1、第五讲 线性代数中的数值计算问题,【引 例 】求下列三阶线性代数方程组的近似解,MATLAB程序为： A=2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4； b=5;6;5； x=Ab,在MATLAB命令窗口，先输入下列命令构造系数矩阵A和右端向量b： A=2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4 A = 2 -5 41 5 -2-1 2 4 b=5;6;5 b = 565 然后只需输入命令x=Ab即可求得解x： x=Ab x = 2.76741.18601.3488,一、 特殊矩阵的实现,1.零矩阵:所有元素值为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵可以用zeros函数实现。zeros是MATLAB内部函数，使
2、用格式如下： zeros(m)：产生m m阶零矩阵； zeros(m,n)：产生m n阶零矩阵，当m=n时等同于zeros(m)； zeros(size(A)：产生与矩阵A同样大小的零矩阵。,一、 特殊矩阵的实现,常见的特殊矩阵有零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、三角形矩阵等，这类特殊矩阵在线性代数中具有通用性；还有一类特殊矩阵在专门学科中有用，如有名的希尔伯特(Hilbert)矩阵、范德蒙(Vandermonde) 矩阵等。,2.幺矩阵:所有元素值为1的矩阵称为幺矩阵。幺矩阵可以用ones函数实现。它的调用格式与zeros函数一样。 【例1】 试用ones分别建立32阶幺矩阵、和与前例矩阵A同样大小
3、的幺矩阵。 用ones(3,2) 建立一个3 2阶幺阵： ones(3,2) % 一个32阶幺阵 ans =1 11 11 1,一、 特殊矩阵的实现,3.单位矩阵:主对角线的元素值为1、其余元素值为0的矩阵称为单位矩阵。它可以用MATLAB内部函数eye建立，使用格式与zeros相同。 4.数量矩阵:主对角线的元素值为一常数d、其余元素值为0的矩阵称为数量矩阵。显然，当d=1时，即为单位矩阵，故数量矩阵可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。,一、 特殊矩阵的实现,5.对角阵:对角线的元素值为常数、其余元素值为0的矩阵称为对角阵。我们可以通过MATLAB内部函数diag，利用一个向量
4、构成对角阵；或从矩阵中提取某对角线构成一个向量。使用 格式为diag(V)和diag(V,k)两种。,6.用一个向量V构成一个对角阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个mm阶对角阵，其主对角线的元素值即为向量的元素值；diag(V,k)将产生一个nn(n=m+|k|，k为一整数)阶对角阵，其第k条对角线的元素值即为向量的元素值。注意：当k0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k0，该对角线位于主对角线的下方第|k|条；当k=0，则等同于diag(V)。用diag建立的对角阵必是方阵。,一、 特殊矩阵的实现,【例2】已知向量v，试建立以向量v作为主对角线的对角阵A；建立分别以
5、向量v作为主对角线两侧的对角线的对角阵B和C。 MATLAB程序如下：,v =1;2;3; % 建立一个已知的向量A A=diag(v) A= 1 0 00 2 00 0 3 B=diag(v,1) B = 0 1 0 00 0 2 00 0 0 30 0 0 0 C=diag(v,-1) C = 0 0 0 01 0 0 00 2 0 00 0 3,% 按各种对角线情况构成相应的对角阵A、B和C,一、 特殊矩阵的实现,7.从矩阵中提取某对角线 我们也可以用diag从矩阵中提取某对角线构成一个向量。设A为m n阶矩阵，diag(A)将从矩阵A中提取其主对角线产生一个具有min(m,n)个元素的
6、向量。diag(A,k)的功能是： 当k0，则将从矩阵A中提取位于主对角线的上方第k条对角线构成一个具有n-k个元素的向量；当k0，则将从矩阵A中提取位于主对角线的下方第|k|条对角线构成一个具有m+k个元素的向量；当k=0，则等同于diag(A)。,一、 特殊矩阵的实现,【例3】 已知矩阵A，试从矩阵A分别提取主对角线及它两侧的对角线构成向量B、C和D。 MATLAB程序如下： A=1 2 3;4 5 6; % 建立一个已知的23阶矩阵A % 按各种对角线情况构成向量B、C和D B=diag(A) B = 15 C=diag(A,1) C = 26 D=diag(A,-1) D = 4,一、
7、 特殊矩阵的实现,8.上三角阵：使用格式为triu(A)、triu(A,k) 设A为mn阶矩阵，triu(A)将从矩阵A中提取主对角线之上的上三角部分构成一个m n阶上三角阵；triu(A,k)将从矩阵A中提取主对角线第|k|条对角线之上的上三角部分构成一个mn阶上三角阵。注意：这里的k与diag(A,k)的用法类似，当k0，则该对角线位于主对角线的上方第k条；当k0，该对角线位于主对角线的下方第|k|条；当k=0，则等同于triu (A),一、 特殊矩阵的实现,【例4】试分别用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-1)从矩阵A提取相应的上三角部分构成上三角阵B、C和D。 MA
8、TLAB程序如下： A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7; % 一个已知的43阶矩阵A % 构成各种情况的上三角阵B、C和D B=triu(A) B = 1 2 30 5 60 0 90 0 0 C=triu(A,1) D=triu(A,-1),一、 特殊矩阵的实现,9.下三角阵：使用格式为tril(A)、tril(A,k) tril的功能是从矩阵A中提取下三角部分构成下三角阵。用法与triu相同。,10.空矩阵 在MATLAB里，把行数、列数为零的矩阵定义为空矩阵。空矩阵在数学意义上讲是空的，但在MATLAB里确是很有用的。例如 A=0.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.
9、6; B=find(A1.0) B = 这里 是空矩阵的符号，B=find(A1.0)表示列出矩阵A中值大于1.0的元素的序号。当不能满足括号中的条件时，返回空矩阵。另外，也可以将空矩阵赋给一个变量，如： B= B = ,一、 特殊矩阵的实现,二、矩阵的特征值 与特征向量,对于NN阶方阵A，所谓A的特征值问题是：求数和N维非零向量x（通常为复数），使之满足下式： A. x= x 则称为矩阵A的一个特征值（特征根），而非零向量x为矩阵A的特征值所对应的特征向量。 对一般的N N阶方阵A，其特征值通常为复数，若A为实对称矩阵，则A的特征值为实数。,二、矩阵的特征值与特征向量,MATLAB提供的内部
10、函数eig可以用来计算特征值与特征向量。eig函数的使用格式有五种，其中常见的有E=eig(A)、V,D=eig(A)和V,D=eig(A,nobalance)三种，另外两种格式用来计算矩阵的广义特征值与特征向量：E=eig(A,B)和V,D=eig(A,B)。,二、矩阵的特征值与特征向量,(1) E=eig(A)：由eig(A)返回方阵A的N个特征值，构成向量E； (2) V,D=eig(A)：由eig(A)返回方阵A的N个特征值，构成NN阶对角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的特征值，同时将返回相应的特征向量赋予NN阶方阵V的对应列，且A、V、D满足AV=V D； (3) V,D=eig
11、(A,nobalance)：本格式的功能与格式(2)一样，只是格式(2)是先对A作相似变换(balance)，然后再求其特征值与相应的特征向量；而本格式则事先不作相似变换；,二、矩阵的特征值与特征向量,(4) E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回NN阶方阵A和B的N个广义特征值，构成向量E。 (5) V,D=eig(A,B)：由eig(A,B)返回方阵A和B的N个广义特征值，构成N N阶对角阵D，其对角线上的N个元素即为相应的广义特征值，同时将返回相应的特征向量构成NN阶满秩矩阵，且 满足AV=B V D。,二、矩阵的特征值与特征向量,【例5】试用格式(1)求下列对称矩阵A的特征值；用
12、格式(2)求A的特征值和相应的特征向量，且验证之。 A =1.0000 1.0000 0.50001.0000 1.0000 0.25000.5000 0.2500 2.0000 ; 执行eig(A)将直接获得对称矩阵A的三个实特征值：,二、矩阵的特征值与特征向量,eig(A) ans = -0.01661.48012.5365 而下列命令则将其三个实特征值作为向量赋予变量E： E=eig(A) E = -0.01661.48012.5365,二、矩阵的特征值与特征向量,三、行列式的值,MATLAB提供的内部函数det用来计算矩阵的行列式的值。设矩阵A为一方阵(必须是方阵)，求矩阵A的行列式值
13、的格式为：det(A)。注意：本函数同样能计算通过构造出的稀疏矩阵的行列式的值。关于如何构造稀疏矩阵，将在本章最后一节介绍。,三、行列式的值,【例6】利用随机函数产生一个三阶方阵A，然后计算方阵之行列式的值。 A=rand(3) A =0.9501 0.4860 0.45650.2311 0.8913 0.01850.6068 0.7621 0.8214 det(A) ans =0.4289,四、 矩阵求逆及其 线性代数方程组求解,1 . 矩阵求逆 若方阵A,B满足等式 A*B = B*A = I (I为单位矩阵) 则称A为B的逆矩阵，或称B为A的逆矩阵。这时A，B都称为可逆矩阵(或非奇异矩阵
14、、或满秩矩阵)，否则称为不可逆矩阵(或奇异矩阵、或降秩矩阵)。,四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解,【例7】试用inv函数求方阵A的逆阵A-1赋值给B，且验证A与A-1是互逆的。 A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1; B=inv(A) B =-1.4000 0.4000 0.20000.2000 -0.2000 0.40002.6000 -0.6000 0.2000 A*B ans =1.0000 0.0000 0.00000.0000 1.0000 0.00000.0000 0.0000 1.0000,B*A ans =1.0000 0.0000 0.00000.0000 1.000
15、0 0.00000.0000 0.0000 1.0000,四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解,2. 矩阵求逆解法 利用求系数矩阵A的逆阵A-1，我们可以得到矩阵求逆解法。对于线性代数方程组Ax=b，等号两侧各左乘A-1，有： A-1Ax=A-1b 由于A-1A=I，故得： x=A-1b,四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解,【例8】试用矩阵求逆解法求解例6.20中矩阵A为系数矩阵的线性代数方程组Ax=b的解。 A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1; b=2;-3;1; x=inv(A)*b x =-3.80001.40007.2000,四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解,3. 直接解法 对
16、于线性代数方程组Ax=b，我们可以运用左除运算符“”象解一元一次方程那样简单地求解：x=Ab 当系数矩阵A为N*N的方阵时，MATLAB会自行用高斯消去法求解线性代数方程组。若右端项b为N*1的列向量，则x=Ab可获得方程组的数值解x（N*1的列向量）；若右端项b为N*M的矩阵，则x=Ab可同时获得同一系数矩阵A、M个方程组数值解x（为N*M的矩阵），即x(:,j)=Ab(:,j)，j=1,2,M。,四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解,四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解,解法1：分别解方程组 (1)Ax=b1；(2)Ay=b2 A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1; b1=2;-3;1;
17、 b2=3;4;-5; x=Ab1 x =-3.80001.40007.2000,y=Ab2-3.6000-2.20004.4000,得两个线性代数方程组的解：(1) x1= -3.8， x2= 1.4， x3= 7.2； (2) y1= -3.8， y2= 1.4， y3= 7.2,四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解,解法2：将两个方程组连在一起求解：Az=b b=2 3;-3 4;1 -5 z=Ab z =-3.8000 -3.60001.4000 -2.20007.2000 4.4000 很明显，这里的解z的两个列向量便是前面分别求得的两组解x和y,四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解,习题,1、解方程组Axb，分别用求逆解法与直接解法求其解。2、编一个m程序，求N阶方阵A的行列式的值。,
