1、2015-2016 学年湖北省荆州市公安一中高三（上）12 月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）命题“x 2+y2=0，则 x=y=0”的否定命题为（ ）A若 x2+y2=0，则 x0 且 y0 B若 x2+y2=0，则 x0 或 y0C若 x2+y20，则 x0 且 y0 D若 x2+y20，则 x0 或 y02 （5 分）已知集合 A=x|x22x30，B=x|log 2（x 1） 2，则（ RA）B=（ ）A （1，3） B （ 1，3） C （3，5） D （1，5）3 （
2、5 分）欧拉公式 eix=cosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4 （5 分）函数 f（x）= ，则 ff（ ）=（ ）A B1 C 5 D5 （5 分）等差数列a n前 n 项和为 Sn，且 = +1，则数列a n的公差为（ ）A1 B2 C2015 D20166 （5 分）已知 sin（ ） cos= ，则 cos（2 + ）=（ ）A
3、 B C D7 （5 分）若 a=ln2，b=5 ，c= sinxdx，则 a， b，c 的大小关系（ ）Aabc Bba c Cc ba Dbca8 （5 分）已知函数 f（x）=sin 2（x） （ 0）的周期为 ，若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（a0） ，所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为（ ）A B C D9 （5 分）设 m，nR，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0 与圆（x1） 2+（y1） 2=1 相切，则 m+n 的取值范围是（ ）A1 ，1+ B （，1 1+ ，+）C22 ，2 +2 D （ ，22 2+2 ，+）10 （5 分）如图，在正六边形 A
4、BCDEF 中，点 P 是CDE 内（包括边界）的一个动点，设（，R）则 + 的取值范围（ ）A1，2 B2，3 C2，4 D3，411 （5 分）已知直线 x=2 与双曲线 C： y2=1 的渐近线交于 E1、E 2 两点，记 = ， = ，任取双曲线 C 上的点 P，若 =a +b （a，b R） ，则（ ）A0a 2+b21 B0a 2+b2 Ca 2+b21 Da 2+b212 （5 分）关于函数 f（x） = +lnx，下列说法错误的是（ ）Ax=2 是 f（x）的极小值点B函数 y=f（ x） x 有且只有 1 个零点C存在正实数 k，使得 f（x）kx 恒成立D对任意两个正实数
5、x1，x 2，且 x2x 1，若 f（x 1）=f（x 2） ，则 x1+x24二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知平面直角坐标系中， =（3，4） ， =3，则向量 在向量 的方向上的投影是 14 （5 分）若函数 f（x）= ，g（x）=f（x）+ax，x2，2为偶函数，则实数 a= 15 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为 16 （5 分）如图所示，已知ABC 中，C=90，AC=6，BC=8，D 为边 AC 上的一点，K 为 BD 上的一点，且ABC=KAD=AKD，则 DC= 三、解答题：本大题共 5
6、小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （12 分）在等比数列a n中，a 3= ，S 3= （）求a n的通项公式；（）记 bn=log2 ，且 bn为递增数列，若 Cn= ，求证：C 1+C2+C3+Cn 18 （12 分）如图，ABC 中，三个内角 B、A、C 成等差数列，且 AC=20，BC=30 （1）求ABC 的面积；（2）已知平面直角坐标系 xOy，点 D（20，0） ，若函数 f（x）=Msin （ x+）（M0，0，| ） 的图象经过 A、C、D 三点，且 A、D 为 f（x）的图象与 x 轴相邻的两个交点，求 f（x）的解析式19 （12 分）设点 A
7、（ ，0）B（ ，0）直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积为 （1）求动点 M 的轨迹 c 的方程；（2）若直线 l 过点 F（1，0）且绕 F 旋转，l 与圆 O：x 2+y2=5 相交于 P，Q 两点，l 与轨迹 c 相交于 R，S两点，若|PQ|4， ，求 FRS 的面积的最大值和最小值（F 为轨迹 C 左焦点） 20 （12 分）小华同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图 1 所示，网球场前半区、后半区总长为 23.77 米，球网的中间部分高度为 0.914 米，发射器固定安装在后半区离球网底部8 米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直为计算方
8、便，球场长度和球网中间高度分别按 24 米和 1 米计算，发射器和网球大小均忽略不计如图 2 所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上的球场中轴线上， y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 米已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程= kx （1+k 2）x 2（k0）表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关发射器的射程是指网球落地点的横坐标（1）求发射器的最大射程；（2）请计算 k 在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于 1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.
9、55 米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标 a 最大为多少？并请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x） =ex，xR（）若直线 y=kx 与 f（x）的反函数的图象相切，求实数 k 的值（）设 a，bR，且 ab， A=f（ ） ，B= ，C= ，试比较 A，B，C 三者的大小，并说明理由选修 4-1 几何证明选讲请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22 （10 分）如图，BC 是圆 O 的直径，点 F 在弧 上，点 A 为弧 的中点，做 ADBC 于点 D，BF 与AD 交于点 E，BF
10、 与 AC 交于点 G（）证明：AE=BE（）若 AC=9，GC=7 ，求圆 O 的半径选修 4-4 极坐标与参数方程23已知曲线 C 的极坐标方程为 2sin+cos=10，将曲线 C1： （ 为参数）经过伸缩变换后得到曲线 C2（1）求曲线 C2 的普通方程；（2）若点 M 在曲线 C2 上运动，试求出 M 到曲线 C 的距离的最小值选修 4-5 不等式证明选讲24已知函数 f（x）=|x 10|+|x20|，且满足 f（x）10a+10（aR）的解集不是空集（）求实数 a 的取值集合 A（）若 bA，ab，求证 aabba bba2015-2016 学年湖北省荆州市公安一中高三（上）12
11、 月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2016 沈阳校级四模）命题“x 2+y2=0，则 x=y=0”的否定命题为（ ）A若 x2+y2=0，则 x0 且 y0 B若 x2+y2=0，则 x0 或 y0C若 x2+y20，则 x0 且 y0 D若 x2+y20，则 x0 或 y0【分析】直接利用四种命题的逆否关系，写出否定命题即可【解答】解：命题“x 2+y2=0，则 x=y=0”的否定命题为：若 x2+y20，则 x0 或 y0故选：D【点评】本题考查四种命
12、题的逆否关系，注意命题的否定与否定命题的区别，是基础题2 （5 分） （2016 春 习水县校级期中）已知集合 A=x|x22x30，B=x|log 2（x 1）2，则（ RA）B=（ ）A （1，3） B （ 1，3） C （3，5） D （1，5）【分析】由已知可得 RA=x|x22x30，解不等式求出 RA，和集合 B，结合集合交集运算的定义，可得答案【解答】解：集合 A=x|x22x30， RA=x|x22x30=（ 1， 3） ，又B=x|log 2（x1）2=x|0x14=（1，5） ，（ RA） B=（1，3） ，故选：A【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度
13、不大，属于基础题3 （5 分） （2016 春 习水县校级期中）欧拉公式 eix=cosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析】e 2i=cos2+isin2，根据 2 ，即可判断出【解答】解：e 2i=cos2+isin2，2 ，cos2（ 1，0） ，sin2（0，1） ，e 2i 表示的复数在复平面中位于第二象限故选：B【点评】本题考
14、查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4 （5 分） （2015 秋 深圳校级期末）函数 f（x）= ，则 ff（ ）=（ ）A B1 C 5 D【分析】利用分段函数的性质，先求出 f（ ） ，再求 ff（ ）的值【解答】解：函数 f（x）= ，f（ ）= = ，ff（ ）=f（ ）= 2= 故选：A【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和对数性质的合理运用5 （5 分） （2016 春 习水县校级期中）等差数列a n前 n 项和为 Sn，且 = +1，则数列a n的公差为（ ）A1 B2 C2015 D2016【
15、分析】设等差数列a n的公差为 d可得 = = d，即可得出【解答】解：设等差数列a n的公差为 d ， = = = d又 = +1，等差数列a n的公差为 2故选：B【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 （5 分） （2016 春 武汉校级期中）已知 sin（ ） cos= ，则 cos（2+ ）=（ ）A B C D【分析】由条件利用两角和差的正弦公式求得 sin（+ ）= ，再利用二倍角的余弦公式求得 cos（2+）的值【解答】解：sin（ ） cos= cos sincos=sin（ + ）= ，sin （
16、+ ）= ，则 cos（2+ ）=12sin 2（+ ）= ，故选：C【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题7 （5 分） （2015 秋 武汉月考）若 a=ln2，b=5 ，c= sinxdx，则 a，b，c 的大小关系（ ）Aabc Bba c Cc ba Dbca【分析】分别比较 a，b，c 与 的大小，即可得到答案【解答】解： =ln ln2lne=1， a1，b=5 = ，c= sinxdx= cosx| = （1+1）= ，bca，故选：D【点评】本题考查了不等式的大小比较和定积分的计算，属于基础题8 （5 分） （2016 蚌埠一模）已知函数
17、f（x）=sin 2（x） （0）的周期为 ，若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（a 0） ，所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为（ ）A B C D【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得 的值，可得函数的解析式，利用函数 y=Acos（ x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得 a 的最小值【解答】解：由函数 f（x）=sin 2（x） = cos2x （0）的周期为 =，可得 =1，故 f（x）= cos2x若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（a0） ，可得 y= cos2（xa）= cos（2x 2a）的图象；再根据所
18、得图象关于原点对称，可得 2a=k+ ，a= + ，k Z则实数 a 的最小值为 故选：D【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数 y=Acos（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题9 （5 分） （2012 天津）设 m，n R，若直线（m+1）x+（n+1）y2=0 与圆（x 1） 2+（y1） 2=1 相切，则m+n 的取值范围是（ ）A1 ，1+ B （，1 1+ ，+）C22 ，2 +2 D （ ，22 2+2 ，+）【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径 r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，
19、整理后利用基本不等式变形，设 m+n=x，得到关于 x 的不等式，求出不等式的解集得到 x 的范围，即为 m+n 的范围【解答】解：由圆的方程（x1） 2+（y 1） 2=1，得到圆心坐标为（1，1） ，半径 r=1，直线（m+1）x+（n+1）y2=0 与圆相切，圆心到直线的距离 d= =1，整理得：m+n+1=mn ，设 m+n=x，则有 x+1 ，即 x24x40，x 24x4=0 的解为：x 1=2+2 ，x 2=22 ，不等式变形得：（x2 2 ） （x2+2 ）0，解得：x2+2 或 x22 ，则 m+n 的取值范围为（，22 2+2 ，+） 故选 D【点评】此题考查了直线与圆的位
20、置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键10 （5 分） （2013 温州二模）如图，在正六边形 ABCDEF 中，点 P 是CDE 内（包括边界）的一个动点，设 （，R ）则 + 的取值范围（ ）A1，2 B2，3 C2，4 D3，4【分析】通过建立坐标系，写出点的坐标及直线方程，设动点 P 的坐标写出动点 P 的可行域；写出向量的坐标，据已知条件中的向量等式得到 ， 与 x，y 的关系代入点 P 的可行域得 ， 的可行域，利用线性规划求出 + 的取值范
21、围【解答】解：建立如图坐标系，设 AB=2，则 A（0，0） ，B（2，0） ，C（3， ） ，D（2，2 ） ，E（0，2 ） ，F（1， ）则 EC 的方程：x+ y6=0； CD 的方程： x+y4 =0；因 P 是CDE 内（包括边界）的动点，则可行域为 又 ，则 =（x，y） ， =（2，0） ， =（ 1， ） ，所以（x，y）=（2，0）+（1， ）得 3 +4则 + 的取值范围为 3，4故选 D【点评】本题考查向量在几何中的应用，解答的关键是通过建立直角坐标系将问题转化为线性规划问题，通过线性规划求出范围11 （5 分） （2015 秋 荆州校级月考）已知直线 x=2 与双曲线
22、 C： y2=1 的渐近线交于 E1、E 2 两点，记= ， = ，任取双曲线 C 上的点 P，若 =a +b （a ，b R） ，则（ ）A0a 2+b21 B0a 2+b2 Ca 2+b21 Da 2+b2【分析】求出 ， 的坐标，得出 P 点坐标，代入双曲线方程得出 ab= ，根据基本不等式得出 a2+b2 的范围【解答】解：双曲线的渐近线方程为 y= x，E 1（2，1） ，E 2（2，1） =a +b =（2a+2b，a b） ，P（2a+2b，ab） ，（a+b） 2（a b） 2=1，4ab=1，即 ab= a 2+b22ab= 故选：D【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，基
23、本不等式的应用，属于中档题12 （5 分） （2016 新余校级一模）关于函数 f（x）= +lnx，下列说法错误的是（ ）Ax=2 是 f（x）的极小值点B函数 y=f（ x） x 有且只有 1 个零点C存在正实数 k，使得 f（x）kx 恒成立D对任意两个正实数 x1，x 2，且 x2x 1，若 f（x 1）=f（x 2） ，则 x1+x24【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：f（x）= ，（0，2）上，函数单调递减， （2，+）上函数单调递增，x=2 是 f（x）的极小值点，即 A 正确；y=f（x）x= +lnxx，y= 0，函数在（0，+）上单调递减，x 0，y+，函
24、数y=f（x）x 有且只有 1 个零点，即 B 正确；f（x）kx，可得 k ，令 g（x）= ，则 g（x）= ，令 h（x）= 4+xxlnx，则 h（x）=lnx，（0，1）上，函数单调递增， （1，+）上函数单调递减，h（x）h（1）0，g（x）0，g（x）= 在（0，+）上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数 k，使得 f（ x）kx 恒成立，即 C 不正确；对任意两个正实数 x1，x 2，且 x2x 1， （0，2）上，函数单调递减， （2，+）上函数单调递增，若 f（x 1）=f（x 2） ，则 x1+x24，正确故选：C【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分） （2016 春 宜春校级期末）已知平面直角坐标系中， =（3，4） ， =3，则向量 在向量 的方向上的投影是
