1、2016 届江西省抚州市临川区第一中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 ，则 （ ）|1,|ln(1)AxyByxABA B C D|x|【答案】B【解析】试题分析：根据题意，可知 ， ，所以 ，故选 B.(,1ABRAB|1x考点：集合的运算.2.已知函数 定义域是 ，则 的定义域（ ）yfx()123， yf()2A B C D 37， 4， 5， 052，【答案】D【解析】试题分析：由 得 ，由 ，解得 ，故选 D.2,3x1,4x2
2、1,4x50,2x考点：函数的定义域.3.命题“存在 ，为假命题”是命题“ ”的（ ）0,2aR使 16aA充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：根据题意为 恒成立，即 ，解得 ，所以为充要条件，240xa2160a016a故选 A.考点：充要条件的判断.4.若幂函数 的图像经过点 ，则它在点 A 处的切线方程是（ ）amxf)( )21,4(AA B C D02yx02y014yx 014yx【答案】C【解析】试题分析：根据函数 为幂函数，所以 ，根据图像经过点 ，则有 ，所以amxf)( 1m)21,4(A12， ， ，根据直线方程
3、的点斜式，求得切线方程是 ，故选 C.12()fx1f()14f 04yx考点：幂函数解析式的求解，导数的几何意义，函数图像的切线方程.5.将函数 图象上各点的横坐标伸长到原的 2 倍，再向左平移 4个单位，纵坐标不变，所得函sin(4)6yx数图象的一条对称轴的方程是（ ）A B. x C 3x D 12x12x【答案】A【解析】试题分析：根据题意，变换以后的函数解析式为 ，根据函数的性质，可知函数图象的一条sin(2)3yx对称轴的方程是 ，故选 A.12x考点：函数图像的变换.6.函数 的图象大致是（ ）xy4cos【答案】A【解析】试题分析：根据函数解析式可知函数是非奇非偶函数，所以图
4、像不关于 轴对称，所以 C,D 不正确，当y趋向于正无穷时， 趋向于正无穷，而余弦函数是有界的，所以 趋向于 ，故 B 不对，只能选 A.x2x 0考点：函数图像的选取.7.已知定义在 R 上的偶函数， fx在 时， ，若 1faf，则 a 的取0()ln(1)xfe值范围是（ ）A ,1 B 1(,)2 C (,1) D ,【答案】B【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在 上是增函数，根据偶函数图像的对称性，可0,)知函数在 上是减函数，所以 1faf等价于 ，解得 ，故选 B.(,01a2a考点：偶函数的性质.8.下列四个命题：x(0, ), ( )x( )x； x(0,
5、1), log xlog x； 1 123 2 1213x(0, ), ( )xlog x； x(0, ), ( )xlog x. 3 12 4 3其中真命题是（ ）A B C D 1 3 2 3 2 4 3 4【答案】C考点：指对函数的图像和性质.9.已知符号函数 则函数 的零点个数为（ ）0,1,)sgn(xxxf2ln)sg()A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可以求得函数的零点为 ，所以函数的零点的个数为 个，故,1e2选 B.考点：函数的零点.10.设奇函数 xf在 1,上是增函数，且 1f，当 1,a时， 12atxf对所有的 ,恒成立，则
6、 t的取值范围是（ ）A B 或 2t2tC 或 或 D 或 或0tt0t【答案】D【解析】试题分析：根据题意有 ，根据奇函数的性质，可知函数的最大值为 ，所以有2max()1ft (1)f对于 1,a恒成立，所以有 在 1,a恒成立，即20t 2()0gat，解得 或 或 ，故选 D.2(1)gt2t0t考点：构造函数，恒成立问题.11.已知函数 满足 ，当 时 ，函数 在)(xf )1()(xff ,0xf)( mxfg)(内有 2 个零点，则实数 的取值范围是（ ）1,(mA B C D01,(),221,(【答案】A【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在 上是减函数，在
7、 上是增函数，函数(1,00,1在 内有 2 个零点，相当于函数 的图像与直线 有两个交点，mxfxg)(1,( )fx()ymx而图像过点 ，此时 ，结合函数的图像，可知 的取值范围是 ，故选 A.1,m2,(考点：函数的零点，数形结合思想.12.定义一：对于一个函数 ，若存在两条距离为 的直线 和 ，()fxDd1kxy2kxy使得在 时， 恒成立，则称函数 在 内有一个宽度为 的通道.Dx21kmk )(fDd定义二：若一个函数 ，对于任意给定的正数 ，都存在一个实数 ，使得函数 在)(xf 0x)(xf内有一个宽度为 的通道，则称 在正无穷处有永恒通道.),0x)(xf下列函数 , ，
8、 ， ，(lnfxsin()fx21()xfe其中在正无穷处有永恒通道的函数的个数为（ ）A. 1 B.2 C. 3 D.4【答案】C【解析】试题分析：根据题意，结合函数图像，可知只有没有，剩下三个都可以，所以选 C.考点：新定义.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若函数 在其定义域上为奇函数，则实数 xkf21k【答案】 【解析】试题分析：根据奇函数的条件，当函数在 点有定义时，可知 ，解得 ，当函数在01(0)kf1k点没有定义时，求得 ，解得 ，经验证函数是奇函数，故 .01k1k考点：奇函数的定义.14.定义在 R 上的奇函数 满足
9、 则 = ()fx3(),(2014),ffxf(1)f【答案】 2考点：利用函数的周期性及奇偶性求函数值.15.已知命题 :关于 的方程 在 有解；命题 在px20mx,121:()log()qfxmx单调递增；若“ ”为真命题， “ ”是真命题，则实数 的取值范围为 1,)xppq【答案】 3(,4【解析】试题分析：根据题意，关于 的方程 在 有解，可得 ，从而求得x20mx,120m； 在 单调递增，可得 ，解得 ，根据1m21()log()fx,)1234“ ”为真命题， “ ”是真命题，可知 假 真，所以实数 的取值范围为 .ppqpqm(,)考点：命题的真假判断，参数的取值范围.1
10、6.对于函数 ，有下列 4 个命题：sin,0,2()1()()2xff任取 ，都有 恒成立；120,x、 12fxf ，对于一切 恒成立；()()fkf*)kN0,函数 有 3 个零点；()ln1)yfx对任意 ，不等式 恒成立02(fx则其中所有真命题的序号是 【答案】【解析】试题分析：根据题中所给的函数解析式，可知函数在 上的最大值和最小值分别是 和 ，所以0,)1对， ，对于一切 恒成立，故错，根据图像可知函()2()kfxf*)kNx有 3 个零点，故对，根据图像，可以判断正确，故答案为.ln1y考点：函数的性质，数形结合思想.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写
11、出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分）已知集合 ， 273|xA1log|B2x（1）分别求 ， ；BARC（2）已知集合 ，若 ，求实数 的取值集合ax1a【答案】 （1） ， ；|23|3RBAx（2） .3a【解析】试题分析：第一问结合指数函数和对数函数的单调性求解集合 ，再根据集合的交并补集中元素的特点，,AB求得结果，第二问注意对集合 是否为空集进行讨论，在非空的条件下，结合数轴来解决即可.C试题解析：（1） 即 ， ， ，327x13x1x31x，即 ， ， ；2logxlogl2B|2AB，RCB|3RCBAx（2）由（1）知 ，当1x当 C 为空集时
12、， a当 C 为非空集合时，可得 3a综上所述 3考点：集合的运算，参数的取值范围，交并补集，子集.18.（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 中，点 在单位圆 上， ，且xOy1()Axy， OxA 62，（1）若 ，求 的值；1cos()31x（2）若 也是单位圆 上的点，且 过点 分别做 轴的垂线，垂足为 ，2Bxy， O3ABAB、 xCD、记 的面积为 ， 的面积为 设 ，求函数 的最大值AOC1SBD2S12fSf【答案】 （1） ；26x（2） .max3()34f时 ，【解析】试题分析：第一问根据题意可知 利用题中所给的条件，利用差角公式求得 的值，第二问1cos，
13、cos利用三角函数的定义式，结合图形将三角形的面积用三角函数来表示，即将函数解析式转化为关于 的函数关系式，利用和差角公式，辅助角公式化简，结合自变量的取值范围，求得函数的最大值.试题解析：（1）由三角函数的定义有 1cosx， ，1cos()()362， ， ， 4in1cos()3xcos()sin()i33141226（2）由 ，得 1iy11cosinsi2Sxy由定义得 ， ，又 ，于是，2cos()3xi()3 5()()62326由 ， ， 得 ，2 snSysin43 =1212()sinsi()43fS122sin(sicosin)433= = =3sinco83(co)6，
14、即 5()2)66由 ， ， 可 得 ， ， 2于 是 当 max()34f时 ，考点：三角函数和差角公式，三角函数的定义式，辅助角公式，三角函数的最值问题.19.（本小题满分 12 分）已知函数 （ 、 为常数） xafb（1）若 ，解不等式 ；b(1)0fx（2）若 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围a,221()fxbb【答案】 （1） 时，解集为： ， 时，解集为： ， 时，解集为： ，0,a1a(1,0)a（2） .b【解析】试题分析：第一问不等式为 ，将其转化为正式不等式 ，需要对 和 比较10xa(1)0xa1a0大小，从而求得结果，第二问式子为 ，等价于 ，能够发现 ，易21(
15、)bxbxb知当 时，不等式显然成立，所以式子转化为 恒成立，转化为最1x 1()1xx值来处理，结合自变量的取值范围，利用基本不等式求得最值，从而求得结果.试题解析：（1） ， ， ， ，xafb11xaf 1()xaf x ， ，等价于 ，()0fx10x0 ，即 时，不等式的解集为： ，1a(,)a当 ，即 时，不等式的解集为： ，1当 ，即 时，不等式的解集为： ，01a(1,0)（2） ， ， （）2()fxb2()1()xxbb显然 ，易知当 时，不等式（）显然成立；xb1由 时不等式恒成立，当 时， ，1,22x1(1)xx ， ，10x122xx故 综上所述， bb考点：解不等
16、式，恒成立问题，基本不等式.20.（本小题满分 12 分）如图，在三棱台 中， 分别为 的中点DEFABC2,DEGH,ACB（）求证： 平面 ；/BDFGH（）若 平面 , ， ，求平面 与平面 所成角CA,45FD（锐角）的大小【答案】 （）证明见解析；（） .60【解析】试题分析：第一问连结相应的线段，利用平行四边形的判定定理和性质定理，证得 TH/DB，利用线面平行的判定定理证得线面平行，第二问建立空间坐标系，求得平面的法向量，利用法向量所成的角的余弦求得二面角的余弦值.试题解析：（）证明：连接 DG，DC，设 DC 与 GF 交于点 T在三棱台 中， 则DEFABC2,DE而 G 是
17、 AC 的中点， DF/AC，则 ,所以四边形 是平行四边形,T 是 DC 的中点，2,ACDF/DFGC又在 ,H 是 BC 的中点，则 TH/DB，又 平面 ， 平面 ，故 平面 ；BBHTFGH/BFGH（）由 平面 ,可得 平面 而CFABDGABC,45,BAC则 ,于是 两两垂直，以点 G 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴GB GD,xyz建立空间直角坐标系，设 ,则 ,2A1,2,EFA，2(0,),(,0)(,)(,0)BCH则平面 的一个法向量为 ，FD10,nur设平面 的法向量为 ，则 ,即 ，GH22(,)nxyzr20nGFur220xyz取 ，则 ， ，21x2,yz1u，故平面 与平面 所成角（锐角）的大小为 12cos,nur FGHACD60考点：线面平行的判定，二面角的余弦值.21.（本题满分 12 分）如图，O 为坐标原点，点 F 为抛物线 C1： 的焦点，且抛物线 C1上点)(2pyxP 处的切线与圆 C2： 相切于点 Q12yx（）当直线 PQ 的方程为 时，求抛物线 C1的方程；0（）当正数 变化时，记 S1 ，S 2分别为FPQ，FOQ 的面积，求 的最小值p 21S
