1、2016 届山东省青岛市高三上学期期末考试数学（文）试题201601本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分共 150 分考试时间 120 分钟注意事项：1用 0.5 毫米黑色签字笔( 中性笔) 将有关信息填在答题卡规定的位置上，按要求贴好条形码。2第 I 卷答案请用 2B 铅笔把答题纸上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上3第卷必须用 05 毫米黑色签字笔( 中性笔)作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效第 I 卷(
2、选择题 共 50 分)一、选择题：本题共 10 个小题。每小题 5 分，共 50 分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。1.已知集合 ，则 等于ln3,2AxyBxyRCABA. B. C. D. 2,3,20,32.设复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于12,1zii12zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.平面向量 的夹角为ab与r,03abab， ， 则rrrA. B.0 C. D.22364.已知圆 ，圆 ，则圆 和圆 的位置2214Oxy： 2:40Oxy1O2关系是A.相交 B.相离 C.外切 D.内含5.阅读右侧的算法框图，输出的结果 S
3、的值为A. B.0 C. D. 323326.设 ，若 2 是 的等比中项，则 的最小值为0,abab与 1abA.8 B.4 C.2 D.17.已知双曲线 的一个实轴端点与恰与抛物线 的21xyab24yx焦点重合，且双曲线的离心率等于 2，则该双曲线的方程为A. B. C. D. 241xy14xy213x213yx8.在 中，角 A,B,C 所对的边分别是 ，若 ，且 则ABC,abc22abc4ACBurg的面积等于A. B. C. D. 4323339.已知命题 ，若 为假命题，则22:,1;:,10PxRmqxRmxpq实数 m 的取值范围是A. B. C. D. ,0,0,2,1
4、0.已知函数 ，则函数 的零点个数是21,xfg1yfxA.1 B.4 C.3 D.2第 II 卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.11.某班有男同学 27 人，女同学 18 人，若用分层抽样的方法从该班全体同学中抽取一个容量为 20 的样本，则抽取女同学的人数为_.12.若 三者的大小关系为_.（用表示） ；433,log,55abcabc则13.已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位 cm） ，可得这个几何体的体积是_cm 3.14.已知圆 与抛物线 的准线相切，则 p=_.2430xy20xpy15.已知 O 是坐标原点
5、，点 A 的坐标为 ，若点 为平面区域 上的一,1,Bx41xy个动点，则 的最大值是_.zB三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分 12 分）已知函数 （其中 ） ，若 的一条对称轴13sincos.2fxxx0fx离最近的对称中心的距离为 4（I）求 的单调递增区间；yfx（II）在 中角 A、B、C 的对边分别是 满足abc、 、恰是 的最大值，试判断 的形状.2cosbaf， 且 fxABC17.已知 ，动点1,0,2AB,PABxyS（I）若 的概率；101xy， 求（II）若 的概率.,， 求18. （本小
6、题满分 12 分）设数列 的前 n 项和为 .a1,31,nnSanN（I）求数列 的通项公式 ；（II）是否存在正整数 n，使得 ？若存在，求出2312 016nSn 值；若不存在，说明理由.19. （本小题满分 12 分）四棱锥 平面 ABCD，2AD=BC=2a ，PABCD中 ， 0/,3,ADBCPa（I）若 Q 为 PB 的中点，求证： ；60,2,a QP（II）若 ，M 为 BC 中点，试在 PC 上找一点 N，使 PA/平面 DMN；93AB20. （本小题满分 12 分）椭圆 C 的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，离心率与双曲线 离心率互为倒数，213yx且过 点，设 E、
7、F 分别为椭圆的左右焦点.3,2(I)求出椭圆方程；(II)一条纵截距为 2 的直线 l1 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，若以 PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程；(III)直线 l2: 与曲线 C 交与 A、B 两点，试问：当 t 变化时，是否存在一条直线 l2，xty使ABE 的面积为 ?若存在，求出直线 l2 的方程；若不存在，说明理由321. （本小题满分 14 分）已知函数 （a 为实常数）.2lnfxaxb（I）若 上为单调增函数；2,3,abe， 求 证 ： 在（II）若 ，求函数 在 上的最小值及相应的 x 值；20e， 且 fx1（III）设 b=0，若存在 ，使得 成立
8、，求实数 a 的取值范围.1,x2ax参考答案及评分标准第卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的1-5 CCDAB 6-10 CDDBB. 第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分11 12 13 14 或 ; 15 8cab8326三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分 12 分）解：()因为 2 2131()3sincossin2(cos1)fxxxxx3 分31sin
9、2ci()6的对称轴离最近的对称中心的距离为()fx 4所以 ，所以 ，所以T215 分()sin)6fx解 kxk得： 3所以函数 单调增区间为 6 分()fx,()63kkZ() 因为 ，由正弦定理，2cosbaCA得 (sin)incosBcicsin()C因为 si()()i0ACB，所以2ncosiBsn(2co1)所以 ，所以 9 分1cos2C03C所以 03B4B766根据正弦函数的图象可以看出， 无最小值,有最大值 ，()f max1y此时 ，即 ,所以2B3A所以 为等边三角形12 分AC17 （本小题满分 12 分）解：() 设 为事件 ,1S1,02,1,0xy所以所有
10、 的所有可能点的集合列表表示为(,)Pxy为 个基本事件2 分12所在直线的方程为 ,即,AB12xy20xy设 到 的距离为 ,()Pxyd|1PABSd,所以 3 分|5到 的距离为(,)PxyAB|2|5xyd所以 即可|2|即 ,也即 即可2xy40xy上面基本事件中,符合 的所有点的集合为(1),0,(1),(,)1(,1)(,0)(1,)0(,)(,)(,)201共 个基本事件,所以 6 分55()12PA() 02,xy可作出所有 表示的线形区域 如右图()C1|2PABSd,所以|5所在直线的方程,20xy到直线 的距离恰等于 的所有点在与 平行的直线上, 设为20xy25AB
11、,m根据两平行线的距离公式 |2|5md解得 或 (舍去)04所以符合要求的点的区域为 和 及 的公共区域0xy2y可解得 与 的交点为2xy2(1,2)其面积为 1S所以,由几何概型可知: 12 分()4PA18 （本小题满分 12 分）解:() 3(1)nSa*(N)n所以 时, 23(2两式相减得: 11)(2)nnnSan即 (1)()6(a也即 ,所以 为公差为 的等差数列nn 1a所以 6 分65() 23(1)=65)3()nSannByxO所以 32nS 212 3(1)31.3(12.)2nSnn所以 23 506所以 540n所以 87即当 时 , 12 分2312.(1)
12、06nS19 （本小题满分 12 分）证明 () 连结 , 中, 由余弦定理:BDA,2,60aABD,22cos60解得 3a所以 为直角三角形，ABBA因为 ，所以/DCD又因为 平面P所以 ，因为 所以 平面平面所以，平面 平面BP又因为 ， 为 中点3PDaQB所以 Q因为平面 平面C所以 平面平面PCB所以 6 分DQQPC第问图MNDABPC第问图() 当 为 中点时， 平面 ;NPC/ADMN证明：连结 ，设,MO先证明 为平行四边形，由中点得DA/PA可证明 平面 12 分/20 （本小题满分 13 分） 解: () 双曲线 的离心率为213yx2所以椭圆的离心率为设椭圆的长半
13、轴为 ,短半轴为 ,半焦距为 ,abc22bac所以 12c所以 ,设椭圆的方程为3b2413xya椭圆过 点,所以 ,解得(,)2224a所以椭圆的标准方程为 4 分143xy() 直线 斜率必存在，且纵截距为 ,设直线为1l ykx联立直线 和椭圆方程 2143kxy得: 2(34)160k由 ,得0设 12,()()PxyQ则 (1)212264343kxk以 直径的圆恰过原点所以 ,O0即 12xy也即 12()kx即 2)4将(1) 式代入 ,得 22430k即 2(1)3()k解得 ,满足 (*)式,所以 8 分3k()由方程组 ,得2143xty2(4)690tyt设 ,则12,
14、(,)()AxyB1212,334ytt所以 22 212112 26914()()34t tt因为直线 过点:lxty(,0)F所以 的面积ABE2212134ABE ttSy ,则 不成立21334t令 2t不存在直线满足题意13 分21 （本小题满分 14 分）解：() 时， ，2,ab2()ln3fxx定义域为 ，(0,)2(2)1xf 时， 恒成立,xe()10xf所以 在 上为单调增函数4 分()f,)()因为 ，所以0b2(lnfxax， ，2()xaf1,e22,ae(i) 若 ， 在 上非负（仅当 时， ） ，(f, ,1x()0fx故函数 在 上是增函数，)x1e此时 6 分min()ff(ii)若 ，2 2 ,0, eaae,2()()()()xxf 1xe
