1、2015 届江西省九江一中等八所重点中学高三联考数学文试题 （解析版）【题文】一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1设全集 ，集合 ，集合 ，则UR14Ax25Bx（ ）)(BCAUA B C D21x2x5x1x【知识点】集合运算. A1【答案】 【解析】D 解析： ，/,U)(BAU2【思路点拨】主要考查集合之间的关系和集合运算.【题文】2若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）zizi34)3(zA B C D i5454【知识点】复数的基本概念及运算. L4【答案】 【解析】B 解析：由 得，izi34
2、)3(34343425iiizi所以 的虚部为 5【思路点拨】主要考查复数的基本运算，复数的定义.【题文】3已知 为坐标原点，点 坐标为(2，1)，在平面区域 上取一点OMx0+y2，则使 取得最小值时，点 的坐标是( ) NMNA.(0，0) B. (0，1) C. (0，2) D. (2，0) 【知识点】简单的线性规划问题. E5【答案】 【解析】B 解析：做出不等式组 表示的平面区域，得如图的三角形x0+y2ABO 及其内部，其中 A（2,0） ，B（0,2）,O(0，0)，点 N 是区域内动点，运动点 N 可得坐标为（0,1）时，MN 垂直 y 轴，此时 ,取得最小值 2，故选 B.M
3、【思路点拨】做出不等式组表示的平面区域，再将区域内点 N 进行移动并加以观察，可得当 N 坐标为（0,1）时， 取得最小值，由此即得答案。MN【题文】4已知抛物线 的焦点到准线的距离为 2， 则 （ ）)0(2axyaA B C D4411【知识点】 抛物线及其几何性质. H7【答案】 【解析】C 解析：把 化为 ，即 2 ，又 p=2,所以)0(2axy2xya1paa= .41【思路点拨】主要考查了抛物线的定义，标准方程及其性质的应用.【题文】5已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时， （m 为常数） ，fx0x3xf则 的值为（ ）3log5fA. B. C.6 D.446【知识点】函数
4、的奇偶性与周期性.B4【答案】 【解析】B 解析：由题意，f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时 f（x）=3x+m（m 为常数） ，f（0）=3 0+m=0，解得 m=-1，故有 x0 时 f（x）=3 x-1f（-log 35）=-f（log 35）=-（3 log35-1）=-4【思路点拨】由题设条件可先由函数在 R 上是奇函数求出参数 m 的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到 f（-log 35）=-f（log 35）代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确答案.【题文】6正项等比数列 满足： ，若存在 ，使得na321a,mna，则 的最小值为( )21mna9A.
5、 B. C. D.68332【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和. D3【答案】 【解析】C 解析：正项等比数列 满足：na321a 即： ，解得 （舍），或211aqa2q1qq存在 ，使得 ,mn216mna 26mnm+n=6， 199906n198023nm 的最小值为 mn83【思路点拨】正项等比数列 满足： ，知 q=2，由存在 ，使得na321a,mna，知 m+n=6，由此问题得以解决216mna【题文】7已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）sicosinc()2xxf A. 是奇函数 B. 在 上递增 C. 是周期函数 D. 的值()fx()f0， ()fx()fx域为
6、1,【知识点】三角函数的图像与性质. C3【答案】 【解析】C 解析：由题意可得： = ，故 A，B 不正确，C 正确当 x2k+ ，2k+ 时， f（x） ，1当 x2k ，2k+ 时，f（x） ，1故可求得其值域为 ，1，故 D 不正确【思路点拨】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之【题文】8执行如图所示的程序框图，则输出的 的值是（ ）kA3 B4 C5 D6【知识点】算法与程序框图. H1【答案】 【解析】C 解析：s=1+（1-1） 2=1，不满足判断框中的条件，k=2，s=1+（2-1） 2=2，不满足判断框中的条件
7、，k=3，s=2+（3-1） 2=6，不满足判断框中的条件，k=4，s=6+（4-1） 2=15，不满足判断框中的条件，k=5，s=15+（5-1） 2=31，满足判断框中的条件，退出循环，输出的结果为 k=5【思路点拨】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环输出结果.【题文】9已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.B. 643163C.D.804【知识点】空间几何体的三视图和直观图. G2【答案】【解析】C 解析：该几何体体积=(4 4 ) 4- ( 2 4) 4=13803【思路点拨】这个题不难，关键在于画出立体图形，是一个横着
8、的三棱柱从上面截去一个三棱锥（底在左边，顶点在右边） 。【题文】10已知 F1、F 2分别是双曲线 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任21xyab意一点且 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）21|8|PaA. (1,2 B. 2 + ) C. (1,3 D. 3，+ )【知识点】双曲线及其几何性质. H6【答案】 【解析】C 解析：由定义知：|PF 1|-|PF2|=2a，所以|PF 1|=2a+|PF2|，+4a+|PF2| 8a，当且仅当 =|PF2|，即|PF 2|=2a 时取得等号,设 P（x 0，y 0） （x 0 a） ，由焦半径公式得：|PF 2|=-ex0-a=2a，又双曲线
9、的离心率 e1，e（1，3，故选C【思路点拨】本题主要考查双曲线的定义及几何性质，均值定理的应用【题文】11. 已知 为球 的直径， 是球面上两点，且PCO,AB若球 的表面积为 ，则棱锥 的体积为（ 6,4ABPBC64PC）A B C D 87273521【知识点】多面体与球. G8【答案】 【解析】A 解析：如图，由题意球 O 的表面积为 64，可得球的半径为：4，知OP=OC=OA=OB=4，AB=6，APC=BPC=ACP=BCP= ，PAC= PBC= ，AOPC， BOPC，PC 平面 AOB，BP=BC=4 ，S OAB =ABh=6 =3 ，棱锥 APBC 的体积 V=PCS
10、OAB= = 故选：A【思路点拨】由题意知 OP=OC=OA=OB=4，APC=BPC=ACP=BCP= ，PAC=PBC=，求出棱锥 APBC 的体积【题文】12已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ()ln)fxaxa）A. B. C.D.（ -， 0） 12（ ， ） （ 0， ） +（ ， ）【知识点】导数的应用. B12【答案】 【解析】B 解析：f（x）=xlnx-ax 2（x0），f（x）=lnx+1-2ax令 g（x）=lnx+1-2ax，函数 f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则 g（x）=0 在区间（0，+）上有两个实数根g（x）= ，当 a0 时，g（x
11、）0，则函数 g（x）在区间（0，+）单12ax调递增，因此 g（x）=0 在区间（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去当 a0 时，令 g（x）=0，解得 x= 12a令 g（x）0，解得 0 x ，此时函数 g（x）单调递增；令 g（x）0，解得 x ，此时函数 g（x）单调递减当 x= 时，函数 g（x）取得极大值12a当 x 趋近于 0 与 x 趋近于+时，g（x）-，要使 g（x）=0 在区间（0，+）上有两个实数根，则 g( )=ln 0，解得 0 a12a12a实数 a 的取值范围是( 0， )12【思路点拨】f（x）=xlnx-ax 2（x0），f（x）=lnx+1-2ax令
12、g（x）=lnx+1-2ax，由于函数 f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点g（x）=0 在区间（0，+）上有两个实数根g（x）= -2a= 当 a0 时，直接验证；当 a0 时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当 x= 时，函数 g（x）取得极大值，故要使 g（x）有两个不同1解，只需要 g( )=ln 0，解得即可12a【题文】二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.【题文】13. 已知实数 ，则 的概率为 .2,5230axRx【知识点】几何概型. K3【答案】 【解析】 解析： 即 ，P= .47230axRx1,3a47【思路点拨】本题考查几何概型的长度型问题.【
13、题文】14. 已知函数 ,0,1)(2xxf则满足不等式 )2(1(xff的 的取值范围是 .【知识点】函数的单调性与最值. B3【答案】 【解析】 解析：由题意可得 1） 或 2）(,2) 20,x，由 1）可得-1x0,由 2）可得 ，综上可得，210,1xx实数 x 的取值范围为 .(,)【思路点拨】主要考查了一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想.【题文】15.在数列 中，已知 ，记 为数列na11,()cos(1)nnanS的前 项和，na则 .2015S【知识点】数列求和. D4【答案】 【解析】-1006 解析：由 ，得11,()cos(1)nnaa，21cos12a，3
14、 3，45s由上可知，数列 是以 4 为周期的周期数列，且 ，所以na12342a201512305306S【思路点拨】由已知结合数列递推式求出数列前 5 项，得到数列是以 5 为周期的周期数列，由此求出答案.【题文】16在 中， ，则 的面积为 ABC(2,3)(1,2)ACABC.【知识点】平面向量的数量积及应用；解三角形. F3 C8【答案】 【解析】 解析： 得 = , ,则312(,)(,)53= ， ，则 ，ABC2626cos15ABC23s15inA则 =1ABCSin312【思路点拨】根据题意，由 可求得 , 以及 ，(,)(1,2)ABCABCA由数量积公式可得 cosA
15、的值，进而结合同角三角函数基本关系可得 sinA，再结合面积公式，可得答案.三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】17 （本小题满分 12 分）在直角坐标系 中，角 的始边为 轴的非负半轴，xOyx终边为射线 :2(0).lyx(1)求 的值；cos()6(2)若点 分别是角 始边、终边上的动点，且 ，求 面积最大时，点,PQ6PQO,的坐标【知识点】三角函数的求值、化简与证明；不等式的综合应用. C7 E8【答案】 【解析】(1) (2) 326(3,0)(,26)PQ解析：(1)由射线的方程为 yx，可得 31cos,sin， 2 分故 . 5 分cos()6132
16、1326(2)设 0,2,0, babQaP. 在 O中因为 ， 6 分2()83即 ，所以 ab9 8 分236964当且仅当 a，即 取得等号. 10POQSab,3分所以 面积最大时，点 ,PQ的坐标分别为 12 分(,0)(,26)PQ【思路点拨】 （1）由射线 l 的方程找出斜率即为 的正切值，根据 为第一象限的角，利用同角三角函数间的基本关系求出 sin和 cos的值，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把所求的式子化简后，把各自的值代入即可求出值；（2 ）由 P 和 Q 的坐标，利用两点间的基本公式表示出 PQ2，把 PQ 的值代入后，利用基本不等式即可求出 ab 的
17、最大值，且求出 ab 取最大值时 a 与 b 的值，利用三角形的面积公式，由 OP 的长与 Q 点的纵坐标乘积的一半即可表示出三角形 POQ 的面积，把 ab 的最大值代入即可求出面积的最大值，然后把求出的 a 与 b 代入 P 和 Q 的坐标中确定出两点坐标【题文】18.（本小题满分 12 分）2014 年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：后得到如图的频率分布直方图60,5),70,5)7,80,5)8,9（1）求这 40
18、 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.(2)若从车速在 的车辆中任抽取 2 辆，求车速在 的车辆恰有一辆的概率.6,) 65,70)【知识点】随机抽样；古典概型.I1 K2【答案】 【解析】 (1) 77.5 (2) 815P解析：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 2 分7.5设图中虚线所对应的车速为 ，则中位数的估计值为：x，解得0.5.20.45.6(75)0.x即中位数的估计值为 5 分 7（2）从图中可知，车速在 的车辆数为： （辆） ，6 分,)1.42m车速在 的车辆数为： （辆） 7 分65,0)20.5设车速在 的车辆设为 ，车速在 的车辆设为 ，则所
19、有基,ab6,7),cdef本事件有：共 15 种 10 分(,),(),(),(),abcdaefbefdf其中车速在 的车辆恰有一辆的事件有：65,70)共 8 种 11 分(,)(,(),(),acdeafbcdebf所以，车速在 的车辆恰有一辆的概率为 . 12 分。,) 15P【思路点拨】 （1）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为 0.5 对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数 （2）从图中可知，车速在60，65）的车辆数和车速在65，70）的车辆数从车速在（60，70）的车辆中任抽取 2 辆，设车速在60，65）的车辆设为 a，b，车速在65，70）的车辆设为 c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可【题文】19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，SABCDAB底面 ， , 点 是 的中点， ，且交 于SABCD2SAMNSC点 N（1）求证：直线 平面 ；N（2）求点 到平面 的距离.M【知识点】空间中的垂直关系. G5【答案】 【解析】(1) 见解析 (2) 934解析：（1）证明：由条件有 ,DCSA 平面 ， DCSA.M又 是 的中点， ,. 平面 .
