1、2016 届吉林省东北师大附中高三三校联考数学（理）试题一、选择题1设全集 ，集合 ， ，则8xNU7,31A8,32B（ ）)()(BCAA B C D8,726,546,5406,540【答案】C【解析】试题分析： ，8,123,8UxN，故选 C()0,456UCA【考点】集合交、并、补的运算2已知复数 ， ，则 （ ）iz1iz2iz21A B C Di313i【答案】A【解析】试题分析：根据题意： ，故选12 231iiziii A【考点】复数的运算3若实数数列： 成等比数列，则圆锥曲线 的离心率是（ 123,8a 12ayx）A 或 B C D 或103032310【答案】C【解析
2、】试题分析：因为 成等比数列，所以 ，又因为 ，81,321a28a2a所以 ，所以离心率 ，故选 C29a22ce【考点】等比数列中项性质，椭圆离心率4函数 的图象恒过定点 ，若点 在直线)(1xf )1,0(aA上，其中 ，则 的最小值为（ ）0nymxnmn2A B C D45623【答案】D【解析】试题分析：因为函数 的图象恒过定点 ，所以2)(1xaf )1,0(aA，又因为点 在直线 上，所以 ，所以1,AAnymmn，又 ， ，23mn0,2当且仅当 时，即 时，取 ， ，故21,2n13n选 D【考点】基本不等式5如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） 侧侧侧12
3、222A B030C D2424【答案】B【解析】试题分析：根据三视图的特征，得到该几何体是一个半圆柱和正方体的组合体其底面积的面积： ；底面周长： ；侧面面积：28S6C所以几何体的表面积： ，故选6211230B【考点】三视图的识别，几何体的表面积计算6气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 天每天日平均温度不低于 ”，5C2现有甲、乙、丙三地连续 天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位5）C甲地： 5个数据的中位数为 24，众数为 ；乙地： 个数据的中位数为 7，平均数为 24；丙地： 个数据中有一个数据是 3，平均数为 6，方差为 2.10则肯定进入夏季的地区有（ ）A0
4、 个 B1 个 C2 个 D3【答案】C【解析】试题分析：甲地肯定进入， 丛数为 ， 至少出现两次，若有一天低2于 ，则中位数不可能为 ；丙地也进入，根据方差的定义：24，即222 21 34663610.5xxxx ，显然 都要大于 ，22 15234,x2才能成立，乙地不一定进入，比如 ，故选 C12,37,9【考点】中位数、平均数、众数的概念及运用7 的展开式中含 项的系数为（ ）24(1)x3xA B C D60408【答案】D【解析】试题分析： ， 项22444(1)()(2)()xxxx3的系数为 中 、 与 的系数决定，即 ，4(2)x33214448CC故选 D【考点】二项式定
5、理8若如图所示的程序框图输出的 是 ，则条件可为（ ）S26A B ?5n?6nC D78【答案】B【解析】试题分析：根据题意，该程序表示的是首项为 ，公比为 的数列求和，即2， ，故选 B23126nS n【考点】程序框图9若方程 的任意一组解 都满足)si()cos( 22yx(02),(yx不等式 ，则 的取值范围是（ ）y3A B C D67,123,5,3【答案】D【解析】试题分析：根据题意可得，方程 1)sin2()cos2( yx的任意一组解 都满足不等式 表示方程)20(),(yxx3在 的左上方或相切，所以1)sin2()cos2( yx )20(3yx， ， ，故3in13
6、2sin2cos1sin6202,3选 D【考点】圆的方程，三角函数知识的运用10已知 外接圆的圆心为 ， ， ， 为钝角， 是ABCO32AB2CAM边的中点，则 （ ）M OMCBAA B C D3456【答案】C【解析】试题分析：在三角形 中， ，AB12MABC12MOO是圆心， ，因为,ABcosO，所以 ，同理可得cosAB 26AB， 故选 D4ABO 5M【考点】向量内积运算，圆直径所对的圆周角等于 09【思路点晴】本题主要考查向量数量积和圆的综合性质，属于中档题根据可知，要求向量数量积必须知道向量的模长和向量的夹角，所cos,abab以需要进行恰当的转化本题的突破口就是将 转
7、化成 ，进AM12ABC而得到 ，再结合圆的性质直径所对的圆周角等于12AMOBAO求出最终答案0911过双曲线 的左焦点 ，作圆 的切线交双)0,(12bayx1F22ayx曲线右支于点 ，切点为 ， 的中点 在第一象限，则以下结论正确的是（ PT1FM）A B MOab TOabC DT 【答案】A【解析】试题分析：因为 是切点，所以连接 ，则 ，在 中，T1PFTO1连接 ，在 中， 、 分别是 、 的中点，所以1TFb2P12FOP12，OM21212TFbab，故选 D【考点】双曲线的定义，直线与圆相切【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的定义、直线与圆相切的性质和三角形中位线的综合运
8、用，属于难题解题的关键是根据相切，得到 ，再根据双曲线的1OTPF性质，求出 ；又因为 点是中点，在焦点三角形 中，运用中位线定1TFbM2理得 ，再结合双曲线定义 ，最终求出答案2OP12PFa12函数 给出函数 下列性质：函数的定义域和值域均为4()xf)(xf；函数的图像关于原点成中心对称；函数在定义域上单调递增；1,（其中 为函数在定义域上的积分下限和上限） ； 为函数badxf0)(ba, NM,图象上任意不同两点，则 则关于函数 性质正确描述的序2MN)(xf号为（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：函数的定义域： 故错；240x1,0,x 函数 函1,0,x0x24()
9、fxffx数的图像关于原点成中心对称故正确；函数的定义域不包括 ，定义域不连续，0不能判断单调，故错误； 是奇函数，故正确；因为 为函数)(xf NM,图象上任意不同两点，所以 ，故错故选 D)(xf 0MN【考点】函数的性质和定积分的运算【方法点晴】本题主要考查函数 的一些性质，综合比较强，属于难24()xf题解决函数问题第一步求出函数的定义域，这是研究函数问题的基础；第二步观察函数解析式能否化简，能化简的化成最简，这样能给我们后面研究性质带来方便二、填空题13向量 ， ， ，则向量 与 的夹角为 1a2b)2()(baab【答案】 2【解析】试题分析： ， ，即)2()(ba()2)0ab
10、， ，即向量 与 的夹角为 2cos,0abacos,02【考点】向量的乘积运算14函数 的值域为 xxfsin2)(【答案】 3,【解析】试题分析：，又22 13()cos2in1sisinfxxxix， ，函数 的值域为 in1,3,ff,2【考点】三角函数二倍角公式，二次函数求值域15设 为坐标原点， ，若点 满足 ，则 的最大O)1,2(A),(yxB102yxOBA值是 【答案】 5【解析】试题分析： 的可行域如图， ，由图可知，当102yx2OABxy直线 与圆相切与 时， 可以取到最大值，原点 到直线2zxy1Az0,的距离等于 ，所以 ，即 ，故答案为 45z5【考点】线性规划
11、和向量数量积的坐标运算【方法点晴】本主要考查线性规划中已知可行域求目标函数的最值，属于容易题本题关键是将目标函数转化成坐标： ，利用数形结合的方法求出目标2OABxy函数的最大值在直角坐标系画可行域时注意“直线定界，点定域”的原则16已知集合 ，集合 的所有非空子集依次记为：,123,PP，设 分别是上述每一个子集内元素的乘积， （如果3121,M ,m31的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身） ，那么 3121m【答案】 5【解析】试题分析：集合 所有子集的“乘积”之和为函数P展开式中所有项数之和 ；因为112232fxxx 1T，所以 46Tf5T【考点】集合、二项式定理【方法点晴
12、】本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数，当 时，函数的值就是所有子集112232fxxx1x的乘积这种转化思想是需要注意的三、解答题17在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，面积为 ，已知ABCCabcSbca25os2s（）求证： ；a3)(（）若 ， ，求 41csB5S【答案】 （1）证明见解析；（2） 4【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式去平方；再由，结合正弦定理，得到sinisincosinACAC，化简可证明 ；（2） ，利用余bcaobca3)(1sin2ABCSac弦定理，再结合 ，最终可以算出 a3)(2试
13、题解析：解：（）由条件： ，bcC5)os1()os1(由于： ，所以： ，bAcCosba23即： a3)(2（） ，所以： ，41cosB415sinB，58in2acaS8c又： ，)cos1(2)(os2Bab 由 ，c3)(所以： ，所以：)41(6524b【考点】正弦定理和余弦定理的运用【方法点晴】本题主要考查解三角形，正弦定理和余弦定理得综合运用，属于基础题解三角形中，常用的的技巧“边化角”或者“角化边” ，特别是当遇到题干有每项都含有边的齐次式的等式时，多选择边化角题上出现三角形面积时要合理利用公式11sinsisin22ABCSabcAacB18如图所示，该几何体是由一个直三
14、棱柱 和一个正四棱锥CFDE组合而成， ， DPF2PFEDCBA（1）证明：平面 平面 ；PDFE（2）求正四棱锥 的高 ，使得二面角 的余弦值是 BChPAFC32【答案】 （1）证明见解析；(2) 1【解析】试题分析：（1）根据题意可以证明： 平面 ，所以能证明到：DBE平面 平面 ；（2）建立直角空间坐标系，求出平面 的法向量 ，PADFE n用 表示平面 的法向量 ；利用 表示出二面角，最后求hmcos,mn出 试题解析：证明：直三棱柱 中， 平面 ，BCFADEADE所以： ，又 ，AB所以： 平面 ， 平面 ，DP所以：平面 平面P（2）由（1） 平面 ，以 为原点， 方向为 轴
15、建立B,zyx,空间直角坐标系 ，设正四棱锥 的高 ， ，xyzAACDh2AE则 ， ， ， ，)0,(),2(F),0(C)1,(P， ，,设平面 的一个法向量A),(1zyxm则： ，取 ，则 ，所以：021zxCnyFm11zy),1(设平面 的一个法向量 ，则 ，AP),(2zyxn 02zhyxAPnF取 ，则 ， ，所以：12x2yhz12 )1,(二面角 的余弦值是 ，所以：PAFC332)1(23,cos hnm解得： 1h【考点】证明面面垂直；利用空间向量求二面角【易错点晴】本题主要考查面面垂直的证明和用向量求二面角的综合运用，属于中档题证明面面垂直常用的方法：通过线面垂直
16、证明面面垂直，关键是找准其中一个平面存在一条直线垂直另一个平面空间向量在立体几何中的运用要保证所建坐标系正确和向量的一些公式19生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于 为正品，小82于 为次品，现随机抽取这两种元件各 件进行检测，检测结果统计如下：8210测试指标 76,082,94,810,元件甲 1432元件乙 06（）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（）生产一件元件甲，若是正品可盈利 元，若是次品则亏损 元；生产一件元件45乙，若是正品可盈利 元，若是次品则亏损 元在（）的前提下：5010（1）记 为生产 1 件甲和 1 件乙所得的总利润，求随机变量 的分布列和数学
17、期望；X X（2）求生产 件元件乙所获得的利润不少于 元的概率【答案】 （）甲 、乙 ；（） （1）随机变量 的分布列见解析，数学期望是 ；453 6（2） 81【解析】试题分析：（）利用古典概型计算原理，即用指标大于或者等于 所对应82的元件个数除以总的元件个数就是正品的概率；（） （1）根据题意分别求出一件甲正品和一件乙正品、一件甲正品和一件乙次品、一件甲次品和一件乙正品、一件甲次品和一件乙次品的概率，列出分布列，求出数学期望 （2）根据题意设出 件元件中5正品和次品的数量，列不等式 求解，根据 再求概率40)5(10nn试题解析：解：（）元件甲为正品的概率约为： 4183元件乙为正品的概率约为： 4106294（） （1）随机变量 的所有取值为 ， ， ， ，而且X50； ；53)90(XP23)(P；43 141所以随机变量 的分布列为：90305P522所以： 601504)( XE
