1、2016届江苏省扬州中学高三上学期 10月月考试题 数学理(满分 160 分，考试时间 120 分钟)一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 ）1. 已知集合 Mx |x1，N x|lg(2x1) 0，则 MN (0,1) 2. 复数 z 为纯虚数，则实数 a 的值为 1 a i1 i3. 不等式|x1|(2x1) 0 的解集为 x|x1 或 x 124. 函数 f (x) a（x0） ，则“f (1)1”是“函数 f (x)为奇函数”的 条件（用“充分不必13x 1要” ， “必要不充分” “充要” “既非充分又非必要”填写） 充要5. m 为任意实数时，直线(m1
2、) x(2m1) ym 5 必过定点_(9, 4) 6. 向量 a(1,2)、b(3,2)，若(kab) (a3b)，则实数 k_由题意知，a 与 b 不共线，故 k11(3) ，k137. 关于 x 的方程 cos2x4sinx a0 有解，则实数 a 的取值范围是 4,48. 已知 x0，y 0，x 2y2xy8，则 x2y 的最小值是_4解：x2y8x (2y)8 2，整理得( x2y )24(x2y)320，即( x2y4) (x2y8)(x 2y2 )0又 x2y 0，x 2y4 9. 已知点 x,y 满足不等式组 ，若 axy3 恒成立，则实数 a 的取值范围是_( ,310. 已
3、知ABC 是等边三角形，有一点 D 满足 ，且| | ，那么 3 AB 12 AC AD CD 3 DA DC11. 若函数 f (x)mx 2lnx 2x 在定义域内是增函数，则实数 m 的取值范围是_ ,)12解：f (x)2mx 20 对 x0 恒成立，2mx 212x02m ，令1x 2xt 02mt 22t， max1，2m1，m 1x ( t2 2t) 1212. 已知函数 f (x) ，若 x1, x2R，x 1x 2，使得 f (x1)f (x2)成立，则实数 a 的取 x2 ax (x 1)2ax 5 (x 1)值范围是 ( ,4)13. 将 ysin2x 的图像向右平移 单
4、位（ 0） ，使得平移后的图像仍过点 ，则 的最小值为_解法一：点代入 ysin(2x2 )sin( 2) 2 2k 或23 23 32 2k k 或 k 的最小值为 23 23 6 6解法二：结合函数 ysin2x 的图形14. 已知函数 f (x)满足 f (x) f ( )，当 x1,3时，f (x)lnx，若在区间 ,3内，函数 g(x)f (x)ax 与 x 轴1x 13有三个不同的交点，则实数 a 的取值范围是 ,二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分 14 分）已知直线 1:(2)(3)50lmxy和 2:6(1)
5、5lxmy问：m 为何值时，有：（1） 1lA；（2） 12l解：（1） 2lA， ()8，得 4或 2；当 m4 时，l 1：6x7y 50，l 2：6x7y5,即 l1与 l2重合，故舍去当 5时， :,:5,ll即 A当 2时， 12A 7 分（2）由 6()(3)0m得 1或 92m；当 m或 9时， 12l 14 分16. （本小题满分 14 分）已知函数 f (x)sin(x ) (0，0 )，其图像经过点 M ，且与 x 轴两个相邻的交点的距离为 （1）求 f (x)的解析式；（2）在ABC 中，a13，f (A) ，f (B) ，求ABC 的面积35 513解：（1）依题意知，
6、T2，1，f (x)sin(x ) f ( ) sin( ) ，且 0 即 3 3 12 3 3 43 3 56 2f (x)sin cosx 6 分（2）f (A)cosA ，f (B)cosB ， A,B(0, ) 35 513 2sinA ，sinB 8 分45 1213sinCsin(A B)sinAcosB cos AsinB 10 分5665在ABC 中 b15. 12 分asinA bsinBS ABC absinC 1315 84 14 分12 12 566517. （本小题满分 15 分）已知|a|3，|b|2，a 与 b 的夹角为 120，当 k 为何值时，（1）kab 与
7、 ak b 垂直；（2）|ka2b|取得最小值？并求出最小值解：（1）kab 与 ak b 垂直，(kab)(akb) 0ka 2k 2abbak b2 09k(k 21) 32cos1204k03k 213k30k 7 分（2）|ka2b| 2k 2a24k ab4b 29k 24k32cos120449k 212k16(3k 2) 212当 k 时，|k a2b|取得最小值为 2 15 分23 318. （本小题满分 15 分）如图，一条宽为 1km 的两平行河岸有村庄 A 和供电站 C，村庄 B 与 A、C 的直线距离都是 2km，BC与河岸垂直，垂足为 D现要修建电缆，从供电站 C 向
8、村庄 A、B 供电修建地下电缆、水下电缆的费用分别是 2 万元/km、4 万元/ km（1）已知村庄 A 与 B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是 0.5 万元/km现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值（2）如图，点 E 在线段 AD 上，且铺设电缆的线路为 CE、EA、EB若DCE (0 )，试用3 表示出总施工费用 y (万元)的解析式，并求 y 的最小值解：（1）由已知可得ABC 为等边三角形，AD CD，水下电缆的最短线路为 CD.过 D 作 DEAB 于 E，可知地下电缆的最短线路为 DE、AB. 3 分又 CD1，DE
9、 ，AB 2，故该方案的总费用为14 220.55 （万元） 6 分3（2）DCE (0 )3CEEB ，ED tan ，AE tan .3则 y 4 2( tan )22 2 9 分3 3令 f () (0 )3则 f () ，11 分0 ，0sin ，记 sin0 ， 0(0, ) 3 13 3当 0 0时， 0sin ，f ()013当 0 时， sin ，f ()03 13f ()在0, 0)上单调递减，在 (0, 上单调递增13 分3f ()minf (0) 2 ，从而 ymin4 2 ，此时 EDtan 0 ， 2 2 3答：施工总费用的最小值为（4 2 ）万元，其中 ED . 1
10、5 分2 319. （本小题满分 16 分）已知 a 为实数，函数 f (x)alnxx 24x （1）是否存在实数 a，使得 f (x)在 x1 处取极值？证明你的结论；（2）若函数 f (x)在2, 3上存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围；（3）设 g(x)2alnxx 25x ，若存在 x01, e，使得 f (x0)g(x 0)成立，求实数 a 的取值范围1 ax解：（1）函数 f (x)定义域为(0,) ，f (x) 2x4ax 2x2 4x ax假设存在实数 a，使 f (x)在 x1 处取极值，则 f (1)0，a2， 2 分此时，f (x) ，2(x 1)2x当 0 x1
11、 时，f (x)0，f (x)递增；当 x 1 时，f (x)0，f (x)递增x 1 不是 f (x)的极值点故不存在实数 a，使得 f (x)在 x1 处取极值 4 分（2）f (x) ，2x2 4x ax 2(x 1)2 a 2x当 a2 时，f (x)0， f (x)在(0,) 上递增，成立； 6 分当 a2 时，令 f (x)0，则 x1 或 x1 ，f (x)在( 1 ,)上递增，f (x)在2, 3上存在单调递增区间，1 3，解得：6a2综上，a6 10 分（3）在1,e上存在一点 x0，使得 0fgx成立，即在1,e上存在一点 0x，使得 0h，即函数 lnah在1,e上的最小
12、值小于零有22 21(1)()(1)() aaxxx当 e，即 时， h在 e， 上单调递减，所以 h的最小值为 e，由 0可得21e，因为21e，所以21a； 12 分当 a，即 0时， hx在 e， 上单调递增，所以 hx最小值为 ，由 0a可得 2； 14 分当 1，即 1a时，可得 hx最小值为 1ln1haa，因为 0ln，所以， ln，故 2l2a 此时不存在 0使 成立综上可得所求 的范围是： 1ea或 16 分解法二：由题意得，存在 x1, e，使得 a(lnx )x 成立1x 1x令 m(x)lnx ，m( x)在1, e上单调递增，且 m(1)10, m(e)1 01x 1
13、e故存在 x1(1,e)，使得 x1, x 1)时，m(x) 0；x ( x1, e时，m(x) 0故存在 x1, x1)时，使得 a 成立，()x2 1xlnx 1或存在 x( x1, e时，使得 a 成立，() 12 分x2 1xlnx 1记函数 F(x) ，F (x)x2 1xlnx 1 (x2 1)lnx (x 1)2(xlnx 1)2当 1xe 时，(x 21)lnx( x1) 2(x 21)G(x )lnx lnx 1 递增，且 G(e) 0x 1x 1 2x 1 2e 1当 1xe 时，(x 21)lnx( x1) 20，即 F (x)0F( x)在1, x 1)上单调递减，在(
14、x 1, e上也是单调递减， 14 分由条件()得：aF (x)maxF(1)2由条件()得：aF (x)minF(e)e2 1e 1综上可得，a 或 a2 16 分e2 1e 120. （本小题满分 16 分）已知常数 a0，函数 f (x) ax34(1a) x，g( x)ln(ax1) 13 2xx 2（1）讨论 f (x)在(0,) 上的单调性；（2）若 f (x)在 上存在两个极值点 x1、x 2，且 g(x1)g (x2)0，求实数 a 的取值范围解：（1）由 题 意 可 知 ： f (x)ax 24(1a)当 a1 时，f (x)0，此时， f (x)在区间(0,)上单调递增 当
15、 0a1 时，由 f (x)0 得： x1 （x 2 0 舍去）当 x(0, x1)时， f (x)0；当 x(x 1,)时，f (x)0.故 f (x)在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,)上单调递增 综上所述，当 a1 时，f (x)在区间(0,) 上单调递增；当 0a1 时，f (x)在区间(0, )上单调递减，在区间( ,) 上单调递增 6 分（2）由（1）知，当 a1 时，f (x)0，此时 f (x)不存在极值点，因而要使得 f (x)有两个极值点，必有 0a1. 又f (x)的极值点只可能是 x1 和 x2 ，由 g(x)的定义可知，x 且 x2， 且 x21a 1
16、a解得：0a 或 a1 【定义域在这里很重要】 8分12 12此时，由（*）式易知，x 1, x2分别是 f (x)的极小值点和极大值点而 g(x1)g(x 2)ln(ax 11)(ax 21) 2x1x1 2 2x2x2 2lna 2x1x2a(x 1x 2)1 ln(2a 1)24x1x2 4(x1 x2)x1x2 2(x1 x2) 4 4(a 1)2a 1ln(2a1) 2 2 10分22a 1令 x2a1，由 0a 且 a 知，当 0a 时，1x0；当 a1 时，0x1 ，记 h(x)12 12 12 12lnx 2 22x当1x0 时，h( x)2ln(x) 2，2x设 tx(0,1
17、)， (t)2lnt 2 单调递增 (t) (1)402th(x)40，故当 0a 时，g(x 1)g(x 2)0，不合题意，舍去12当 0x1 时，h( x)2lnx 2，h (x) 0，2x 2x 2x2 2x 2x2h(x)在(0,1)上单调递减，h(x)h(1) 0，故当 a1 时，g( x1)g(x 2)012综上，a 的取值范围为 16分附加题(考试时间：30 分钟 总分：40 分)2015.1021.（选修 42：矩阵与变换） （本小题满分 10分)已知矩阵31A（1）求 1；（2）满足AX 二阶矩阵X解：(1) 1243 5 分(2) 852013X 10 分22 （选修 44
18、：坐标系与参数方程） （本小题满分 10分)在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2cos2sin ，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长x 1 t，y 3t )解：曲线 C 的直角坐标方程为 x2y 22x2y0，圆心为(1，1) ，半径为 ，(3 分)2直线的直角坐标方程为 x y 0，(5 分)3 3所以圆心到直线的距离为 d ，(8 分)| 3 1 3|2 12所以弦长2 .(10 分 )2 14 723.（本小题满分 10分)如图，在三棱柱 ABCA 1B1C1中，AB3，AA 1A
19、C 4，AA 1平面 ABC； ABAC， （1）求二面角 A1BC 1B 1的余弦值；（2）在线段 BC1存在点 D，使得 ADA1B，求 的值BDBC1解： （1）如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A xyz,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面 A1BC1的法向量为 ,)xyzn=(,则 10Cn,即 340, 令 z,则 x, y,所以 (,3)n=. 同理可得,平面 BB1C1的法向量为 40m,1A1B1CABC所以 16cos25nm,|. 由题知二面角 A1BC 1B 1为锐角,所以二面角 A1BC 1B 1的余弦值为
20、 . 5 分（2）设 D (,)xyz是直线 BC1 上一点,且 1DBC. 所以 (,3)(4,)xyz.解得 4x,3y, 4. 所以 (,3,)A. 由 10DB,即 9250.解得 925. 因为 25,所以在线段 BC1上存在点 D, 使得 ADA1B. 此时, 19C. 10 分24.（本小题满分 10分) （1）证明： 1rrnn； 1221nnC（其中 ,01,rNrn） ；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设 2局，每局比赛甲获胜的概率均为p，首先赢满 局者获胜（ N）.若 n，求甲获胜的概率；证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）.解：（1） 1 1!1!()()()!rn rnrnrnCrC2 分由 1+12221=nnn 3 分（2）若 ，甲获胜的概率 1056)1()1( 222423 ppCppP 5 分证明：设乙每一局获胜的概率为 q，则 0,q记在甲最终获胜的概率为 n，则1A1B1CABCxyznnn nqCqCp qppP2211 2.所以， 0122)( )(. 11)1. . .1.1 1212212 3232 12221 32 1221 qCp CqpqpqqCqn nnn nn nnn nnn nnnn所以 nP即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大） 10 分
