1、2015-2016 学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 M=x|1x1， ，则 MN=（ ）Ax|0x1 Bx|0 x1 Cx|x0 Dx|1x02复数 z=i（1+i） （i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（ ）A （1，1） B （ 1，1） C （1， 1） D （1，1）3执行如图所示的程序框图，则输出的 i 值为（ ）A3 B4 C5 D64在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计，统计结果如下面
2、的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h120km/h，试估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（ ）A30 辆 B300 辆 C170 辆 D1700 辆5 “a1”是“ 函数 f（x）=a x+cosx 在 R 上单调递增” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6已知点 Q（2 ，0）及抛物线 x2=4y 上一动点 P（x，y） ，则 y+|PQ|的最小值是（ ）A B1 C2 D37某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A27 B30 C32 D368设函数 f（x）的定义域 D，
3、如果存在正实数 m，使得对任意 xD，都有 f（x+m ）f（x） ，则称 f（x）为 D 上的“m 型增函数”已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）=|x a|a（a R） 若 f（x）为 R 上的“ 20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa0 Ba 5 Ca 10 Da20二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上9函数 y=2sin（2x+ ）+1 的最小正周期是 ，最小值是 10若 x，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为 11在各项均为正数的等比数列a n中，若 a2=2，则 a1+2a3 的最小值
4、是 12甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 13已知 A，B 为圆 C：（x m） 2+（yn） 2=9（m ，nR ）上两个不同的点（C 为圆心） ，且满足 ，则|AB|= 14已知点 O 在ABC 的内部，且有 = ，记AOB，BOC，AOC 的面积分别为 SAOB，S BOC， SAOC若 x=y=z=1，则 SAOB：S BOC：S AOC= ；若 x=2，y=3，z=4，则 SAOB：S BOC：S AOC= 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15某中学高一年级共
5、 8 个班，现从高一年级选 10 名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取 3 名同学，其它各班各选取 1 名同学现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同） （）求选出的 3 名同学来自不同班级的概率；（）设 X 为选出同学中高一（ 1）班同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望16如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上， ， （）求 sinC 的值；（）若 BD=5，求ABD 的面积17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且DAB=60 点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与棱 PD 交
6、于点 F（）求证：ABEF；（）若 PA=PD=AD，且平面 PAD平面 ABCD，求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值18已知函数 f（x）=ax+lnx，其中 aR（）若 f（x）在区间1，2 上为增函数，求 a 的取值范围；（）当 a=e 时，（）证明：f（x）+20；（）试判断方程 是否有实数解，并说明理由19已知圆 O：x 2+y2=1 的切线 l 与椭圆 C：x 2+3y2=4 相交于 A，B 两点（）求椭圆 C 的离心率；（）求证：OAOB；（）求OAB 面积的最大值20已知有穷数列： 的各项均为正数，且满足条件：a1=ak； （）若 k=3，a 1=2，求出这
7、个数列；（）若 k=4，求 a1 的所有取值的集合；（）若 k 是偶数，求 a1 的最大值（用 k 表示） 2015-2016 学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 M=x|1x1， ，则 MN=（ ）Ax|0x1 Bx|0 x1 Cx|x0 Dx|1x0【考点】交集及其运算【分析】求出 N 中不等式的解集确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可【解答】解：由 N 中不等式变形得： x（x1）0，且 x1，解得：0x1，即 N=x|0x1，M=x|1
8、x1，M N=x|0x1，故选：A2复数 z=i（1+i） （i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（ ）A （1，1） B （ 1，1） C （1， 1） D （1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】先将 z=i（1+i）化简，从而判断即可【解答】解：z=i（1+i）= 1+i，复数 z=i（1+i） （i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为：（1，1） ，故选：D3执行如图所示的程序框图，则输出的 i 值为（ ）A3 B4 C5 D6【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 m，i 的值，当 m=0 时满足条件m=0，退出循环，输出 i 的值为 4【
9、解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1（21）+1=2 ，i=2 ，不满足条件 m=0，m=2 （2 2）+1=1，i=3，不满足条件 m=0，m=1 （2 3）+1=0，i=4，满足条件 m=0，退出循环，输出 i 的值为 4故选：B4在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h120km/h，试估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（ ）A30 辆 B300 辆 C170 辆 D1700 辆【考点】频率分布直方图【分析】由
10、频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）10=0.85，估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：20000.85=1700（辆） 故选：D5 “a1”是“ 函数 f（x）=a x+cosx 在 R 上单调递增” 的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的
11、定义进行判断即可【解答】解：若函数 f（x）=ax+cosx 在 R 上单调递增，则 f（x）0 恒成立，即 f（ x）=a sinx0，即 asinx ，1 sinx1，a1，则“a1”是“ 函数 f（x）=a x+cosx 在 R 上单调递增” 充分不必要条件，故选：A6已知点 Q（2 ，0）及抛物线 x2=4y 上一动点 P（x，y） ，则 y+|PQ|的最小值是（ ）A B1 C2 D3【考点】抛物线的简单性质【分析】抛物线的准线是 y=1，焦点 F（0，1） 设 P 到准线的距离为 d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d 1+|PQ|=|PF|+|PQ|1|FQ|1，利用当且仅当
12、 F、Q、P 共线时取最小值，从而得出故 y+|PQ|的最小值【解答】解：抛物线 x2=4y 的准线是 y=1，焦点 F（0，1） 设 P 到准线的距离为 d，则y+|PQ|=d1+|PQ|=|PF|+|PQ|1|FQ|1=31=2（当且仅当 F、Q 、P 共线时取等号）故 y+|PQ|的最小值是 2故选 C7某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A27 B30 C32 D36【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，DA平
13、面 PAB，AP 平面 ABCD，AP=4，CD平面 PAD，PB=PD=5，S ADP= =6，S ABP= =6，S CDP= ，S CBP= = 四棱锥的侧面积 S=6+6+ + =27故选 A8设函数 f（x）的定义域 D，如果存在正实数 m，使得对任意 xD，都有 f（x+m ）f（x） ，则称 f（x）为 D 上的“m 型增函数”已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）=|x a|a（a R） 若 f（x）为 R 上的“ 20 型增函数”，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa0 Ba 5 Ca 10 Da20【考点】函数的值【分析】由已知得 f（x）= ，
14、f（x +20）f（x） ，由此能求出实数 a的取值范围【解答】解：函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）=|xa|a（aR ） ，f（x）= ，f（x）为 R 上的“20 型增函数”，f（x+20）f（x） ，当 x=0 时，|20 a|a0，解得 a10实数 a 的取值范围是 a10故选：C二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把答案填在答题卡上9函数 y=2sin（2x+ ）+1 的最小正周期是 ，最小值是 1 【考点】正弦函数的图象【分析】由条件利用正弦函数的周期性和最小值，得出结论【解答】解：函数 y=2sin（2x+ ）+1 的最小正
15、周期是 =，最小值为2+1= 1，故答案为：，110若 x，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为 4 【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立 ，解得 A（3， 1） ，化目标函数 z=x+y 为 y=x+z由图可知，当直线 y=x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 4故答案为：411在各项均为正数的等比数列a n中，若 a2=2，则 a1+2a3 的最小值是 4 【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性【分析】
16、由基本不等式可得，a 1+2a32 = ，结合已知即可求解【解答】解：a 2=2，且 an0由基本不等式可得，a 1+2a32 = =4即最小值为故答案为：12甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 12 【考点】计数原理的应用【分析】由题意，甲必须站两端，有 2 种方法，其余 3 名同学，有 =6 种方法，根据乘法原理，可得结论【解答】解：由题意，甲必须站两端，有 2 种方法，其余 3 名同学，有 =6 种方法，根据乘法原理，共有 26=12 种方法故答案为：1213已知 A，B 为圆 C：（x m） 2+（yn） 2=9（m ，nR ）上两个不同的点（C 为圆心） ，且满足 ，则|AB|= 4 【考点】平面向量数量积的运算【分析】求得圆的圆心和半径，运用向量的减法运算和数量积的性质：向量模的平方即为向量的平方，求得| + |2+| |2=36，即可得到所求值【解答】解：由圆 C：（x m） 2+（y n） 2=9 可得，圆心 C（m，n） ，半径为 3，由题意可得| |=| |=3，由| + |2+| |2=| + |2+| |2= 2+ 2+2 + 2+ 22
