1、第三章 函数第 12课 二次函数1二次函数 y ax2 bx c(a， b， c为常数， a0)，利用配方法可以表示为 _，它的图象是抛物线，顶点坐标是 _，对称轴是直线 _一、考点知识 2抛物线 y 2x2 4x 1的开口 _，当 x1时， y随 x的增大而增大；当 x 1大减小3二次函数 y a(x h)2 k (a， h， k为常数，a0)，顶点坐标是 _，对称轴是直线 _二次函数 y a(x x1)(x x2) (a0)，与 x轴的交点坐 标是 _，对称轴是直线 _（ h， k）x=h（ x1， 0）（ x2， 0）【例 1】已知二次函数的图象经过 A( 2， 5)，B(1， 4)，
2、C(2， 3)三点(1)求此抛物线的解析式；(2)求该函数的图象与 x轴的交点和顶点坐标；(3)画出函数的图象【 考点 1】 求二次函数解析式，二次函数的图象与性质二、例题与变式解： （ 1） y= x2+2x+3（ 2）与 x轴的交点为（ 3,0），（ 1,0），顶点为（ 1,4）（ 3）略【 变式 1】 已知抛物线的顶点坐标为 M( 1， 2)且过点 N(0， 1.5)(1)求此抛物线的解析式；(2)x取什么值时， y随 x的增大而减小；(3)x取什么值时，该函数的图象在 x轴上方；(4)写出原抛物线向下平移 1个单位长度，向右平移 2个单 位长度后的函数解析式解： （ 1）（ 2） x1
3、（ 4）【 考点 2】 求二次函数解析式，坐标系下的面积【 例 2】 已知抛物线的顶点 P(3， 3)且在 x轴上所截得的线段 AB的长为 6.(1)求此抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点 Q，使 QAB的面积等于 12，若 存在，求点 Q的坐标，若不存在，请说明理由解： （ 1）（ 2）存在 .坐标 Q点为（ ,4）或（ ,4）【 变式 2】 二次函数 y x2 mx n的图象与 x轴交于 A， B两点， A点在原点的左侧， B点的坐标为(3， 0)，与 y轴交于 C(0， 3)点，点 P是直线 BC下方的抛物线上一动点(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点 P运动到什么位置时， B
4、PC的面积最大？求出 此时 P点的坐标和 BPC的最大面积解： （ 1） y=x2 2x 3（ 2）当 时，有最大面积为 .【 考点 3】 二次函数与方程【 例 3】函数 y x2 kx k 1(k为常数 )(1)求证：对任意实数 k，函数图象与 x轴都有交点；(2)证明对任意实数 k，抛物线 y x2 kx k 1都必定经过唯一定点，并求出定点坐标解： （ 1） =k2 4(k 1)=k2 4k+4=(k 2)20，所以对任意实数 k，函数图象与 x轴都有交点 .（ 2） y=x2+kx+k 1=k(x+1)+x2 1，若过定点则与 k的取值无关，由 x+1=0得 x= 1,当 x= 1时，
5、 y=1 k+k 1=0.所以定点为（ 1,0） .【 变式 3】 已知 P(1， m)和 Q(3， m)是抛物线y x2 bx c上的两点，且该抛物线与 x轴交于 A，B两点，(1)求 b的值；(2)求 c的取值范围； (3)若线段 AB 4，求该抛物线的解析式解： （ 1） 4（ 2） c0,得 a0.解： （ 1） y= x2+2x+3（ 2） D（ 1,4）(3) 1或 75如图，过点 A( 1， 0)， B(3， 0)的抛物线y x2 bx c与 y轴交于点 C，它的对称轴与 x轴交于点 E.(1)求抛物线解析式；(2)求抛物线顶点 D的坐标；(3)若抛物线的对称轴上存在点 P使 S POB 3S POC，求此时 DP的长C组6已知点 A( 1， 1)在抛物线 y (k2 1)x2 2(k 2)x 1(其中 x是自变量 )上(1)求抛物线的对称轴；(2)若 B点与 A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点 B的直线？如果存在，求符合条件的直线解析式； 如果不存在，说明理由解： （ 1）已知点 A（ 1， 1）在已知抛物线上 ,则 (k2 1)+2(k 2)+1= 1，解得 k1=1,k2= 3,当 k1=1时，函数为一次函数，不合题意，舍去当 k2= 3时，抛物线的解析式为 y=8x2+10x+1,由抛物线的解析式知其对称轴为 x= .
