1、2015-2016 学年江苏省连云港市外国语学校高三（下）第一次调研数学试卷一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1已知集合 A=1，2，3，B=2，4，5，则集合 AB 中元素的个数为 2ABC 中， “A= ”是“sinA= ”的 条件（从“ 充分不必要 ”， “必要不充分”， “充要” ，“既不充分也不必要” 中选出符合题意的一个填空） 3不等式 的解集是 4已知角 的终边上有一点 P（ 3，4） ，则 sin+2cos= 5设函数 f（x）= 则 的值为 6已知向量 =（2，1） ， =（1，2） ，若 m +n =（9，8） （m，n R） ，则 mn 的值为 7
2、已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足x 1，x 20，+） ，都有（x 1x2）f（x 1）f（ x2）0，则 的大小关系是 8若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 9已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，向量 ， ， 满足，则函数 y=f（x）的表达式为 10已知命题 p1：函数 y=2x2x 在 R 上为增函数，p2：函数 y=2x+2x 在 R 上为减函数，则在命题p1p 2p1p 2（p 1）p 2p1（p 2）中真命题是 11已知点 P 是曲线 y=x310x+3 上位于第二象限内的一点，且该曲线在点 P 处的切线斜率为 2，则这条切线方程为 12已知函数 f
3、（x）=sin2x+mcos2x 的图象关于直线 x= ，则 f（x）的单调递增区间为 13已知函数 f（x）=x ，g（x）=x 22ax+4，若 x10，1，x 21，2，使 f（x 1）g（x 2） ，则实数 a 的取值范围是 14已知函数 f（x）= ，若函数 y=f（x）a|x|恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为 二、简答题（共 6 小题，90 分）15化简与求值：（1） （2） 16已知 ， 都是锐角，且 sin= ，tan （ ）= （1）求 sin（ ）的值；（2）求 cos 的值17已知函数 f（x）=2sinxcosx+2 ，xR（1）求函数 f（x）的最小正周期和
4、单调递增区间；（2）在锐角三角形 ABC 中，若 f（A ）=1， ，求ABC 的面积18已知 f（x）为 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）=ln（x+2） （）当 x0 时，求 f（x）的解析式；（）当 mR 时，试比较 f（m 1）与 f（3 m）的大小；（）求最小的整数 m（m2） ，使得存在实数 t，对任意的 xm，10，都有 f（x+t ）2ln|x+3|19如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点，E，F 分别落在线段 BC，AD
5、 上已知 AB=20 米，米，记BHE=（1）试将污水净化管道的长度 L 表示为 的函数，并写出定义域；（2）若 ，求此时管道的长度 L；（3）当 取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度20设函数 f（x）=lnx+ ，m R（1）当 m=e（e 为自然对数的底数）时，求 f（x）的最小值；（2）讨论函数 g（x）=f（x） 零点的个数；（3） （理科）若对任意 ba0， 1 恒成立，求 m 的取值范围2015-2016 学年江苏省连云港市外国语学校高三（下）第一次调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）1已知集合 A=1，2，3，B=
6、2，4，5，则集合 AB 中元素的个数为 5 【考点】并集及其运算【分析】求出 AB，再明确元素个数【解答】解：集合 A=1，2，3，B=2，4，5，则 AB=1，2，3，4，5；所以 AB 中元素的个数为 5；故答案为：52ABC 中， “A= ”是“sinA= ”的 充分不必要 条件（从 “充分不必要”， “必要不充分”，“充要 ”， “既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据 A= 可以判断 sinA= ，得到前者可以推出后者，举出一个反例来说明后者不一定推出前者，得到前者是后者的充分不必要条件【解答】解：若 A= ，根据三角函
7、数的特殊值知 sinA= ，即前者可以推出后者，当 sinA= ，比如 sin = ，显然 A= ，不成立得到前者不能推出后者，综上可知前者是后者的充分不必要条件，故答案为：充分不必要3不等式 的解集是 （1，2） 【考点】指数函数的单调性与特殊点【分析】本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化成相同的形式，化底数为 3，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系，得到未知数的范围【解答】解： ， ，y=2 x 是一个递增函数，x 2x 2，1x2故答案为：（1，2）4已知角 的终边上有一点 P（ 3，4） ，则 sin+2cos= 【考点】任意角的三角函数的定义【分析】由题意
8、可得 x=3，y=4，r=5，可得 cos 和 sin 的值，从而求得 sin+2cos 的值【解答】解：角 的终边上有一点 P（ 3，4） ，x=3， y=4，r= =5，cos= = ，sin= = ，sin+2cos= +2（ ）= ，故答案为： 5设函数 f（x）= 则 的值为 【考点】函数的值；分段函数的解析式求法及其图象的作法【分析】本题是分段函数求值，规律是先内而外逐层求值，先求 f（2）值，再根据的取值范围判断应该用那一段上的函数解析式，代入求值即为 的值【解答】解：由于 21，故 f（2）=2 2+22=4故 = 1故 =1 =故答案为 6已知向量 =（2，1） ， =（1，
9、2） ，若 m +n =（9，8） （m，n R） ，则 mn 的值为 3 【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可【解答】解：向量 =（2，1） ， =（1，2） ，若 m +n =（9，8）可得 ，解得 m=2，n=5，mn= 3故答案为：37已知定义在 R 上的偶函数 f（x）满足x 1，x 20，+） ，都有（x 1x2）f（x 1）f（ x2）0，则 的大小关系是 【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】先由（x 1x2）f（x 1）f（x 2）0，得到其为增函数，再结合其为偶函数即可得到结论【解答】解：因为（x 1x2） f（x 1）f（x 2）0，所
10、以：f（x）在0，+）上递增，又因为 f（x）是偶函数，所以：f（ 2）=f（2）f（ ）f （1）f （2）=f（2）故答案为：f（ ）f（1）f（2） 8若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 【考点】简单线性规划【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在 y 轴的截距最大值【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时，z 最大，由 得 D（1， ） ，所以 z=x+y 的最大值为 1+ ；故答案为： 9已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，向量 ， ， 满足，则函数 y=f（x）的表达式为 【考点】函数解析式的求解及常用方法
11、；向量的加法及其几何意义【分析】由三点共线可得 f（ x）+2f （1）x lnx=1，求导数并把 x=1 代入可得 f（1）的值，进而可得解析式【解答】解：A、B、C 三点共线，且 ，f（x）+2f （ 1）x lnx=1，两边求导数可得：f（x）+2f （1） =0，把 x=1 代入可得 f（1）+2f（1） 1=0，解得 f（1）= ，故 f（x）+ xlnx=1，即故答案为：10已知命题 p1：函数 y=2x2x 在 R 上为增函数，p2：函数 y=2x+2x 在 R 上为减函数，则在命题p1p 2p1p 2（p 1）p 2p1（p 2）中真命题是 【考点】命题的真假判断与应用【分析】
12、由指数函数的单调性判断 p1 的真假，利用导数判断函数 y=2x+2x 的单调性，然后利用复合函数的真假判断逐一核对四个命题得答案【解答】解：y=2 x2x= 在 R 上为增函数，命题 p1 为真命题；由 y=2x+2x，得 y=2xln22xln2=ln2（2 x2x） ，当 x（，0）时，y0，当 x（0，+）时，y0，函数 y=2x+2x 在 R 上为先减后增，命题 p2 为假命题则 p1p 2 为真命题；p 1p 2 为假命题；（p 1）p 2 为假命题；p 1（p 2）为真命题故答案为：11已知点 P 是曲线 y=x310x+3 上位于第二象限内的一点，且该曲线在点 P 处的切线斜率
13、为 2，则这条切线方程为 y=2x+19 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设切点为 P（x 0，y 0） ，求出函数的导数，根据导数的几何意义得 f（x 0）=3x0210=2，所以得 x0=2（舍正） ，从而得出切点为 P（2，15） 根据斜率为 2，利用点斜式可得直线方程，最后化成斜截式【解答】解：设 P（x 0，y 0） ，求得函数的导数为 f（x）=3x 210由题意知：f （ x0）=3x 0210=2，x 02=4结合函数图象第二象限内的一点，得 x0=2，y 0=15P 点的坐标为（ 2，15） 直线方程为 y15=2（x+2） ，即 y=2x+19故答案为：y=2
14、x+1912已知函数 f（x）=sin2x+mcos2x 的图象关于直线 x= ，则 f（x）的单调递增区间为 【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性【分析】依题意，f（0）=f（ ） ，可求得 m=1，利用辅助角公式可得 f（x）= sin（2x+） ，从而可求得 f（x）的单调递增区间【解答】解：函数 f（x）=sin2x+mcos2x 的图象关于直线 对称，f（0）=f（ ） ，m=1，f（x）= sin（2x+ ） ，由 2k 2x+ +2k，k Z 得：k x +k，kZ故答案为：k ， +k（k Z） 13已知函数 f（x）=x ，g（x）=x
15、 22ax+4，若 x10，1，x 21，2，使 f（x 1）g（x 2） ，则实数 a 的取值范围是 ，+） 【考点】函数恒成立问题【分析】先用导数研究出函数 f（x）的单调性，得出其在区间0，1上的值域，f （x）的最小值是 f（0）= 1然后将题中“若x 10，1 x1，2，使 f（x 1）g（x 2） ”转化为f（x 1）的最小值大于或等于 g（x 2）在区间1，2能够成立，说明 g（x 2）1 在区间1，2上有解，注意到自变量的正数特征，变形为 ，在区间1，2上至少有一个实数解，即 在区间1，2上的最小值小于或等于 2a，问题迎刃解【解答】解：函数 f（x）=x 的导数 ，函数 f（
16、x）在0，1上为增函数，因此若x 10，1，则 f（0）= 1f （x 1）f（1）=原问题转化为x 21，2，使 f（0）=1g（x 2） ，即1 x 222ax2+4，在区间1，2上能够成立变形为 ，在区间1，2上至少有一个实数解而 ，所以故答案为 ，+）14已知函数 f（x）= ，若函数 y=f（x）a|x|恰有 4 个零点，则实数 a 的取值范围为 （1，2） 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由 y=f（x）a |x|=0 得 f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由 y=f（x）a |x|=0 得 f（x）=a|x|，作出函数 y=f（x） ，y=a|x|的图象，当 a0，不满足条件，a0，当 a2 时，此时 y=a|x|与 f（x）有三个 交点，当 a=1 时，当 x0 时，f（x）= x25x4，由 f（x）= x25x4=x得 x2+4x+4=0，则判别式=16 44=0，即此时直线 y=x 与 f（x）相切，此时 y=a|x|与 f（x）有五个交点，要使函数 y=f（x）a |x|恰有 4 个零点，则 1a2，故答案为：（1，2）
