1、2015-2016 学年广东省湛江一中等四校高三（上）第二次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1复数 （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】先对复数化简并整理出实部和虚部，求出对应的点的坐标，即判断出点所在的象限【解答】解： = =2+i，在复平面上对应的点坐标是（2，1），即在第一象限，故选 A【点评】本题考查了复数的乘除运算，以及复数的几何意义，属于基础题2已知集合 M=x|y=lg ，N=y|y=x 2+2x+3，则（
2、 RM）N=（ ）Ax|10x1 Bx|x 1 Cx|x 2 Dx|1 x2【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算；函数的值域【专题】不等式的解法及应用【分析】利用函数的定义域求出 M，函数的值域求出 N，即可求解（ RM）N【解答】解：集合 M=x|y=lg ， ，解得：0x1，M=x|0x1，RM=x|x0 或 x1N=y|y=x2+2x+3=y|y2，（ RM）N=2 ，+） 故选：C【点评】本题考查分式不等式的解法，函数的值域以及函数的定义域，交、并、补的运算3采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查为此将他们随机编号为 1，2960，分组后在第一组采用简单随
3、机抽样的方法抽到的号码为 9，抽到的 32 人中，编号落入区间1，450的人做问卷 A，编号落人区间451 ，750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C则抽到的人中，做问卷 C 的人数为（ ）A15 B10 C9 D7【考点】系统抽样方法【专题】概率与统计【分析】根据系统抽样的方法和步骤，我们可将 960 人分为 32 组，每组 30 个人，则由此可计算出做问卷 AB 的组数和做问卷 C 的组数，即相应的人数【解答】解：用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人可将 960 人分为 32 组，每组 30 个人由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，故编号为1，750 中共有
4、75030=25 组即做问卷 C 的有 3225=7 组故做问卷 C 的人数为 7 人故选 D【点评】本题考查的知识点是系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的方法和步骤是解答的关键4设a n是公差为正数的等差数列，若 a1+a2+a3=15，a 1a2a3=80，则 a11+a12+a13=（ ）A120 B105 C90 D75【考点】等差数列【分析】先由等差数列的性质求得 a2，再由 a1a2a3=80 求得 d 即可【解答】解：a n是公差为正数的等差数列，a1+a2+a3=15，a 1a2a3=80，a2=5，a1a3=（5 d）（5+d）=16，d=3，a 12=a2+10d=35a11+
5、a12+a13=105故选 B【点评】本题主要考查等差数列的运算5由直线 y=2x 及曲线 y=3x2 围成的封闭图形的面积为（ ）A B C D【考点】定积分【专题】计算题【分析】根据图形可以得到直线 y=2x 及曲线 y=3x2 围成的封闭图形的面积为第三象限二分之一矩形的面积减去抛物线在第三象限曲边三角形的面积，加上抛物线在第一和第二象限曲边梯形的面积减去直角三角形的面积【解答】解：如图，由 得： 或 ，所以直线 y=2x 及曲线 y=3x2 围成的封闭图形的面积为S= =8+ =8+（3x ） =8+ 故选 D【点评】本题考查了定积分，考查了数形结合的数学思想，解答此题的关键是明确微积
6、分基本定理6若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2+ 的离心率为（ ）A B C 或 D 或【考点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质【专题】计算题【分析】先根据等比中项的性质求得 m 的值，分别看当 m 大于 0 时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得 a 和 b，则 c 可求得，继而求得离心率当 m0，曲线为双曲线，求得 a，b 和 c，则离心率可得最后综合答案即可【解答】解：依题意可知 m= =4当 m=4 时，曲线为椭圆， a=2，b=1，则 c= ，e=当 m=4 时，曲线为双曲线， a=1，b=2 ，c= 则，e=故选 D【点评】本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生
7、对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度7如图，定义某种运算 S=ab，运算原理如图所示，则式子（2tan ）lne+lg100（） 1 的值为（ ）A11 B13 C8 D4【考点】程序框图【专题】新定义【分析】根据程序框图可得，当 ab 时，则输出 a（b+1），反之，则输出 b（a+1），比较2tan 与 lne，lg100 与 （） 1 的大小，即可求解得到答案【解答】解：2tan =2，而 lne=1，（ 2tan ）lne=（2tan ）（lne+1 ）=22=4，lg100=2，（） 1=3，lg100（） 1=（） 1（lg100+1）=3 3=9，故（2tan ）lne
8、+lg100（） 1 的值为 4+9=13故选：B【点评】本题考查了程序框图，对应的知识点是条件结构的应用，其中正确理解各变量的含义并根据程序功能的需要合理的分析是解答的关键属于基础题8如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A54 B27 C18 D9【考点】由三视图求面积、体积【分析】由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，由体积公式可求【解答】解：由几何体的三视图可知，这是一个四棱锥，且底面为矩形，长 6，宽 3；体高为 3则 =18故选：C【点评】做三视图相关的题时，先要形成直观图，后要注意量的关系属于基础题95、如图，已知ABC 中，点 M 在线段 AC 上，点 P 在线段
9、BM 上且满足 =2，若 =2， =3， BAC=120，则 的值为（ ）A2 B2 C D【考点】平面向量数量积的运算【专题】数形结合；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】利用数量积运算性质可得： 利用向量共线定理及其三角形法则可得 =+ 再利用数量积运算性质即可得出【解答】解： =2， =3，BAC=120， =23cos120=3 ， = ，化为= + = + = + = = + = + =2故选：A【点评】本题考查了数量积运算性质、向量共线定理及其三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10如图，在平行四边 ABCD 中，ABD=90，2AB 2+BD2=4，若将其沿 BD
10、 折成直二面角ABDC，则三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为（ ）A4 B8 C12 D16【考点】球的体积和表面积；球内接多面体【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】确定三棱锥 ABCD 的外接球的直径，根据 2AB2+BD24=0，确定三棱锥 ABDC的外接球的半径，即可求得棱锥 ABDC 的外接球的表面积【解答】解：平行四边形 ABCD 中，ABBD，沿 BD 折成直二面角 ABDC，三棱锥 ABCD 的外接球的直径为 AC，且 AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2=4，三棱锥 ABDC 的外接球的半径为 1，三棱锥 ABDC 的外接球的表面积是 4故
11、选：A【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，解题的关键是确定三棱锥 ABCD 的外接球的直径，属于中档题11抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 的最大值为（ ）A B1 C D2【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接 AF、BF由抛物线定义得 2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（ a+b） 2ab，进而根据基本不等式，求得|AB| 的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|
12、AF|=a，|BF|=b，连接 AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形 ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos120=a2+b2+ab配方得，|AB| 2=（a+b） 2ab，又 ab（ ） 2，（ a+b） 2ab（a+b） 2（a+b） 2=（a+b） 2得到|AB| （a+b）所以 = ，即 的最大值为 故选：A【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求 的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题12已知定义在（0，+）上的单调函数 f（x
13、），对 x（0，+），都有 ff（x）log 3 x=4，则函数 g（x）=f（x 1）f（x1） 3 的零点所在区间是（ ）A（1，2） B（2，3） C（，1） D（0，）【考点】导数的运算；函数零点的判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】由x（0，+），都有 ff（x） log3 x=4，可设 f（x） log3 x=c（c 为常数），求出 g（x）的解析式，并说明 g（x）的单调性，计算 g（2），g（3），确定符号，由零点存在定理即可得到答案【解答】解：对x（0，+），都有 ff（x）log 3 x=4，可设 f（x）log 3 x=c（c 为常数），则 f（x）=log 3 x+
14、c，ff（x ）log 3 x=f（c）=log 3c+c=4，c=3，f（ x）=log 3 x+3，g（ x） =f（x1）f（x1）3=log 3（x1） log3e 在（1，+）上为增函数，g（2）= log3e0，g（3）=log 32log3e=log3 0，由零点存在定理得，函数 g（x）的零点所在的区间为（2，3）故选 B【点评】本题主要考查函数的零点的判断，考查应用零点存在定理判断函数的零点所在范围，同时考查函数导数的运算和函数的单调性，是一道函数综合题二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13（x 3+ ） 9 的展开式中的常数项为 84 【考点】二项式
15、定理的应用【专题】计算题；方程思想；综合法；二项式定理【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 0 求出 r，即可求出常数项【解答】解：T r+1=C9r（x 3） 9r =C9r令 27r=0，则 r=6 时，（x 3+ ） 9 的展开式中的常数项为 C96=84故答案为：84【点评】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特征项问题的工具14若数列a n是正项数列，且 + + =n2+3n（nN *），则 + + = 2n2+6n 【考点】数列的求和【专题】计算题【分析】根据题意先可求的 a1，进而根据题设中的数列递推式求得+ + =（n1 ） 2+3（n 1）与已知式相减即可求得数列a n的通项公式，进而求得数列 的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案【解答】解：令 n=1，得 =4， a1=16当 n2 时，+ + =（n1 ） 2+3（n 1）与已知式相减，得=（n 2+3n）（n1） 23（n1）=2n+2，an=4（ n+1） 2，n=1 时，a 1 适合 anan=4（ n+1） 2， =4n+4，
