1、金陵中学河西分校 2016 届高三 12 月月考试卷高三数学2015 年 12 月注意事项：1 本试卷共 3 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答卷纸一、填空题：1已知全集 UR，集合 Ax |x 25x 0 ，Bx |x4 ，x Z，则( UA)B 中最大 的元素是 _2已知复数 z 满足 zi5i2 z(i 为虚数单位)，则复数 z 的实部是 _3已知函数 f(x)2s
2、in(x ) (0) 的最小正周期为 ，则 f( )的值为 3 2 _4袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有 2，3，4，6，9 这五个数现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字至少有一个是奇数的概率是_5. 为了了解高三学生的身体状况抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图) ，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 12 3 ，第 2 小组的频数为 12，则抽取的男生人数是 _6. 右图是一个算法的流程图，则输出 S 的值是 _7在平面直角坐标系 xOy 中，若椭圆 1 的离心率为 ，则 m 的 x2m y2m2 4值为 _8已知函数
3、f(x) 则不等式 f(x)x 2 的解集为 x2， x 0，2x， x 0， ) _9. 已知正四棱锥 PABCD 的底面边长为 2，侧棱长为 ，则该四棱锥的侧面5积与表面积的比为 _10. 数列a n的各项都是整数，满足 a31 ，a 74，前 6 项依次成等差数列，体重50 55 60 65 70 75 频 率组 距0 03750 0125开始S1n0SS3nnn1结束输出 SS20 NY(第 6 题)从第 5 项起依次成等比数列，则数列 an前 10 项的和是 _11已知圆 O：x 2y 210 ，过点 P(3 ，4) 的直线 l 与圆 O 相交于 A，B 两点，若AOB的面积为 5，
4、则直线 l 的斜率为 _12在 ABC 中，已知 AB 4，B60，E 为 AC 的中点，AD BC ，垂足为 D，则 的AD BE 值为 _13已知函数 f(x)| xln x|，若关于 x 的方程 f(x)mx 有 4 个不同的解，则实数 m 的取13值范围为 _14已知 0b1a，若存在实数 b，使关于 x 的不等式 (xb) 2(ax) 2 的解集中的整数恰有 3 个，则 a 的取值范围是 _二、解答题：15. （本题满分 14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinBcosBtanC 2sin A（1）求角 C 的大小；（2 ）若 8a5b，求 c
5、osB 的值 16 （本题满分 14 分）如图在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD60 0， PA平面 ABCD，E 是PC 的中点，F 是 AB 的中点（1 ）求证：BE 平面 PDF；（2 ）求证：平面 PDF平面 PAB17 （本题满分 14 分）如图是一个扇形观光区的平面示意图，其中扇形 AOB 的圆心角为 ，半径为 1 23PAB CDEFABCDO（第 17 题）km为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路，道路由弧 AC，线段 CD，线段 BD 组成，其中 CDOA 设AOC（1）用 表示 CD 的长，并求 的范围；（2）当
6、 为何值时，观光道路最长？18 （本题满分 16 分）设 F(c，0)，A(a，0)分别是椭圆 C： 1(ab0)的一个焦点和顶点，它的右x2a2 y2b2准线为 l：x4，且椭圆 C 过点 (c， )（1 ）求椭圆 C 的方程；（2 ）设 P，Q 是右准线 l 上的两个动点，且 PFQF，直线 AP，AQ 分别与椭圆交于点M， N 两点，求证：直线 MN 过一定点，并求出此定点的坐标 19 （本题满分 16 分）已知函数 f (x) ，x 0，1 4x2 72 x（1 ）求 f (x)的单调区间和值域；（2 ）设函数 g (x)x 4aln x，x( ，e 3)，a R，若对于任意 x00，
7、1，总存在1e x1， x2 ( ，e 3) ，x 1x 2，使得 g (x1)g( x2)f (x0)成立，求 a 的取值范围1e20 （本题满分 16 分）已知数列 an中， an2a n1 n（n2 ，nN） （1 ） an是否可能为等比数列？若可能，求出此等比数列的通项公式；若不可能，说明理由；（2 ）设 bn( 1) n(ann2)，S n 为数列b n的前 n 项和，且对于任意的 nN*，n 10 ，都有Sn1，求 a1 的取值范围金陵中学河西分校 2016 届高三 12 月月考试卷数学附加题2015 年 12 月注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2 本试卷共 40 分，考试时
8、间 30 分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21 【 选做题 】在 A、B 、C、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图， 是O 的直径，C，F 是 上的两点 ， OCAB，过点 作O 的切线 FDOF交 AB 的延长线于点 D连结 CF 交 AB 于点 E.求证：DE 2DBDAB选修：矩阵与变换已知点 A(1，0)在矩阵 M (b0) 对应的变换下得到点 P，若POA 的面
9、积为 (Oa 1b 0 3为坐标原点)，POA60，求 a，b 的值，并写出 M 的逆矩阵O E B DFCAC选修：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆 C 的极坐标方程为： 24 cos( )70 ，直线 l 的极坐24标方程为 3cos4 sina0 若直线 l 与圆 C 相切，求实数 a 的值D选修：不等式选讲已知 a， b 是正实数，求证： ab2 3ba2 5a 1b【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22甲、乙两人玩一种游戏：甲从放有 4 个红球、3 个白球、3 个黄球的箱子中任取一球，
10、乙从放有 5 个红球、3 个白球、2 个黄球的箱子中任取一球规定:当两球同色时为甲胜，当两球异色时为乙胜（1 ）求甲胜的概率；（2 ）假设甲胜时甲取红球、白球、黄球的得分分别为 1 分、2 分、3 分，甲负时得 0 分，求甲得分数 X 的概率分布及数学期望 EX23在直角坐标平面内，把横坐标与纵坐标都为整数的点称为整点已知区域 D:其中 nN*记区域 D 内的整点个数为 any 2x，x y n，y 0， )（1 ）求 a1，a 2，a 3 的值；（2 ）求 an 的表达式(n4，nN*) 金陵中学河西分校 2016 届高三 12 月月考试卷高三数学参考答案及评分标准2015 年 12 月一、
11、填空题：1 3 21 3 4 548 631 7237108 (1，2) 9. 1057 11 或 126 13(0， ) 14 (1，3)23 112 12 1e 13二、解答题：15. （本题满分 14 分）解：（1）因为 sinBcosBtanC2sinA，所以 sinBcosCcosBsinC2sinAcosC，即 sin(BC)2sinAcosC3 分即 sinA2sinAcosC因为 0A，所以 sinA0所以 cosC 12因为 0C，所以C 6 分3（2 ）由 8a5b，得 8sinA5sinB，即 8sin( B)5sinB23所以 8(sin cosBcos sinB)23
12、 235sinB 10 分化简，得 sinB4 cosB，所以 tanB4 123 3分所以 B 为锐角，所以cosB 14 分1716 （本题满分 14 分） PAB CDEFM证明：（1）取 PD 的中点 M，连接 EM，MF因为 E 为 PC 中点，所以 EM 为PCD 的中位线，所以 EMCD，EM CD12因为 ABCD 是菱形，F 为 AB 的中点，所以 BFCD，BF CD12所以 EMBF，EMBF 所以 BFME 为平行边形4分所以 BEM F，因为 BE平面 PDF，MF 平面 PDF，所以 BE平面 PDF7 分（2 ）因为 AD AB2 AF，BAD 60，所以 DF2
13、AF 2AD 22AFADcos603AF 2所以 AD2AF 2DF 2所以 DFAF10 分因为 PA平面 ABCD，DF平面 ABCD，所以 PADF因为 AFDF F ，AF 平面 PAB，PA平面 PAB，所以 DF平面 PAB12 分DF平面 PDF，所以平面 PDF平面 PAB14 分17 （本题满分 14 分） 解：（1）在OCD 中，由正弦定理，得 ，OC1，OCsin60 ODsin所以 OD sin，CD sin( )423分由题意，知 OD1，即 sin1 ，0 ，所以 0 623 3分所以 CD sin( )，0 23 3（2 ）设观光道路总长为 f()km，则f()
14、 sin( )1 sin823分化简，得 f() ( cos sin)1 ，0 12 3f()1 ( sin cos)10 分12解 f() 0，得 0 ，解 f()0，得 6 6 3所以函数 f()在上(0 ， )是增函数，在( ， )上是减函数6 6 3所以当 时，f() 的最大值为 1 136 6分答：当 时，观光道路最长为 1 km146 6分18 （本题满分 16 分）解：（1）由题意，得 4， 1，a2c c2a2 3b24b2解由组成的方程组，得 c1，a2 所以 b 3所以椭圆 C 的方程为 14x24 y23分（2 ）由（1 ），知 A(2，0)，F (1，0)设 P(4，m
15、)，Q(4，n) 因为 PFQF，所以 mn9， 6分直线 AP:y (x2) ，直线 AQ:y (x2)m6 n6解方程组 得 M 点的坐标为 M( ， ) 8 分54 2m227 m2 18m27 m2同理，N 点的坐标为N( ， )10 分54 2n227 n2 18n27 n2若直线 MN 的斜率不存在，则 0 ，18m27 m2 18n27 n2由可得，m，n 的值一个为 3，另一个为3，故直线 MN 的方程为 x1，此时过定点 F(1，0)12分若直线 MN 的斜率存在，则kMF ，k NF 14 分6m9 m2 6n9 n2因为 mn9 ，所以 m 9n所以 kMF k NF6m
16、9 m2 6n9 n2所以直线 MN 过定点 F(1，0)16分综上，直线 MN 过定点 F(1，0)19 （本题满分 16 分）解：（1）f (x) ，x0 ，12 分(8x)(2 x) (4x2 7)( 1)(2 x)2 (2x 1)(2x 7)(2 x)2解 f (x)0，得 x1，解 f (x)0 ，得 0x ，12 12所以函数 f(x)在 ( ，1) 上是增函数，在(0， )上是减函12 12数4 分f( )4，f(0) ，f(1) 3 12 72所以函数 f(x)的单调增区间为( ，1)，单调减区间为(0， )，值域为4，3612 12分（2 ）因为对于任意 x00， 1，总存在
17、 x1，x 2( ，e 3) ，x 1x 2，使得 g (x1)g (x2)f (x0)1e成立，所以函数 g(x)在区间( ，e 3)上不是单调函1e数8 分g(x)1 ，x( ，e 3)ax x ax 1e因为 g(x)在区间( ，e 3)上不是单调函数，1e所以 ae 3， 且易知 g(x)在区间( ，a) 上是减函数，在区间(a，e 3)上是增函1e 1e数10 分当 x a 时，g(a)g(x ) 4 a；当 axe 3 时，g(a)g (x)e 343 a1e 1e根据题意，得 g(a)4， 4 a3， 1ee34 3a 314 分解由组成的不等式组，得 ex e3 13所以 a 的取值范围为(e， )16 分e3 1320 （本题满分 16 分）解：（1）由 an1 2 ann 1 （nN*） ，得a2 2a12，a 34a 17，a 48a 1182 分若a n为等比数列，则 a1，a 2，a 3 成等比数列所以(2a 12) 2a 1(4a17) ，解得a1 44 分此时 a14 ，a 26，a 39，a 414，不是等比数列所以a n不可能是等比数列6 分（2 ）因为 bn(1) n(ann2)，所以 an(1) nbnn 2，a n1 ( 1) n1 bn1 n3将其代入 an1 2a nn1（n N*） ，得
