此时)(b,1),613)(132xx而 当且仅当 时成立)0,()( 0x613x要使 恒成立，只须 .12 分)(b0b考点：导数的应用，基本不等式.21.（满分 12 分）已知函数 对任意的实数 、 都有 ,且当fxxy1fxyffy0x时, .1fx
18、(1)求证:函数 在 上是增函数；fR(2)若关于 的不等式 的解集为 ,求 的值.x25fxafm|32xm(3)若 ，求 的值1f(01)f【答案】 （1）应用定义证明，过程略；（2） ；m（3） 06【解析】试题分析：第一问应用单调性的定义来证明即可，第二问应用函数的单调性，将不等式转化为，根据其解集，利用两个和与两根积求得 的值，第三问根据题中的条件，求得250xamm，从而求得 .()1fn(215)06f试题解析：（1）证明：设 ，则 ，从而 x21x21()fx21()0fx故 在 R 上是增函数2121()fxf1 1()ff(2)不等式为 .则 , 即 .5xam25xam25xam6 分不等式 的解集为 ,2ff|3
