1、 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 ， ，则 的元素个数是（ ）|2AxZ2|1,ByxABA5 B4 C3 D无数个2.已知 为虚数单位，若复数 ，则（ ）iizi:A1 B C D223.随机变量 ，则 （ ）0,1N:PA0.0215 B0.1359 C0.1574 D0.2718（参考数据： ， ，0.68220.954P） 3.974P4.在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 ABC为（ ）ABC, ,abcosA钝角三角形 B直角三角形 C.锐角三角形
2、 D等边三角形5.按下图所示的程序框图运算：若输出 ，则输入 的取值范围是（ ）2kxA. B C. D20,530,5730,228,576.已知数列 满足：当 时， ppqa，则 na的前 10 项和 （ na1,pqNq 10S）A31 B62 C. 170 D10237.已知函数 的图象如图所示，则 fx的解析式可能是（ ）fxA 312fxx B C. D312fxx312fxx8.已知 是双曲线 上的不同三点，且 连线经过坐标原点，若直线 的斜率乘,BP21xyabAB,PAB积 ，则该双曲线的离心率 （ ）3Ak:eA B C. D521510229.平面直角坐标系中，不等式组
3、（ 为常数）表示的区域面积等于 3，则 的值为（ ）10xyaaaA-5 B-2 C.2 D510.如图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 ， 在圆 上，点 的坐标为 1,2，点 位于第一OxABCOBC象限， ，若 ，则 （ ）C523sincos2A B C. D 25552511.如图 1，已知正方体 的棱长为 ，动点 分别在线段上 ， ，1ACDaMNQ、 、 1ADBC上，当三棱锥 的俯视图如图 2 所示时，三棱锥 的正视图面积等于（ ）CDQMNBAB C. D21a214a24a234a12.已知函数 ， ，对 ， ，使得 ，则 的2xfe1lngxR0,bfagba最小值为（
4、）A B C. Dln12l12e1e第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.设 ，则 25501111xaxaax125a14.关于 的方程 有三个不同示数解，则实数 的取值范围为 30pp15.已知 外接圆的圆心为 ，且 ，则 ABCO320ABOCA16.已知圆 和两点 ， ，若圆上存在点 ，使得22:341xy,m,P，则 的取值范围是 90Pm三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）已知 为数列 的前 项和满足 ， .nSna0na243nnaS（）求
5、 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和.1nbanb18.（本小题满分 12 分）为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为 100 分）进行统计，制成如下频率分布表.（）求出上表中的 的值；,xyzsp（）按规定，预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序已知高一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格 .求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；记高一（2）班在决赛中进入前三位的人
6、数为 ，求 的分布列和数学期望.X19.（本小题满分 12 分）如图，在斜三棱柱 中，侧面 与侧面 都是菱形，1ABC1AC1BC， .11602（）求证： ；1ABC（）若 ，求二面角 的余弦值.61AB20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 32，其左顶点 在圆 上.2:10xyWabA2:16Oxy（）求椭圆 的方程；（）若点 为椭圆 上不同于点 的点，直线 与圆 的另一个交点为 ，是否存在点 ，使得PAPQP？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由3QA21.（本小题满分 12 分）已知函数 ，在 处的切线与直线 垂直，函数 .lnfxax120xy21gxfxb（）求
7、实数 的值；（）设 ，是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小值.122,g7b12请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 （ 为参数） ，曲线 （ 为参数）.1,2:3.xtly1cos,:inxCy（）设 与 相交于 两点，求 ；l1C,AB（）若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线 ，设点1 12322C是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值.P2 l23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 .2fxx（）求不等式 的解
8、集；f（）若 ， 恒成立，求实数的取值范围 .xR27t试卷答案一、选择题1-5:CBAD 6-10:BAD 11、12： BA二、填空题13. 31 14. 3p 15. 23 16.4,6三、解答题17.解：（）当 时， ，因为 ，所以 ，1n2114aSa0n13a当 时， ，2n2 3nnna即 ，因为 ，所以 所以数列 是首项为 3，公差111n012nn18.（）由题已知，由 上的数据，80,9根据样本容量，频率和频数之间的关系得到 ，1650.32n， ， ， ，90.15x y6z0.sp（）由（）知，参加决赛的选手共 6 人，设“甲不在第一位，乙不在第六位”为事件 ，A则 ，
9、所以甲不在第一位，乙不在第六位的概率为 .514670AP 710随机变量 的可能值为 0,1,2X， 142365CAPX， ，2436105A 24356APX0 1 2P因为 ，所以随机变量 X的数字期望为 1.3155EX19.（）证明：连 ， ，则 和 皆为正三角形.1ACB1AC1B取 中点 ，连 ， ，1CO则 ， ，则 ，则 .111O平 面 1A（）由（）知， ，又 ，13OAB16A所以 ，如图所示，分别以 ， ， 为正方向建立空间直角坐标系，1OC则 ， ， ，0C， ， ,0， ， ，设平面 的法向量为 ，因为1AB1,mxyz， ，13, 3C所以 ，取 .11030
10、xyz1,设平面 的法向量为 ，因为 ， ，1AB2,nxy13,0AB10,2A所以 ，取 .22113030xyz,n则 ，因为二面角 为钝角，cos, 5mn: 1CAD所以二面角 的余弦值为 .1CAB1020.解：（1）因为椭圆 的左顶点 在圆 2:16Oxy上，令 ，得 ，所以 .又离心WA0y4xa率为 ，所以 ，所以 ，所以 .3232cea3c224bac所以 的方程为 .164xy（2）设点 ， ，设直线 的方程为 ，1,P2,QAP4ykx与椭圆方程联立得 ，2164ykx化简得到 ，因为-4 为方程的一个根，2221360kxk所以 ，所以2134kx2146kx所以2
11、8APk因为圆心到直线 的距离为 ，241kd所以 .2226816AQk因为 ，1PAQP代入得到 ，222 2843114kkAPk显然 ，所以不存在直线 ，使得 .231kAP3Q21.解：（） ，lnfxax1afx 与直线 垂直， ， .20y1|2xky （） ，所以令 ，21bgx 0gx， .12b 122 21211 2lnln1gxxbxxb.21 112122lnl，所以设 ， ，120x120xtt1ln012httt，所以 在 单调递减，22thtt t,又 72b， ，514即 .2114xxt， ， ， ，0t2470t 1t 152ln48ht故所求的最小值是 .15ln822.（）直线的普通方程为 31yx， 的普通方程 .C21xy联立方程组 ，解得 与 的交点为 ， ，则 .231,yxl1,0A3,B1AB（）曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，故点 的坐标是 ，2Ccos,23in,yP3cos,in2从而点 P到直线 的距离是 ，lcosi322sin244d由此当 时， 取得最小值，且最小值为 .sin14 6123.解：（1） ，,32,xf当 ， ， ，x426x当 ， ， ，1323x当 ， ， ，2综上所述 .|63x或（2）易得 ，若 ， 恒成立，min13fxfxR21ft则只需 ，22i7360tt综上所述 .32t
