1、专题十七 不等式选讲目 录CONTENTS考点 不等式选讲1考点 不等式选讲必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力必备知识 全面把握1几个重要的不等式(1) 当且仅当 a b时取等号(2)基本不等式： 当且仅当 a b时取等号(3)平均数定理： 当且仅当 a b c时取等号考点 不等式选讲(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用定理求函数的最大 (小 )值时，应特别注意(2)定理 1还可以变形为 等号成立的充要条件是(3)依据定理我们可以有以下推广：考点 不等式选讲2.绝对值不等式的解法考点 不等式选讲这里 若 则 的解集为 的解集为 R.考点 不等式选讲3柯西不等式与排
2、序不等式考点 不等式选讲9不等式成立的条件要准确把握，如 柯西不等式中， 均为实数等考点 不等式选讲104不等式的证明方法(1)比较法 作差法：依据 作商法： 因此，用作商法时必须先判定 B的符号(2)综合法 ：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理论证得出命题成立的方法它是由因导果的方法(3)分析法 ：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、公理或已证明过的定理、性质等 )，从而得出要证明的命题成立的方法它是执果索因的方法考点 不等式选讲11(4)反证法 ：证明不等式时，首先假设要证明的命题不成立，把它作为条
3、件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理、性质等基本原理进行正确推理，逐步推理出一个与命题的条件或已证明过的定理、性质，或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设不正确，从而肯定原命题成立(5)放缩法 ：证明不等式时，根据需要把要证明的不等式的一边适当放大或缩小，如欲证 可通过证明 得到用换元法证明不等式时，要注意换元后，新元的取值范围会发生变化，而有时忽视这种变化会导致错误结论或无法进行下去考点 不等式选讲12核心方法 重点突破方法 1 绝对值不等式的解法 含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法 ：对(2)平方法 ：两边平方去掉绝对值符号，适用于 型的不等式的求解(3)零点分区间
4、法 ：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式 (组 )求解(4)几何法 ：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解(5)图像法 ：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数图像求解考点 不等式选讲例 1.考点 不等式选讲例 2. 四川绵阳 2018模拟 已知函数考点 不等式选讲15(1)解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法： 将参数分类讨论，将其转化为分段函数问题来解决 借助于绝对值的几何意义，先求出相应式子的最值或值域，然后根据题目要求进行求解(2)对于不等式恒成立求参数取
5、值范围问题，常见类型及其解法如下： 分离参数法 ：运用 可解决恒成立中的参数取值范围问题 更换主元法 ：对于不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法 数形结合法 ：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维的优势，可直观解决问题方法 2 含有不等式的恒成立、存在性、参数范围问题的求解 考点 不等式选讲例 3 河南信阳高级中学 2018月考 设 f(x) |x 1| |2x 1|.(1)求不等式 的解集；(2)若不等式满足 对任意实数 x0恒成立，求实数 a的取值范
6、围考点 不等式选讲考点 不等式选讲考点 不等式选讲例 4 辽宁铁东 2018二模 已知函数 f(x) |2x 1| |x 1|.(1)求不等式 f(x) 2的解集；(2)若关于 x的不等式 有解，求 a的取值范围考点 不等式选讲例 4 辽宁铁东 2018二模 已知函数 f(x) |2x 1| |x 1|.(1)求不等式 f(x) 2的解集；(2)若关于 x的不等式 有解，求 a的取值范围20方法 3 不等式中的最值问题的求解 解决最值问题时，一般有以下思路：(1)分类讨论去绝对值符号，将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图像，求得最值(2)利用性质 来求最值或证明，这时常要对绝对值内的式子
7、进行分析、组合、添项、拆项，使要证明的式子与已知联系起来，从而完成证明(3)利用基本不等式求出相应函数的最值，注意 “一正、二定、三相等 ”的要求考点 不等式选讲例 5 黑龙江 2018仿真模拟 已知函数 f(x) |x a|.(1)当 a 2时，解不等式(2)考点 不等式选讲考点 不等式选讲例 6 河南开封 2018一模 已知关于 x的不等式 的解集为(1)求实数 m， n的值；(2)设 a， b， c均为正数，且 a b c n m，求 的最小值 .考点 不等式选讲24方法 4 证明不等式的方法 (1)证明不等式的常用方法有 比较法、综合法、分析法 如果已知条件与待证结论的联系不明显，可考
8、虑用分析法其中，利用基本不等式、绝对值三角不等式、绝对值的含义等将问题转化为分段函数及函数的性质问题是常用的解题思路(2)若待证命题是否定性命题或唯一性命题或以 “至少 ”“至多 ”等方式给出，则考虑用反证法(3)若待证不等式与自然数有关，则考虑用 数学归纳法 证明在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明考点 不等式选讲例 7 江苏南通 2018模拟 已知 x0， y0， z0， 2x 2y z 1，求证：考点 不等式选讲例 8、已知 a， b， c为正实数，且 a b c 2.(1)求证：(2)若 a， b， c都小于 1，求 a2 b2 c2的取值范围考点
9、不等式选讲27方法 5 柯西不等式的应用 (2)在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照 “一看、二构造、三判断、四运用 ”可快速求解此类问题考点 不等式选讲例 9、已知函数 f(x) |x 3|， g(x) m 2|x 11|，若 恒成立，实数 m的最大值为 t.(1)求实数 m的最大值 t；(2)已知实数 x， y， z满足 2x2 3y2 6z2 a(a0)，且 x y z的最大值为 求 a的值 .考点 不等式选讲考点 不等式选讲30考法例析 成就能力本专题主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存在性问题以及不等式的证明，多以解答题的形式出现，难度中等，分值 10分考点 不等式选讲
