1、2015-2016 学年浙江省绍兴一中高三（下）开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）集合 A=yR|y=2x，B=1，0，1，则下列结论正确的是（ ）AAB=0，1 BAB=（0，+） C （ RA）B= （，0） D （ RA）B=1，02 （5 分）命题“xR，2 x+x21”的否定是（ ）AxR ，2 x+x21，假命题 B xR，2 x+x21，真命题CxR，2 x+x21，假命题 D xR，2 x+x21，真命题3 （5 分）已知 a，b 为实数，命题甲：abb 2，命题乙：
2、，则甲是乙的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4 （5 分）下列函数中既是奇函数又在区间，1，1上单调递减的是（ ）Ay=sinx By= |x+1| C Dy= （2 x+2x）5 （5 分）设等差数列a n的前项和为 Sn，若 ，则 Sn+m=（ ）A0 B （m+n） 2 C （ m+n） 2 D （mn） 26 （5 分）若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2+ 的离心率为（ ）A B C 或 D 或7 （5 分）一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触若小球上一点到这三个面的距离分别为 4、5、5，则这只小球的半径是（
3、）A3 或 8 B8 或 11 C5 或 8 D3 或 118 （5 分）已知 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，I 为 PC 上一点，满足| |=4，| |=10， ，且 = +（ ） ， （ 0） ，则的值为（ ）A2 B4 C3 D5二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分9 （6 分）若 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，S 9=36，S 13=104，则 a5= ；S 11= 10 （6 分）一个多面体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为 ；体积为 11 （6 分
4、）函数 y=logax+1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 + 4=0（m 0，n0）上，则 + = ；m+n 的最小值为 12 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，函数 f（x）=asinax+cosax（a0）的最小正周期为 ，在一个最小正周期长的区间上的图象与函数 的图象所围成的封闭图形的面积是 13 （4 分）已知点 A（1，0） ，点 B（1，0） ，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的商是 3，则点 M 轨迹是 14 （4 分）已知函数 ，数列 an 满足 an=f（n） （nN *） ，且an 是递增数列，则实数 a
5、 的取值范围是 15 （4 分）设实数 x，y 满足 ，则 u= + 的取值范围是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （14 分）如图所示，在四边形 ABCD 中，D=2B，且 AD=1，CD=3，cosB=（1）求ACD 的面积；（2）若 BC=2 ，求 AB 的长17 （15 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PAAD，ABCD，CDAD，AD=CD=2AB=2 ，E，F 分别为 PC，CD 的中点，DE=EC（1）求证：平面 ABE平面 BEF；（2）设 PA=a，若平面 EBD 与平面 ABCD 所成锐二面角 ，求 a 的取值范围
6、18 （15 分）设 a 为非负实数，函数 f（x）=x|xa| a（）当 a=2 时，求函数的单调区间；（）讨论函数 y=f（x）的零点个数，并求出零点19 （15 分）已知圆 C 的方程为 x2+y2=4，过点 M（2，4）作圆 C 的两条切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆 的右顶点和上顶点（1）求椭圆 T 的方程；（2）已知直线 l 与椭圆 T 相交于 P，Q 两不同点，直线 l 方程为 ，O 为坐标原点，求OPQ 面积的最大值20 （15 分）对任意正整数 n，设 an 是方程 x2+ =1 的正根求证：（1）a n+1a n；（2） + + 1+ + + 2015-2
7、016 学年浙江省绍兴一中高三（下）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分） （2013 哈尔滨一模）集合 A=yR|y=2x，B=1，0，1，则下列结论正确的是（ ）AAB=0，1 BAB=（0，+） C （ RA）B= （，0） D （ RA）B=1，0【分析】本题利用直接法，先利用指数函数的值域性质化简集合 A，再求 CRA，最后求出A、B 的交、并及补集等即可【解答】解：A=yR |y=2x=yR|y0，C RA=yR|y0，又 B=1，0，1，（C RA）B= 1
8、，0故选 D【点评】这是一个集合与函数的性质交汇的题，本小题主要考查集合的简单运算属于基础题之列2 （5 分） （2014 秋 红岗区校级期中）命题“xR ，2 x+x21”的否定是（ ）AxR ，2 x+x21，假命题 B xR，2 x+x21，真命题CxR，2 x+x21，假命题 D xR，2 x+x21，真命题【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果，判断真假即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“xR，2 x+x21”的否定是：xR， 2x+x2 1，当 x=0 时，不等式不成立，所以是假命题故选：A【点评】本题考查命题的否定，因此每天与全称命题的否定关系，命题
9、的真假的判断，基本知识的考查3 （5 分） （2013 松江区二模）已知 a，b 为实数，命题甲：abb 2，命题乙：，则甲是乙的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】举反例 a=2，b=1，可证甲不能推乙，由不等式的性质可证乙可推甲，由充要条件的定义可得【解答】解：命题甲：abb 2，不能推出命题乙： ，比如当取 a=2，b=1，当然满足甲，但推不出乙；若命题乙： 成立，则可得 a，b 均为负值，且 ab，由不等式的性质两边同乘以 b 可得 abb 2，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选 B【点评】本题考查充要条件，利用不等式的性质和反例法是
10、解决问题的关键，属基础题4 （5 分） （2016 河南二模）下列函数中既是奇函数又在区间，1，1上单调递减的是（ ）Ay=sinx By= |x+1| C Dy= （2 x+2x）【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可【解答】解：y=sinx 是奇函数，但是， 1，1上单调增函数y=|x+1|不是奇函数，对于 ，因为 f（x）= = =f（ x） ，所以 是奇函数，在1，1上单调减函数，y= （2 x+2x）是偶函数，1，1上单调递增故选：C【点评】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查计算能力5 （5 分） （2016 春 绍兴校级月考）设等差数列a n的前项和为
11、 Sn，若，则 Sn+m=（ ）A0 B （m+n） 2 C （ m+n） 2 D （mn） 2【分析】由等差数列及条件可设设 Sn=An2+Bn，再由 Sm=n，S n=m 列方程求得 A，B，然后求得 Sn+m【解答】解：设等差数列的前 n 项和为 Sn=An2+Bn，A、B 为常数；则 ，两式相减得：（m 2n2）A+（ mn）B=n 2m2，mn，（m+n）A+B=（m+n） ，S n+m=（n+m） 2A+（n+m） B=（n+m） （n+m）=（m+n） 2故选：C【点评】本题主要考查了等差数列的前 n 项和公式应用问题，是中档题6 （5 分） （2015 山东一模）若 m 是 2
12、 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2+ 的离心率为（ ）A B C 或 D 或【分析】先根据等比中项的性质求得 m 的值，分别看当 m 大于 0 时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得 a 和 b，则 c 可求得，继而求得离心率当 m0，曲线为双曲线，求得 a，b 和 c，则离心率可得最后综合答案即可【解答】解：依题意可知 m= =4当 m=4 时，曲线为椭圆， a=2，b=1，则 c= ，e= =当 m=4 时，曲线为双曲线， a=1，b=2 ，c= 则，e=故选 D【点评】本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度7 （5 分） （2015 运城
13、二模）一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触若小球上一点到这三个面的距离分别为 4、5、5，则这只小球的半径是（ ）A3 或 8 B8 或 11 C5 或 8 D3 或 11【分析】小球在长方体容器内，且与共点的三个面相接触，则小球的球心 A 到三个接触面的距离相等，小球上一点 P 到这三个面的距离分别为 4、5、5，若以三个面的交点为坐标原点，分别以其中两个面的交线为坐标轴建立空间直角坐标系后，球心和小球上的点的坐标可知，向量 和 的坐标可求，由向量减法的三角形法则可得向量 ，向量 的模就是小球的半径，由半径相等列式可求这只小球的半径【解答】解：如图，设长方体的三个面共点为 O，
14、以 OE，OF，OG 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为小球与共点的三个面相接触，所以设球心 A（r ，r，r） ，又因为小球上一点 P 到这三个面的距离分别为 4、5、5，所以点为 P（5，4，5） ，则 =（r ，r，r） ， =（5， 4，5） ，由 =（5 r，4r，5r） | |2=（5 r） 2+（4r） 2+（5r） 2=r2，即 r214r+33=0，解得： r=3 或 r=11故选 D【点评】本题考查了球外切多面体，考查了空间点、线、面间的距离的计算，利用空间向量处理该题起到事半功倍的效果，属中档题8 （5 分） （2012 淮北二模）已知 C 为
15、线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，I 为 PC 上一点，满足| | |=4，| |=10， ，且 = +（） ， （0） ，则 的值为（ ）A2 B4 C3 D5【分析】根据 表示| |cosAPC=| |cosCPB，即APC=CPB，且 = +（ ） ， （0） ，表示 I 在BAP 的角平分线上，即 I 是三角形 ABP 的内心，余下的问题就比较简单【解答】解：由| |=10，可得|AB|=10由 ，可得| |cosAPC=| |cosCPB，即APC=CPB，即 PC 为 APB 的角平分线由于 I 为 PC 上一点， = +（ ） ， （0） ，表示点 I 在CAP 的角
16、平分线上，即 I 是三角形 ABP 的内心而要求的式子 表示的是 在 上的投影长度过 I 做 IK 垂直于 AB 于 K，则由圆的切线性质和题意可得|AK|BK|=4，|AK|+|BK|=10，解得|BK|=3 即所求，故选 C【点评】本题考查向量在几何中的应用，本题解题的关键是正确理解条件中所给的几个关系式，注意把条件转化成我们所熟悉的条件，本题是一个比较好的题目，属于中档题二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分9 （6 分） （2016 春 绍兴校级月考）若 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，S 9=36，S 13=104，则 a5= 4
17、；S 11= 66 【分析】由等差数列的前 n 项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出 a5，S 11【解答】解：S n 为等差数列a n的前 n 项和，S 9=36，S 13=104， ，解得 a1=4，d= 2，a 5=a1+4d=48=4，S11= =114+ （ 2）=66故答案为：4， 66【点评】本题考查等差数列的第 5 项和前 11 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用10 （6 分） （2016 春 绍兴校级月考）一个多面体的三视图（单位：cm）如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为 88cm 2 ；体积为 4
18、8cm3 【分析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直三棱柱，高为 4，底面是一个等腰三角形，其高为 4，底边长为 6据此即可计算出表面积和体积【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直三棱柱，高为 4，底面是一个等腰三角形，其高为 4，底边长为 6在 Rt ABD 中，由勾股定理可得 AB= =5该几何体的表面积 S=452+46+2 =88cm2；V= =48cm3故答案为：88cm 2，48cm 3【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键11 （6 分） （2016 春 绍兴校级月考）函数 y=logax+1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 + 4=0（m
19、0，n0）上，则 + = 4 ；m+n 的最小值为 1 【分析】利用对数的性质可得：函数 y=logax+1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A（1，1） ，代入直线 + 4=0（m0， n0）上，可得 + =4，再利用“ 乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出【解答】解：当 x=1 时，y=log a1+1=1，函数 y=logax+1（a0 且 a1）的图象恒过定点 A（1，1） ，点 A 在直线 + 4=0（m0，n0）上， + =4m+n= （ + ） （m+n）= （2+m+n） ， （2+2 ）=1，当且仅当 m=n= 时取等号故答案是：4；1【点评】本题考查了对数的运算性质、 “
20、乘 1 法”和基本不等式的性质，属于基础题12 （6 分） （2016 春 绍兴校级月考）在平面直角坐标系 xOy 中，函数 f（x）=asinax+cosax（a0）的最小正周期为 ，在一个最小正周期长的区间上的图象与函数 的图象所围成的封闭图形的面积是 【分析】 （1）利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质即可求函数f（x）的最小正周期（2）由三角函数的图象的对称性，把要求的面积转化为长度为 ，宽度为 矩形的面积的一半来解决；或者利用定积分的意义转化为定积分来求解【解答】解：（1）由 f（x） =asinax+cosax（a0）f（ x） = ，其中f（x）的最小正周期（2）取长度为 ，宽度为 矩形，根据三角函数的图象的对称性，所围成的封闭图形的面积为矩形的一半， = ；所以： ；
