1、江苏省扬州中学20152016 学年度第二学期期初质量检测数学一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应位置）1.复数 （是虚数单位）的虚部是_1i2.从编号为 0,1,2，79 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 5 的一个样本，若编号为 42 的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为 3.若圆锥的底面周长为 ，侧面积也为 ，则该圆锥的体积为22_4.右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是_.5.已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过
2、 2 的概率是 6.设函数 ，则 = 10,2tan0|)(log|)(3xxf)13(f7.已知 ：关于 的不等式 有解， ： 或 , 则 是 的paq0apq条件 （空格处请填写“充分不必要条件” 、 “必要不充分条件” 、 “充要条件”或“既不充分也不必要条件” ） 8.已知 ，则 = 1sin64x25sinsin63xx9.已知 是椭圆 的左、右焦点，弦 过 ，若 的周长为 8，12,F2ykAB1F2则椭圆的离心率为 10.设 ，实数 满足 ，若 ，则实数 的取值范围是 Rmyx,2360mxy 8|2|yxm11.在矩形 中， 为矩形内一点，且 ，ABCDPBC,3,525AP，
3、则 的最大值为 P),(R12.数列 中， ， 为数列 的前 n 项和，且对 ，都有na1nSan21naS则 的通项公式 = nn13.不等式 有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系2430xx中作出 和 的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：1yy设 ，若对任意 ，都有 ，则 _,abZ2()0axbab14.对于函数 ，若存在定义域 内某个区间 ，使得 在 上)(xfD,)(xfy,ba的值域也是 ，则称函数 在定义域 上封闭如果函数 （,)(xfy 21k）在 上封闭，那么实数 的取值范围是_ 0kRk二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证
4、明过程或演算步骤）15.（本小题满分 14 分）已知 .33cos2in()si(),xfxxxR（1）求函数 的单调增区间；)(xf（2）已知锐角 的内角 的对边分别为 ,且 , ,求ABC,abc3fAa边上的高的最大值.B16 （本小题满分 14 分）正方形 所在的平面与三角形 所在的平面交于 ，ABCDCDECD且 平面 AECD（1）求证： 平面 ；/BE（2）求证：平面 平面 17 （本小题满分 15 分）某企业接到生产 3000 台某产品的 A，B，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为 2，2，1（单位：件）. 已知每个工人每天可生产 A部件 6 件，或 B 部
5、件 3 件，或 C 部件 2 件.该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比，比例系数为 k（k 为正整数）.（1）设生产 A 部件的人数为 x，分别写出完成 A，B ，C 三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.18 （本小题满分 15 分）已知椭圆 的下顶点为 ， 到2:1(0)xyCab(0,1)P焦点的距离为 .2（1）设 Q 是椭圆上的动点，求 的最大值；|PQ（2）若直线与圆 相切，并与椭圆 交于不同的两点 A、B
6、当2:1OxyC，且满足 时，求 面积 的取值范围BA839AOBS19.（本小题满分 16 分）函数 ()lnafx，其中 a为实常数.（1）讨论 ()fx的单调性；（2）不等式 1在 (0,上恒成立，求实数 的取值范围；（3）若 0a，设 (3331421)(,312) nnhng ,2).是否存在实常数 b，既使 ()gfb又使 ()fb对一切*Nn恒成立？若存在，试找出 的一个值，并证明；若不存在，说明理由. (,2)1)l(x20 （本小题满分 16 分）已知数列 满足： .na*113(,),4nnaN（1）若 ，求数列 的前 项和 的值；20an3030S（2）求证：对任意的实数
7、 ，总存在正整数 ，使得当 （ ）时，amn*成立.4n数学（附加题）21 （本小题满分 10 分）已知 ，求矩阵 1 04 321BB22 （本小题满分 10 分）在极坐标系中，圆 是以点 为圆心， 为半径的圆C(2,)62（1）求圆 的极坐标方程；C（2）求圆 被直线 所截得的弦长:6l23 （本小题满分 10 分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 1.2万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别为 、；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，161213在每次调整中，价格下降的概率都是 p(02 时，T 1(x)T2(x)，由于 k 为正整数，k3，此时， .记
8、T(x) ， max T1(x)，T(x) ，易)2053050750375)(x知，T(x)是增函数，则 max T1(x)，T 3(x)max T1(x)，T(x)(f max ， ， 由函数 T1(x)，T( x)的单调性知，当 时，(x15 0537取最小值，解得 x ，由于 36 ，)x40406(921T(37) ，37(1372此时，完成订单任务的最短时间大于 .12 分15当 k2 时，T 1(x)T2(x)，由于 k 为正整数，故 k1，此时，max T 2(x)，T 3(x) max ， ，)(xf x0x7由函数 T2(x)，T 3(x)的单调性知，当 时， 取最小值，解
9、得 x ，25)(f 180类似的讨论，此时完成订单任务的最短时间为 ，大于 .14 分90125综上所述，当 k2 时，完成订单任务的时间最短，此时，生产 A，B，C 三种部件的人数分别为 44，88，68. 15 分18. （1）易知 ，所以椭圆的方程为 ；设 ，1,ba2yx),(yxQ则 22()PQxy2()(1y2()41当 时， 5 分1max（2）依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线的方程为 （ ） nmyxR直线即 与圆 O: 相切，0ny12y有： 得 7 分1|22又点 A、B 的坐标（ ， ） 、 （ ， ）满足：1xy2y022yxnm消去整理得 ，0)2( n
10、m由韦达定理得 ， 221mny221ny其判别式 ，8)(8)(4m又由求根公式有 )2(21ny、 = =OBA212112 )(ynyx12 分3)()1( 222 mnmy 22)(1si| OBAABSAOB|2112yx |)()(| 121ynyn|12y22)(|mn 22m ，且 1122m128,39 15 分AOBS)(4,919. 解：（1）定义域为 2210,()axfx， 当 0a时， ,0x，()fx在定义域 (,)上单增；2 分当 时，当 a时， (fx， ()f单增；当 xa时， ()0fx，()fx单减。增区间： (,)，减区间： (0,)。综上可知：当 0
11、a时，增区间 ，无减区间；当 0a时，增区间： (,)a，减区间： (,)。4 分（2） ()1ln1ln1lnaafxxxax对任意 (0,1x恒成立mal,(0a，令 ()l,(01g，()l,gxxx，6 分在 (,1上单增，max()， a，故 的取值范围为 1,)。8 分（3）存在，如 0b等。9 分下面证明： 1ln(2,)23N及 3 1)4n 成立。先证 1l(n ，注意 23llnl11n ，这只要证 l),3)1kk （*）即可，容易证明 ()x对 0x恒成立(这里证略)，取 (2)xk即可得上式成立。让 2,3kn 分别代入（*）式再相加即证： 11ln()23N ，于是 11ln()23 。12 分再证 333ln(1),)24N ，法一： 2323232311 11()()()()ln()l()()()4 23n 11nl 23232323()()()()l()l()l(1)(1)1n 只须证 1lnkNk，构造证明函数不等式：23l()0xx，令 23)ln1u，3221(1)()3xux，当 0,x时， ()0,在 ,)上单调递减 ,又 (0),u
