1、2015-2016 学年湖南省岳阳市湘阴县高三（下）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）若集合 A=x|1x3，B=x|x2，则 AB=（ ）Ax|2x3 Bx|1 x3 Cx|1x2 Dx|x12 （5 分）已知复数 z 满足 zi=1i， （i 为虚数单位） ，则|z|=（ ）A1 B2 C3 D3 （5 分） “a1”是“ a21” 的（ ）A充分不必条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）从 1，2，3，4 这四个数中依次随机地取两
2、个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是（ ）A B C D5 （5 分）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a2=3，S 6=36，则 a4=（ ）A6 B7 C8 D96 （5 分）执行如图的程序框图，输出的 S 为（ ）A25 B30 C55 D917 （5 分）已知函数 的图象的两条相邻对称轴的距离是 ，则 =（ ）A4 B C1 D28 （5 分）某零件的三视图如图所示，现用一长方体原件切割成此零件，若产生的废料最少，则原件的体积为（ ）A B2 C4 D89 （5 分）矩形 ABCD 中，AD=mAB，E 为 BC 的中点，若 ，则 m=（ ）A B C2 D310 （
3、5 分）边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点都在同一球面上，球心到平面 ABCD 的距离为 1，则此球的表面积为（ ）A3 B5 C12 D2011 （5 分）抛物线 C：x 2=2py（p0）的焦点为 F，过直线 xy2=0 上点 M 作 C 的两条切线MA、MB （A、 B 为切点） ，若|AF|BF|的最小值为 8，则 p=（ ）A1 B C2 D412 （5 分）已知函数 ，关于 a 的不等式 f（a ） ta+2t20 的解集是（a 1，a 2）（a 3，+） ，若 a1a2a30，则实数 t 的取值范围是（ ）A （3， 4） B C D （3，2）二、填空题：本大题共 4 小题
4、，每小题 5 分，共 20 分，将答案填写在题中的横线上.13 （5 分）已知变量 x、y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 14 （5 分）在ABC 中，若 ，则 BC= 15 （5 分）函数 f（x）的图象在 x=2 处的切线方程为 2x+y3=0，则 f（2）+f（2）= 16 （5 分）双曲线 C： 的右焦点为 F，其右支上总有点 P，使得|OM|=|PF|（ M 为 PF 的中点，O 为坐标原点） ，则 C 的离心率的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 （12 分）已知等差数列a n的公差 d0，a 2=3
5、，且 a1、a 3、a 7 成等比数列（）求数列a n的通项公式；（）设 ，数列b n的前 n 项和为 Sn，求 S1618 （12 分）PM2.5 是指大气中直径2.5 微米的颗粒物，其浓度是监测环境空气质量的重要指标当 PM2.5日均值在 035（单位为微米/立方米，下同）时，空气质量为优，在 3575 时空气质量为良，超过 75 时空气质量为污染某旅游城市 2016 年春节 7 天假期里每天的 PM2.5 的监测数据如茎叶图所示（）以上述数据统计的相关频率作为概率，求该市某天空气质量为污染的概率；（）某游客在此春节假期间有 2 天来该市旅游，已知这 2 天该市空气质量均不为污染，求这 2
6、 天中空气质量都为优的概率19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1平面 ABC，AA 1=AC=2BC，ACB=90 （）求证：AC 1A 1B；（）求直线 AB 与平面 A1BC 所成角的正切值20 （12 分）如图，已知椭圆 的离心率为 ，且过点 P（0，1） （）求椭圆 C 的方程； （）过点（1，1）的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M、N（均异于点 P） 问直线 PM 与 PN 的斜率之和是否是定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x） =2alnx+（a+1）x 2+1（）当 时，求函数 f（x）的极值；（）如果对
7、任意 x1x 20，总有 ，求实数 a 的取值范围；（）求证： 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修 4-1：几何证明选讲22 （10 分）如图，O 的圆心 O 在 RtABC 的直角边 BC 上，AB、AC 都是O 的切线，M 是 AB 与O 相切的切点，N 是O 与 BC 的交点（）证明：MNAO；（）若 AC=3，MB=2 ，求 CN选修 4-4：坐标系与参数方程 23已知直线 l 的极坐标方程是 cossin1=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线 C 的参数方程是 （ 为参数） （）求直线 l
8、 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（）若直线 l 与 x、y 轴交于 M、N 两点，点 P 为曲线 C 上任一点求PMN 的面积的最小值选修 4-5：不等式选讲24设函数 f（x）=a|x1|+1（a0） （）当 a=1 时，求不等式 f（x）6|x+2|的解集；（）若函数 f（x）的图象与圆（ x1） 2+（y1） 2=1 相交形成的劣弧不超过圆周长的 求正数 a 的取值范围2015-2016 学年湖南省岳阳市湘阴县高三（下）第二次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
9、1 （5 分） （2016 高台县校级模拟）若集合 A=x|1x3，B=x|x2，则 AB=（ ）Ax|2x3 Bx|1 x3 Cx|1x2 Dx|x1【分析】由 A 与 B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=x|1x3，B=x|x2，AB=x|2x3，故选：A【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （5 分） （2016 高台县校级模拟）已知复数 z 满足 zi=1i， （i 为虚数单位） ，则|z|=（ ）A1 B2 C3 D【分析】根据复数的代数运算法则，求出复数 z，再求它的模长即可【解答】解：复数 z 满足 zi=1i， （i 为虚数单位） ，z= =i
10、1，|z|= = 故选：D【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目3 （5 分） （2016 高台县校级模拟） “a1”是“a 21”的（ ）A充分不必条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】由 a21，解得 a1即可判断出关系【解答】解：由 a21，解得 a1“a1”推不出“ a21” ，反之由 a21，解得 a1“a1”是“ a21” 的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4 （5 分） （2014 岳麓区校级模拟）从 1，2，3，4 这四个数中依次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍
11、的概率是（ ）A B C D【分析】从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取两个数，可有 种方法，其中一个数是另一个数的两倍的只有 1，2；2，4两种选法利用古典概型的概率计算公式即可得出【解答】解：从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取两个数，可有 种方法，其中一个数是另一个数的两倍的只有 1，2；2，4 这两种选法其中一个数是另一个数的两倍的概率 P= = 故选：B【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式和组合的意义，属于基础题5 （5 分） （2016 春 湘阴县月考）等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a2=3，S 6=36，则 a4=（ ）A6 B7 C8 D9【分析
12、】由等差数列的通项公式和前 n 项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出等差数列的第 4 项【解答】解：等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 a2=3，S 6=36， ，解得 a1=1，d=2，a 4=a1+3d=1+23=7故选：B【点评】本题考查等差数列的第 4 项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用6 （5 分） （2016 春 湘阴县月考）执行如图的程序框图，输出的 S 为（ ）A25 B30 C55 D91【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件 i5，计算输出 S 的值即可得解【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1
13、第一次运行循环体，S=1 2，i=2；第二次运行循环体，S=1 2+22，i=3；第三次运行循环体，S=1 2+22+32，i=4；第四次运行循环体，S=1 2+22+32+42，i=5；第五次运行循环体，S=1 2+22+32+42+52，i=6；此时，满足条件 i5，程序终止运行，输出 S=12+22+32+42+52=55故选：C【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题7 （5 分） （2016 春 湘阴县月考）已知函数 的图象的两条相邻对称轴的距离是 ，则 =（ ）A4 B C1 D2【分析】由已知求得三角函数的周期
14、，再由周期公式求得 值【解答】解：由函数 的图象的两条相邻对称轴的距离是 ，得 ，T=，则 = 故选：D【点评】本题考查三角函数周期的求法，考查了 y=Asin（x+）型函数的图象和性质，是基础题8 （5 分） （2016 春 湘阴县月考）某零件的三视图如图所示，现用一长方体原件切割成此零件，若产生的废料最少，则原件的体积为（ ）A B2 C4 D8【分析】由三视图可知：该几何体为圆柱的一半，利用长方体的体积计算公式即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何题为圆柱的一半，原件的体积=122=4 ，故选：C【点评】本题考查了圆柱与长方体的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
15、9 （5 分） （2016 高台县校级模拟）矩形 ABCD 中，AD=mAB，E 为 BC 的中点，若 ，则 m=（ ）A B C2 D3【分析】根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式，得到 =（ 1）| |2=0，解得即可【解答】解：AD=mAB，E 为 BC 的中点， = + = + = + ，= ， ， =（ + ） （ ）= | |2| |2+ =（ 1）| |2=0， 1=0，解得 m= 或 m= （舍去） ，故选：A【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积运算，以及向量垂直的条件，属于中档题10 （5 分） （2016 高台县校级模拟）边长为 2 的正方形 ABCD
16、 的顶点都在同一球面上，球心到平面ABCD 的距离为 1，则此球的表面积为（ ）A3 B5 C12 D20【分析】由正方形边长求出对角线长，根据球心到平面 ABCD 的距离，正方形对角线一半，以及球的半径构成直角三角形，利用勾股定理求出球半径，即可确定出球的表面积【解答】解：正方形的边长为 2，正方形的对角线长为 =2 ，球心到平面 ABCD 的距离为 1，球的半径 R= = ，则此球的表面积为 S=4R2=12故选：C【点评】此题考查了球的体积和表面积，求出球的半径是解本题的关键11 （5 分） （2016 春 湘阴县月考）抛物线 C：x 2=2py（p0）的焦点为 F，过直线 xy2=0
17、上点 M 作 C 的两条切线 MA、MB（A、B 为切点） ，若|AF|BF|的最小值为 8，则 p=（ ）A1 B C2 D4【分析】求出切线方程，再利用抛物线的定义，即可得出结论【解答】解：设 A（x 1， x12） ，B（x 2， x22） ，由抛物线 C：x 2=2py 得抛物线 C 的方程为 y= x2，y=MA：y x12= （xx 1） ，MB：y x22= （xx 2）联立可得 x1，x 2 是方程 t22xt+2py=0 的两个根，x 1+x2=2x，x 1x2=2py根据抛物线的定义，有|AF|BF|=| x12+ | x22+ |=|2x2+（4p）x+4+2p+ |x=
18、 时，|AF |BF|的最小值为| |=8，p=4故选：D【点评】本题以抛物线为载体，考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性12 （5 分） （2016 春 湘阴县月考）已知函数 ，关于 a 的不等式 f（a）ta+2t2 0 的解集是（ a1，a 2） （a 3，+） ，若 a1a2a30，则实数 t 的取值范围是（ ）A （3， 4） B C D （3，2）【分析】由题意，a 10，0a 21，a 31，再分类讨论，结合不等式（ a）ta+2t20 的解集是（a 1，a 2）（a 3，+） ，求出实数 t 的取值范围【解答】解：由题意，a 10，
19、0a 21，a 31，a1，不等式为 4a+1ta+2t20，a（4t ）12t ，4t0，t 4；a1，不等式为 a26a+10ta+2t20，f（1）=16+10t +2t20，t 3，故选 A【点评】本题考查分段函数，考查分类讨论的数学思想，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填写在题中的横线上.13 （5 分） （2016 春 湘阴县月考）已知变量 x、y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 6 【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数 z=2x+y 的最大值【解答】
20、解：由约束条件 ，得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为 A（1，2） ， B（2，1） ，C（2，4）由 z=x+y 可得 y=x+z，则 z 表示直线 y=x+z 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大直线 z=x+y 过点 C（2，4）时， z 取得最大值为 6；故答案为：6【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解14 （5 分） （2016 春 湘阴县月考）在ABC 中，若 ，则 BC= 【分析】由 tanB 的值大于 0，且 B 为三角形的内角，根据同角三角函数间的基本关系求出
21、sinB 的值，再由 C=（A+B） ，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简 sjnC，利用正弦定理即可求出 BC 的长【解答】解：tanB= 0，且 B 为三角形的内角，sinB= = = ，cosB= sinC=sin（A+B ）=sin（A+B ）=sinAcosB+cosAsinB= + = ，又 AB= ，根据正弦定理 得：BC= = = 故答案为： 【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及正弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键15 （5 分） （2016 春 湘阴县月考）函数 f（x）的图象在 x=2 处的切线方程为 2x+y3=0，则 f（2）+f（2）= 3 【分析】先将 x=2 代入切线方程可求出 f（2） ，再由切点处的导数为切线斜率可求出 f（2）的值，最后相加即可【解答】解：由已知切点在切线上，所以 f（2）= 1，切点处的导数为切线斜率，所以 f（2）= 2，所以 f（2）+f （2）= 3故答案为：3【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率16 （5 分） （2016 春 湘阴县月考）双曲线 C： 的右焦点为 F，其右支上总有点 P，使得|OM|=|PF|（M 为 PF 的中点，O 为坐标原点） ，则 C 的离心率的取值范围是 （1，3
