1、2016 届四川高三第三次全国大联考（卷）理数卷 （解析版） 第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 ， ，则 （ ）|(2)0Ax|ln2BxyxABA B C D|020,12【命题意图】本题考查集合与集合间的基本关系及其运算，考查学生的运算求解能力.【答案】B【解析】易知集合 ， ，所以 ，选 B.|02x|x|ABx2. 设 i 为虚数单位，若复数 满足 ，则 的共轭复数 （ ）z1()izzzA B Ci D1i i【命题意图】本题考查复数及其相关概念，复数的四则运算以及运算求解能
2、力【答案】D【解析】由 ，得 ，则 ，选 D.()izzi1iz3. 已知正态分布密度函数 （ ） ，则下列判断正确的是（ ）2()exfxRA函数 是偶函数()yfB函数 在区间 上是增函数(,)C函数 的图象关于直线 对称xxD ()1P【命题意图】本题考查正态分布密度函数的图象和性质，属于基础题【答案】D【解析】因为正态曲线与 轴围成的面积为 1，且正态曲线关于直线 对称，从而在关于直线 对x xx称的区间上概率相等，于是 ，故选 D.()()Px4. 已知向量 ， .若 ，则 ( )(2,sin)a,cosb/ab=A B C D15524【命题意图】本题考查向量平行的充要条件、线性运
3、算以及数量积的概念与运算，同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力.【答案】B【解析】由 得， ，即 .又 ，所以 .则/abcosin0xsin2cosx22incos1x21cos5x，选 B.=212sin5x5. 已知双曲线 （ ）的渐近线被圆 截得的弦长为 2，则该双曲线21xyab0,ab2650xy的离心率为（ ）A B C D 235262【命题意图】本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查基本运算求解能力.【答案】D【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径 .不妨设一条渐近线方程为 ，则2650xy(3,0)r0bxay圆心到渐近线 的距离为 ，由勾股定
4、理，得 ，即 ，ba2|bda22|3()1ba2所以 ，则 .223ce62e6.某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则 的最大值为( )xyA. B. C. D. 374647【命题意图】本题考查三视图与原几何体的相互关系，不等式的应用等基础知识，考查基本运算求解能力和空间想象能力.【答案】C【解析】设主视图的高为 ，则根据三视图理论，得 ，所以 .a2210(7)ayx218y又 （当且仅当 时等号成立） ，所以 的最大值为 .264xy8xyy647. 如图所示的程序框图中，若 ， 且 恒成立，则 的最大值是( ) 2()1f()4gx()hxmA. B. C. D.
5、 013【命题意图】本题主要考查了对程序框图识图能力，分段函数以及不等式恒成立问题，属于对基础知识的考查.【答案】C【解析】根据程序框图的意义， ，所以 ，则 ，21,3()4xxhmin()(1)3hxm的最大值是 ，选 C.m38. 已知 个人组成的旅行团中恰有 人熟悉某条线路，现将 个人平均分为两组，每组 人，要求每组16 68至少有1人熟悉该条线路，则不同的分组方法共有（ ）种.A. B. C. D. 590594063550【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力【答案】B【解析】(直接法) 先将熟悉线路的 人分为两组:“2，2”型或“3，1”型，
6、对应地，再将其他 人分为12两组:“6，6”型或“5，7”型. 请注意：“2，2”型与“6，6”型搭配方法有 种； 而“3，1”型与2A“5，7”型搭配方法只有1种，因此，总的分组方法有 种.62231571442()940!CC(排除法) 个人平均分为两组的方法有 种, 其中不符合条件的是熟悉线路的 人恰分在一组，其68162!C分组方法恰好是将余下 人不均匀地分为“4，8”型，即 种，因此，总的分组方法有124812C种，故选择 B.8481612590!C9. 在四棱锥 中，底面 是直角梯形，PABCDABADBC，AB BC，侧面PAB底面 若CD（ ），则（ ）1A当 时，平面 平面
7、PCD12B当 时，平面 平面PCDPAC ，直线 与底面 都不垂直(0,1)PABCDD ，使得直线【命题意图】本题主要考查直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定及性质，考查学生的空间想象能力和计算能力【答案】A【解析】当 时，取 、 的中点 、 ，连结 ， , ，则 .又12PBCMNAND12MBCAD， ， ，于是 为平行四边形，则 . ，DBCMNAD P为 的中点， .又侧面 PAB底面 ， 底面 ， ，侧面PBC底面 ,所以 侧面 PAB，则 ，从而 平面 ， 平面N. 平面 PCD，故平面 平面 PCD，选 A.PB10. 已知函数 ，在数列 中， （ ） ，则数列 的前 8
8、02()cosxfxna()1)nfnna项之和 （）80SA. B. C. D. 2380650120【命题意图】本题考查数列的概念，前 项和的求法，三角函数性质等基础知识，意在考查学生的运算求解能力，转化与化归的能力【答案】C【解析】依据题意和余弦函数的性质，数列 前 80 项之和为：()fn80(1)2(80)Tff2 22380coscscoscos2 4()4()6(1)(1)2 213409，3798所以 .80()3650STf第卷（共 100 分）二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上）11. 已知 （ ）的展开式中常数项为 ，则该展开式中 的系数为_26
9、1()xaR52x【命题意图】本题主要考查二项式定理的性质等基础知识，考查学生的计算能力【答案】 52【解析】由 知，展开式中常数项为 ，所626611()()()xaxax4366(1)()5Ca以 ，则该展开式中 的系数为 .12a32665C12. 若实数 x，y 满足 ，则 的取值范围是 .102y|xy【命题意图】本题考查线性规划的应用，意在考查学生数形结合思想，基本运算能力.【答案】 0,【解析】画出不等式组表示的平面区域（如图所示） ，由图知， ， .显然01x2y. ，所以 .|xy|1|2xy|13. 如图所示，在某工程项目中为了测量圆弧的半径 ，由于没有直接的测量工具，工人
10、师傅用三个完全R相同的小球放在圆弧上，使圆弧的每个接触点都相切，通过深度卡尺测出小球的高度差 ，小球的半4h径 ，则 的值为_.10rR【命题意图】本题考查圆的切线的性质定理，解三角形的实际应用“数学是有用的”一直是新课标的重要精神，近几年高考在命题形式上与生活联系更加密切，贴近实际 【答案】 60【解析】设相切两个小圆与大圆的连心线之间的夹角为 ，如题中图，在 中，由余弦定理，得12 O，又 ，所以 ，将 ，22()()(cosRrr 2()()cosrhRrR2rh10代入，得 ，故答案为 . 4h210646014.若抛物线 上不同两点处的切线互相垂直，则这两条切线交点的轨迹方程为_.2
11、yx【命题意图】本题考查导数的几何意义，轨迹方程的求法，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.【答案】 1x【解析】我们证明更一般的结论： 抛物线 （ ）上两点 与 的切线互相垂2ypx01(,)Axy2(,)B直，则切线的交点在其准线上事实上：设两切线 ， 的交点为 则切线的方程分别为ACB，即 与 ，即 .11()ypx112pyx22()22py因为 ，所以 ，即 .由 ，得ACB1221yp1212xxy，所以 .故两垂直的切线的交点在抛物线 的准线上.所以本题2121()()pyxyx p切线交点的轨迹方程为 .15.已知函数 （ ，且 ），给出下列结论:()lnl1xfax0a1函数
12、 为定义域上的增函数；当 时, 函数 在区间 上有且只有一个零点；01()fx(,)对任意 ，都有 恒成立的充要条件为 ；ex1e1,)ea设 ，存在唯一实数 ，使得对任意 ，都有 .()xgfaa0x(0gx其中正确结论的序号为_.（写出所有正确结论的序号）【命题意图】本题考查应用导数研究具体函数的性质的能力，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.【答案】【解析】函数 的定义域为 . .()fx(0,)(1)lnxaf对于， ， ，则 ，于是 ，所以R1xelnxae2()ln)0afxx为定义域上的增函数，正确；()fx对于，由 ， ，得 （ ），0xlnx()1ln0fa1a，又由知， 为
13、定义域上的增函数，所ln0()l1aaf e()fx以当 时, 函数 在区间 上有且只有一个零点，正确；01()fx(,)对于，由知， 时， ，于是 .令,emin(1)lnfxfa1lnea，则 ，所以当 时， ，当 时，()lnegaa()ag mi()()g,)a，所以 的解集一定不是 ，故错误；1(),0ega()0ga1,)ea对于， ，所以 等价于 .令 ，则ln1xx(0gxlnxaln()xh，当 时， ，当 时， ，所以 ，所以2l()hx e()h()hmax1e，易知 ，即 ，故当 时，对任意 ，都有 ，正确，于是1nealaex()0g答案为.三、解答题 （本大题共 6
14、 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）16. （本小题满分 12 分）在各项均为正数的等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列na121a32（1）求数列 的通项公式；na（2）设 （ ），记数列 的前 项和为 ，求证： 21()lognnbNnbnS34n【命题意图】本小题主要考查等比数列的通项公式、前 项和公式及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，函数与方程思想等【解析】 （1）设等比数列 的公比为 ， .naq0na ， ， 成等差数列， ，即 .2a32123211aq ，解得 或 ，0q ， .故数列 的通项公式为 .（6分）na2na（2） ， .n211
15、1()()log()2nnbn所以 12nnS 111()()()()()343522nn1()22n，3234(1)4n故 .（12分）nS17. （本小题满分 12 分）某小组有 、 、 、 、 、 六位同学，其中 、 、 、 成绩较好， 、 成绩较弱.ABCDEFABCDEF（1）某次活动上，决定由两位成绩较好的同学和一位成绩较弱同学组队参加，则有多少种不同的组队方法?（2）一次学习竞赛中，规定每小组先通过抽签方式将 6 人排序，并按顺序依次出场参赛，每次出场 1人，解答一个问题.已知 4 位成绩较好的同学可以解答出任意一个题目，而成绩较弱的同学无法完整解答出每一个题目. 一旦出现解答不
16、完整情况，该组答题即停止.用 代表该组出场参赛的人数，求 的分布XX列和数学期望 .EX【命题意图】本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生转化能力、计算能力以及分析问题和解决问题的能力.【解析】 （1）从 、 、 、 中任选 2 人， 、 中任选 1 人， ABCDEF有 种不同的方法 . （4 分）24C（2） 的可能取值为 1,2,3,4,5，X，126()3P，415C，13264()X，141535P. （9 分）1322164()CC的分布列为XX1 2 3 4 5P345121所以 .（12 分）1412723551（ ）EX18.（本小题满分 12 分）
17、 如图，在直角梯形 中， ， ，点 、 分别在 、 上，且ABCD90DABEFCDAB， ， ， .现将矩形 沿 折起，使平面 与平面FC2EE垂直.EB（1）求证： 平面 ；F（2）当 的长为何值时，二面角 的大小为 30.CAD CBEFDE CAF B【命题意图】本小题主要考查空间线面位置关系的证明，二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.【解析】 （1） , 平面 ， 平面 ，/CEBFABFABF 平面 2 分 A又 , 平面 , 平面 /D 平面 4 分而 ,且 平面 ， 平面 ,CDECE 平面 /平面 ,又 平面 5 分EBF /平面 .6 分CA（2
18、）解法一：过 F 作 CB 的垂线交 CB 的延长线于 H 点，连接 AH，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，FAFADF , 平面 , 平面 8 分CE ,又 , 平面 .9 分BHB ,A 是二面角 的平面角， 10 分FAFF30由 ， ，且 ，知 .12E6C在直角梯形 中, .C0cos2 .11 分33sin6024H在直角三角形 中， .12 分AF3tan4HAF解法二：平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，DEBCDCFADF, 平面 ,AF又 平面 ， ，又 .BEB以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别作为 轴，FAx轴和 轴，建立空间直角坐标系，如图 .由 ，
19、，且yz 12BE知 .06CE在直角梯形 中， , ，7 分032cos6B2F则 , , , ，()F3()()C(,)E设 ， ，平面 的一个法向量为 ，(0,)Am0ABC1(,)nxyz, ，8 分32B31=(,)2由 ，可得 ，9 分10nC0312ymzx令 ，则 ， .xyz平面 的一个法向量为 ，10 分AB13(,)2nm又平面 的一个法向量为 ,CF20 ，11 分121223cos, 74n化简可得 ，可得 .2967mm即 时，二面角 的大小为 .12 分34AFABCF3019. （本小题满分 12 分）ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，解答下列问题：（1）求证： ；sin2sincos2（2）设 ac=2b，A C= ，求 的值3【命题意图】本题主要考查正弦定理，同角三角函数基本关系，诱导公式，正弦的和角与差角公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力【解析】 （1）设 ， ，则 ， .（2 分）2CAC所以 sinsin()si()A（4 分）(cocosin)
