1、绝密启用前揭阳市 2015-2016 学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。3.答案第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第卷一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
2、目要求的。1.已知集合 ，则2=1,2,10,MxNMN（A） （B） （C） （D ）022,2.复数 的实部与虚部的和为12i（A） （B） （ C） （D ）1233.在等差数列 中，已知 ，则此数列的公差为na357103,9aa（A） （B） （C） （D）13 64.如果双曲线经过点 ，且它的一条渐近线方程为 ，那么该双曲线的方程式(2,)pyx（A） （B） （C） （D）21yx21xy213621yx5.利用计算机在区间（0,1）上产生随机数 a,则不等式 成立的概率是ln()0a（A） （B） （C） （D）323246.设 是两个非零向量，则“ ”是 “ ”的,ab2()
3、abb（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D）既不充分又不必要条件7.已知奇函数 的图像关于直线 对称，且 ，()yfx2x()3fm则 的值为(4)fm（A）3 （B）0 （C）-3 （D ） 138.函数 的最大值和最小正周期分别为24()cosfxx（A） （B ） （C） （D）1,4,2,29.某人以 15 万元买了一辆汽车，此汽车将以每年 的速度0%折旧，图 1 是描述汽车价值变化的算法流程图，则当 n=4 时，最后输出的 S 的值为（A）9.6 （B）7.68 （C ）6.144 （D）4.915210.如图 2，网格纸上小正方形是边长为 1，粗线画出
4、的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）54 （B）162 （C ） （D）54183628311.已知直线 与圆心为 C 的圆 相交于 A，B 两0xya23470xyxy点，且 ，则实数 a 的值为AB（A） 或 （B ） 或 33（C ） 或 （D） 或5512.若函数 存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为32()1fxax（A） （B） （C） （D）0,0,(3,0(3,)第卷本卷包括必答题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必答题，每个试题考生都必须作答，第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：（本大概题共 4 小题
5、，每小题 5 分,共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上）13 已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 的最大值为 203xy32zyx14.在 的展开式中， 的系数是 261()x3x15.已知正方形 的一个面 在半径为 的半球底面上，1ABCD1ABCD3A、B、C、D 四个顶点都在此半球面上，则正方体 的体积为 1ABC16.设 是数列 的前 n 项和，且 ，则数列 的通项公式 nSa11,naSnana三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 12 分）已知 a,b,c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，且 3sincosAaC（
6、）求 的值C（）若 ，求ABC 的面积2,3cab18. （本小题满分 12 分）某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利 500 元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费 100 元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润 200 元。（）若该商场周初购进 20 台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量 n（单位：台， ）的函数解析式 ；nN()fn（）该商场记录了去年夏天（共 10 周）空调器需求量 n（单位：台） ，整理得下表：周需求量 n18 19 20 21 22频数 1 2 3 3 1以 10 周记录的各需
7、求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进 20 台空调器，X 表示当周的利润（单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望。19. （本小题满分 12 分）如图 3，在三棱柱 中，底面ABC 是边长为 2 的1ABC等边三角形，D 为 AB 的中点。（）求证： /平面11D（）若四边形 是正方形，且 ，求直线 与平面 所成角的正B15A1AD1CB弦值。20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，且短轴的长为 2，离心率等于 。25（）求椭圆 C 的方程；（）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若，求证
8、： 为定值。12,MAB1221. （本小题满分 12 分）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为(1)()lnbxfxa()yfx1,()f 2y（）求 a、b 的值；（）当 时，不等式 恒成立，求实数 k 的取值范围。1(ln)kf请考生在（22） 、 （23） 、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分。22(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图 4，四边形 ABCD 内接于 ，过点 A 作 的切线 EPO:交 CB 的延长线于 P，已知 。025B（）若 BC 是 的直径，求 的大小；:D（）若 ,求证：025DAE2ACP23. （本题满分 10
9、分） 选修 44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，2cos34inxty以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 4（）写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（）设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，求 的值。OB24. （本题满分 10 分） 选修 45：不等式选讲已知函数 。()|2|fx（I）解不等式： (1)2fx（II）若 ，求证：0a()afa揭阳市 2015-2016 学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，
10、如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题：D D A B A C C B C D C D解析：7.由函数 的图象关于直线 对称得 ，)(xfy2x()(2)fxf则 .(4)2()fmfm3m8. ，211cos4cosinsix1cos48故 ma(),fT9.依题意知，设汽车
11、 年后的价值为 ,则 ，结合程序xS5(20%)x框图易得当 时， 4n415(20)6.110.依题意知该几何体如右图示：故其表面积为.222366)8311.圆 即 ，所以4370xyxy222()(3)()xy，(3,2)C，由 得 ,所以圆心 C 到直|ABACB41cos2|ACB线 的距离 ，故 或 .0xya|3|26ad3a512. 函数 存在唯一的零点，即方程 有唯一的实根32()1fx210x直线 与函数 的图象有唯一的交点，由 ，可得3()g 3()gx在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以当()gx,1)(,0)(0,时， 有极小值， ，故当 时，直线 与
12、函数( 13xg极 小 aya的图象有唯一的交点.32()x=-2y2=8xy xOFQ F(2,0)QP或因 由 得 或 ，若 显然 存在唯一的零2()6,fxax()0fx3a0()fx点，若 ， 在 和 上单调递减，在 上单调递增，且0a()f,3(,)故 存在唯一的零点，若 ，要使 存在唯一的零点，则有()1,f fx解得 ，综上得 .33a二、填空题：13. 9；14. 20；15. ；16. 21,().2n解析：15设正方体的棱长为 ，把半球补成全球，则问题为长、宽、高分别为 、 、x x的长方体内接于球， ，解得 ，所以正方体的体积为2x222()3)x16.由 ，1naS11
13、()1nn nS. ,().2nn三、解答题：17解：（I） 、 为 的内角，ACB由 知 ，结合正弦定理可得：3sincosain0,cos-ico-3 分,-tanC-4 分 .-06-5 分（II）解法 1： ， ，2ca3b由余弦定理得： ，-4142a-7 分整理得： 240a解得： （其中负值不合舍去）-51-9 分 ，由 得asin2ABCSab的面积 -AB113(5)(5)212 分【解法 2：由 结合正弦定理得： ，-casini4AC-6 分 ， , ,-aAC215cos1i-7 分 sini()sin()BA= ,-icosiAC13513428-9 分由正弦定理得：
14、 ，-insbAaB-10 分 的面积 -ABC113(5)i(5)22 2ABCS 12 分 】18.解：（I）当 时， -0n()0(0)60fnn-2 分当 时， -19()512)62f-4 分所以 -6()()029fnnN-5 分（II）由（1）得 -(18)0,(1)40,ff-6 分-(20),22f-7 分 ).(9).,PXPX-(10).3,(102).3,(104).,PXPXPX-9 分的分布列为 894102104P0.10.20.3.3.-94.14986.EX12 分19.（I)证法 1：连结 AC1，设 AC1 与 A1C 相交于点 E，连接 DE，则 E 为
15、 AC1 中点，-2 分D 为 AB 的中点， DE BC 1，-4 分BC 1 平面 A1CD，DE 平面 A1CD，-5 分BC 1平面 A1CD. -6 分【证法 2：取 中点 ，连结 和 ，-1 分B1DB1 平行且等于 四边形 为平行四边形 -11/-2 分 平面 ， 平面AC11AC 平面 ,-3 分1/B1同理可得 平面 -4 分/D 平面 平面1D/1B又 平面11BC 1平面 A1CD. -6 分】(II) -2215+=1,A7 分又 ，11,/BC1BC又 面 -AD-8 分法一：设 BC 的中点为 O， 的中点为 ，以 O 为原点， 所在的直线为 轴，11Bx所在的直线
16、为 轴， 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系 .-1OyAzOyz-9 分则 ， .1A()023,D132,0 -10 分1(,),O1OzyxABCD A1C1B1D1B1C1A1DCBAEB1C1A1DCBA平面 的一个法向量1CB(0,1)=n11 5ADn|cos, .所以直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值为 -150.12 分【法二：取 的中点 ，连结 ，则 -1H1A11HBC-7 分 面 ，故 ,1A1BC11, 面 -9 分B延长 、 相交于点 ，连结 ，1DFH则 为直线 与平面 所成的角. -AFH11C10 分因为 为 的中点，故 ，又B125AF13
17、13sin025AF即直线 与平面 所成的角的正弦值为 .-1D1BC15012 分 】【法三：取 的中点 ，连结 ，则 -1H1A11HBC-7 分 面 ，故 ,1A1BC11, 平面 -9 分取 中点 M，连结 BM，过点 M 作 ，则 平面 ，1 1/NAH1BC连结 BN， ,1/ADB 为直线 与平面 所成的角，-10 分N1C NMHB1C1A1DCBAF HB1C1A1DCBA ,13152sin0AHMNBD即直线 与平面 所成的角的正弦值为 .-1A1C112 分 】20.解：（I）设椭圆 C 的方程为 )0(2bayx，则由题意知 -2,1.b=-2 分 5a25a解得 ，-2-4 分椭圆 C 的方程为 .152yx -5 分（II）证法 1：设 A、B、M 点的坐标分别为 ，120(,)(,)(,)AxyBMy易知 F 点的坐标为（2 ，0）. -6 分显然直线 l 的斜率存在，设直线的斜率为 k，则直线 l 的方程是 ，-(2)ykx7 分将直线的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得-222(15)050kxk9 分 .51,512221 kxk-10 分又 .2, 1121 xxBFMA 将 各 点 坐 标 代 入 得
