1、2013 年安徽高考数学试卷（理科）WORD 版2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第卷和第 II 卷（非选择题）两部分，第卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。参考公式：如果事件 A 与 B 互斥，那么()()PP如果事件 A 与 B 相互独立，那么第卷（选择题 共 50 分）一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 设 是虚数单位， 是复数 的共轭复数，若 ，则 =i_z2ziz（A） （B）+1i（C） （D
2、）1-改编：设 是虚数单位， ，则 （ ）i2z（A）2 （B） （C ） （D）2ii注：本题考查复数的运算，但一开始就要通过设 来求解，而ab且计算量还是比较打的，个人认为放在第一题，偏难了一点；改编的目的就是改简单一点。答案选择 B。（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 （A） （B）16254（C） （D）341版权所有：( )改编：已知程序框图如右图所示，则该程序框图的功能是（ ） （第 8 题图）A求数列 的前 10 项和1n*)(NnB求数列 的前 10 项和2C求数列 的前 11 项和)(D求数列 的前 11 项和1n*Nn改编：本题考查的是程序框图中的循环结构
3、，属于简单题，改编过后的问题也是循环结构，但更加偏向于概念的理解，对学生的要求稍微高一点。（3）在下列命题中，不是公理的是（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线改编：给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行.垂直于同一平面的两个平面互相平行.若直线 与同一平面所成的角相等，则 互相平行.12,l 12,l若直线 是异面直线，则与 都相交的两条直线是异面直线.12,l其中假命题的个数是A
4、.1 B.2 C.3 D.4注：本题考查学生对于立体几何中概念的认识，属于较少出现的问题，改编后需要考虑的东西更多，不是简单的记得就可以，但是因为这方面的问题平时老师训练的比较多，因此本题改简单了一点。（4） “是函数 在区间 内单调递增”的“0a()=-1fxa(0,+)（A） 充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件改编：“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的1|)(f),1（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件注：本题以充要条件为载体考查函数的单调性，因为函数中含有绝对值符号，本题用到了分类讨论思想
5、；改编后方法、知识点不变，变的稍微简单了一点。（5）某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数改编：某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点公司为了调查产品销售的情况，需从这 600 个
6、销售点中抽取一个容量为 100 的样本，记这项调查为；在丙地区中有 20 个特大型销售点，要从中抽取 7 个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是 （ ）分层抽样法，系统抽样法 分层抽样法，简单随机抽样法()A()B系统抽样法，分层抽样法 简单随机抽样法，分层抽样法CD注：本题考查抽样方法，但是题中是已知抽样结果问抽样方法，和一般的题型不太一样，而且 D 选项具有很强的迷惑性，改编过后让选择合适的抽样方法，较为简单。（6）已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为()2x或 (0)xf（A） （B ）|lg2x或 |-1lg（C） （D）改编：已知一
7、元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为()0fx1|-2x(0)xf（A） （B）|-1lg2x或 |lg（C） （D）|-lg2x|-lg2x注：本题考查函数不等式的解法，不是很难，改编也很容易。（7）在极坐标系中，圆 的垂直于极轴的两条切线方程分别为=cosp（A） （B）=0()2R和 =()cos=22R和（C） （D）s12和 01和改编：设 点 P 在 曲 线 sin 2 上 ， 点 Q 在 曲 线 2cos 上 ， 则 |PQ|的 最 小 值 为( )A2 B1 C3 D0注：本题考查极坐标的概念，需要极坐标与普通直角坐标系进行转化，改编之后仍然考查极坐标与普通直角坐标系的转化，
8、最后加上一点圆与直线的距离。难度相当。（8）函数 的图像如图所示，在区间 上可找到=()yfx,ab(2)n个不同的数 使得 则 的取值范围是12,.,n12()()=nfxfxf（A） （B）34,34（C） （D）,5改编：如图所示， 是定义在0，1上的四个函数，其中满足性质：“对0，1中任意的),21)(ixfix1和 x2，任意 恒成立”的只有（ ）)(1)(022xfxff A B C D)(,31xf)(2xf )(,32xf)(4xf注：本题考查学生对函数图像的理解，与函数之间的交点问题，属于创新题。改编之后仍然考查函数的图像，但给了个抽象函数的概念，需要学生对其有较深的理解，难
9、度较大。（9）在平面直角坐标系中， 是坐标原点，两定点 满足 则点集o,AB2,OAB所表示的区域的面积是,1,|POABR（A） （B）223（C） （D）44改编：设 ，点 是线段 上的一个动点， 若 则0,1,0,PAB.APB,OAPB实数 的取值范围是A B C D2212121注：本题考查向量与线性规划知识，涉及到了极限思想，改编过后内容相似，主要仍然考查向量，但题目变得简单了些。（10）若函数 有极值点 ， ，且 ，则关于 的方程3()=+bfxc1x21()=fxx的不同实根个数是23()0f（A）3 （B）4（C） 5 （D）6改编：关于 的方程 ，给出下列四个命题；x0|)
10、1(22kx存在实数 ，使得方程恰有 2 个不同的实根；k存在实数 ，使得方程恰有 4 个不同的实根；存在实数 ，使得方程恰有 5 个不同的实根；存在实数 ，使得方程恰有 8 个不同的实根。其中假命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3注：本题考查函数与方程与导数相关知识，改编过后主要考查函数与方程相关知识，但是涉及到了分类讨论思想，难度相当。2013 普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第卷（非选择题 共 100 分）考生注意事项：请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。二.填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在答题卡
11、的相应位置。（11）若 的展开式中 的系数为 7，则实数 _。83ax4xa改编：若 的展开式中 代数式 的最大系数为 7，则实数 _。83注：本题考查二项式定理，属于简单题，改编之后，只是题中的条件的给法发生了变化，难度相当。（12）设 的内角 所对边的长分别为 。若 ，则 则角ABC, ,abc2a3sin5i,AB_.改编：设 的内角 所对边的长分别为 。若 ， ， 则, , C_.sinB注：本题考查解三角形中的余弦定理与正弦定理，题目较为常规。改编的时候把结论放在条件上，问的是某一条件，难度相当。（13）已知直线 交抛物线 于 两点。若该抛物线上存在点 ，使得 为直角，ya2yx,A
12、BAB则 的取值范围为_。a改编：已知直线 交抛物线 于 两点。若该抛物线上不存在点 ，使得 为直角，C则 的取值范围为_。注：本题考查的是圆锥曲线与向量的相关知识，改编之后题目中的条件虽然只加了一个不字，但是难度比原题的要大，因为考查了“正难则反”的做法。（14）如图，互不相同的点 和 分别在角 O 的两条边上，所有12,nAX 12,nB 相互平行，且所有梯形 的面积均相等。设 若 则数列nABn .nAa12,的通项公式是_。a改编：已知等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 ，且 A、B、C 三点共线（该直1OaB 20线不过原点 O） ，则 S200_.注：本题属于创新题，将数列与
13、解三角形结合在一起，改编之后仍然属于创新题。（15）如图，正方体 的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 上的动点，过点1ABCD 1A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号） 。当 时，S 为四边形102Q当 时， S 为等腰梯形C当 时， S 与 的交点 R 满足341D13C当 时，S 为六边形当 时，S 的面积为CQ62改编：如图，正方体 的棱长为 1，P 为 BC1ABC的三等分点（靠近 C 点） ，Q 为线段 上的动点，过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S。且 S 为四边形，则 的取值范围为_.注：本题对学生
14、的空间想象能力要求较高，改编之后只考虑一个方面，使得题目变得略微简单一些。三.解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。（16） （本小题满分 12 分）已知函数 的最小正周期为 。()4cosin(0)4fxx（）求 的值；（）讨论 在区间 上的单调性。f0,2改编：已知函数 2()3siixx（）求函数 的最大值；f（II）求函数 的零点集合以及 在区间 的最大值.()f0,2注：本题考查三角恒等变换中的二倍角公式以及辅助角公式,改编过后内容不变，但第二题难度较小了。（17） （本小题满分 12 分）设函数 ，其中 ，区
15、间2()(1)fxax0a|()0Ixf（）求的长度（注：区间 的长度定义为 ） ；,（）给定常数 ，当时，求 长度的最小值。0,kl改编：已知函数 .xexfx21)ln()()求函数的单调区间,并判断函数的奇偶性;()若不等式 的解集是 的子集,求实数 的取值范aff2 0452xAa围.注：本题考查的导数相关知识，需要进行分类讨论，在题中给了一个新的概念（区间长度） ，其实这个概念平时学生应该见到过，改编后考查的是利用导数求函数的单调性，以及函数不等式问题（以集合的关系） ，不过仍然需要进行讨论，难度加大！（18）设椭圆 的焦点在 轴上22:1xyEax（）若椭圆 的焦距为 1，求椭圆
16、的方程；E（）设 分别是椭圆的左、右焦点， 为椭圆 上的第一象限内的点，直线 交 轴与点12,FP2FPy，并且 ，证明：当 变化时，点 在某定直线上。QPap改编：平面内与两定点 1(,0)A， 2(,)0连续的斜率之积等于非零常数 m的点的轨迹，加上 1A、 2两点所成的曲线 C可以是圆、椭圆成双曲线（）求曲线 的方程，并讨论 的形状与 m值得关系；（）当 m时，对应的曲线为 1；对给定的 (1,)0,)U，对应的曲线为 2C，设 1F、2F是 C的两个焦点。试问：在 撒谎个，是否存在点 N，使得 1F2的面积 |Sa。若存在，求 tan1N2F的值；若不存在，请说明理由。改编：本题是解析
17、几何综合问题，考查的学生的计算能力，以及转化能力、计算能力，改编过后类似的。（19） （本小题满分 13 分）如图，圆锥顶点为 。底面圆心为 ，其母线与底面所成的角为 22.5。 和 是底面圆 上poABCDO的两条平行的弦，轴 与平面 所成的角为 60，OPCD（）证明：平面 与平面 的交线平行于底面；AB（）求 。cosC改编：在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， ACB= 90，平面，EF，.=.（）若是线段的中点，求证：平面;（）若=,求二面角- -的大小注：本题考查立体几何，但载体已经多年不见了，圆锥，第一题考查的是线面平行的判定，题目中没有直接作出交线，需要学生自
18、己去假设，改编后的两个问题是类似的，但载体有所变化，更加的常规。（20） （本小题满分 13 分）设函数 ，证明：22()1(,)3nnnxxfxRN（）对每个 ，存在唯一的 ，满足 ；nN1n(0nfx（）对任意 ，由（）中 构成的数列 满足 。npNnxnx10npx改编：设 .23121()coscos4cos()2nfxrrr （1）证明：对任意 ，当 时， ；xR1| 8)(2xf（2）证明：当 ， 对任意 和自然数 都有 .1|2r ()nfRn(2) 1()0nfx注：本题很难，改编的目的是稍微变得简单一点！（21） （本小题满分 13 分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次
19、主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 位学生，每次活动均需该系 位学生参加（ 和 都是固定的正整数） 。假设李老师nkk和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 x（）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（）求使 取得最大值的整数 。()PXmm改编：某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 位学生，每次活动均需该系 位学生参加。假设李老师和张老师分别将各自活动12050通知的信息独立、随机地发给该系 位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 x（）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（）求使 取得最大值的整数 。()PXmm注：本题是这张试卷的压轴题之一，但有点太难了，本身概率压轴就比较少，而且第二题还需要进行讨论，因为太难，估计达不到选拔的目的，改编之后是具体的数字，就来的简单的多了。
