1、2015-2016 学年浙江省绍兴一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.）1 （3 分）若全集 U=R，集合 M=x|x24，N=x| 0，则 M（ UN）等于（ ）Ax|x2 Bx|x 2或 x3 Cx|x32 Dx|2x32 （3 分）已知“命题 p：（xm） 23（xm） ”是“命题 q：x 2+3x40”成立的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为（ ）Am1 或 m7 Bm1 或 m 7C 7m1 D7m13 （3 分）已知 ba1，t0，如果 ax=a+t，那么 bx 与 b+t 的大小关系是（ ）Ab xb+t Bb
2、xb+t Cb xb+t Db xb+t4 （3 分）对两条不相交的空间直线 a 和 b，则（ ）A必定存在平面 ，使得 a，bB必定存在平面 ，使得 a，bC必定存在直线 c，使得 ac，bcD必定存在直线 c，使得 ac，bc5 （3 分）设点 A（1，0） ， B（2，1） ，如果直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点，那么 a2+b2（ ）A最小值为 B最小值为 C最大值为 D最大值为6 （3 分）已知函数 f（x）=sin（x） ，g（x）=cos（x+）则下列结论中正确的是（ ）A函数 y=f（x） g（x）的最小正周期为 2B函数 y=f（ x） g（x）的最大值为 2
3、C将函数 y=f（x）的图象向左平移 单位后得 y=g（x ）的图象D将函数 y=f（x）的图象向右平移 单位后得 y=g（x）的图象7 （3 分）若双曲线 上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP（O 为双曲线的中心）的对称点在 y 轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A B C D8 （3 分）已知关于 x 的方程|xk|= k 在区间k1，k+1上有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是（ ）A0k1 B0k C1k Dk1二、填空题（共 28 分.）9 （3 分）设复数 z 满足关系 zi=1+ i，那么 z= ，|z |= 10 （3 分）已知几何体的三视图（如图） ，
4、则该几何体的体积为 ，表面积为 11 （3 分）已知 = ，S 2015= 12 （3 分）若 展开式的各项系数之和为 32，则 n= ，其展开式中的常数项为 （用数字作答）13 （3 分）设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数 z= + （a0，b0）的最大值为 10，则5a+4b 的最小值为 14 （3 分）边长为 2 的正三角形 ABC 内（包括三边）有点 P， =1，求 的取值范围 15 （3 分）若实数 x，y 满足 2cos2（x+y1）= ，则 xy 的最小值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16 （8 分）在三角形 AB
5、C 中，A，B ，C 的对边分别为 a、b、c 且 b2+c2=bc+a2（1）求A；（2）若 ，求 b2+c2 的取值范围17 （10 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，侧棱 SA底面 ABCD，AD BC ，ABC=90 ，SA=AB=BC=2，AD=1M 是棱 SB 的中点（1）求证：AM面 SCD；（2）设点 N 是线段 CD 上的一点，且 在 方向上的射影为 a，记 MN 与面 SAB 所成的角为 ，问：a为何值时，sin 取最大值？18 （10 分）数列a n满足 a1=2，a n+1= （nN +） （1）设 bn= ，求数列b n的通项公式 bn；（2）设 cn= ，数列c
6、n的前 n 项和为 Sn，求出 Sn 并由此证明： S n 19 （10 分）已知椭圆 E： =1（ab0）的离心率为 ，其长轴长与短轴长的和等于 6（1）求椭圆 E 的方程；（2）如图，设椭圆 E 的上、下顶点分别为 A1、A 2，P 是椭圆上异于 A1、A 2 的任意一点，直线 PA1、PA 2分别交 x 轴于点 N、M，若直线 OT 与过点 M、N 的圆 G 相切，切点为 T证明：线段 OT 的长为定值20 （10 分）设函数 f（x）=alnxbx 2（x0） ；（1）若函数 f（x）在 x=1 处与直线 相切求实数 a，b 的值；求函数 上的最大值（2）当 b=0 时，若不等式 f（
7、x）m+x 对所有的 都成立，求实数 m 的取值范围2015-2016 学年浙江省绍兴一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.）1 （3 分） （2016 春 辛集市校级期中）若全集 U=R，集合 M=x|x24，N=x| 0，则M（ UN）等于（ ）Ax|x2 Bx|x 2或 x3 Cx|x32 Dx|2x3【分析】分别求出 M 与 N 中不等式的解集，根据全集 U=R 求出 N 的补集，找出 M 与 N 补集的交集即可【解答】解：由 M 中的不等式解得：x2 或 x2，即 M=x|x2 或 x2，由 N 中的不等式
8、变形得：（ x3） （x+1）0，解得：1x 3，即 N=x|1x3，全集 U=R， UN=x|x1 或 x3则 M（ UN）= x|x2 或 x3故选：B【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2 （3 分） （2010 黄冈模拟）已知“命题 p：（xm） 23（xm ） ”是“命题 q：x 2+3x40”成立的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为（ ）Am1 或 m7 Bm1 或 m 7C 7m1 D7m1【分析】分别求出两命题中不等式的解集，由 p 是 q 的必要不充分条件得到 q 能推出 p，p 推不出 q，即 q是 p 的真子集，根据两解集列出关
9、于 m 的不等式，求出不等式的解集即可求出 m 的范围【解答】解：由命题 p 中的不等式（xm ） 23（xm） ，因式分解得：（xm） （x m3）0，解得：xm+3 或 xm；由命题 q 中的不等式 x2+3x40，因式分解得：（x1） （x+4） 0，解得：4x 1，因为命题 p 是命题 q 的必要不充分条件，所以 qp，即 m+34 或 m1，解得：m 7 或 m1所以 m 的取值范围为：m1 或 m 7故选 B【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，考查学生掌握两命题之间的关系，是一道综合题3 （3 分） （2012 秋 杭州期中）已知 ba1，t 0，如果 ax=a+t，那么 bx
10、 与 b+t 的大小关系是（ ）Ab xb+t Bb xb+t Cb xb+t Db xb+t【分析】构造函数 f（m）=m xg（m ）=m+t ，在同一坐标系内作出两函数图象，通过图象解决【解答】解：构造函数 f（m）=m xg（m ）=m+t a1，t0，a x=a+ta1，x1在同一坐标系内作出两函数图象a x=a+t，即是说，两图象交点的横坐标为 a，若 ba1，则 f（b）g（b） ，即 bx b+t故选 A【点评】本题考查函数图象（幂函数、一次函数）及性质，不等式大小比较，利用了函数思想，数形结合的思想4 （3 分） （2012 湛江一模）对两条不相交的空间直线 a 和 b，则（
11、 ）A必定存在平面 ，使得 a，bB必定存在平面 ，使得 a，bC必定存在直线 c，使得 ac，bcD必定存在直线 c，使得 ac，bc【分析】根据空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的性质与判定，对各个选项依次加以判别，即可得到 B 项是正确的，而 A、C、D 都存在反例而不正确【解答】解：对于 A，若两条直线 a、b 是异面直线时，则不存在平面 使得 a 且 b 成立，故 A 不正确；对于 B，因为 a、b 不相交，所以 a、b 的位置关系是平行或异面：当 a、b 平行时，显然存在平面 ，使得 a 且 b 成立；当 a、b 异面时，设它们的公垂线为 c，在 a、b
12、 上的垂足分别为 A、B则经过 A、B 且与 c 垂直的两个平面互相平行，设过 A 的平面为 ，过 B 的平面为 ，则 ，且 a、b 分别在 、 内，此时存在平面 ，使得 a 且b 成立故 B 正确；对于 C，若两条直线 a、b 是异面直线时，则不存存在直线 c，使得 ac 且 bc 成立，故 C 不正确；对于 D，当 a、b 所成的角不是直角时，不存在直线 c，使得 ac 且 bc 成立，故 D 不正确综上所述，只有 B 项正确故选：B【点评】本题给出空间直线不相交，要我们判定几个命题的真假性，考查了空间直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系等知识，属于基础题5 （3 分
13、） （2014 北京模拟）设点 A（1，0） ，B（2，1） ，如果直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点，那么 a2+b2（ ）A最小值为 B最小值为 C最大值为 D最大值为【分析】由题意得：点 A（1 ，0） ，B（2，1）在直线 ax+by=1 的两侧，那么把这两个点代入 ax+by1，它们的符号相反，乘积小于等于 0，即可得出关于 a，b 的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，结合线性规划思想求出 a2+b2 的取值范围【解答】解：直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点，点 A（1，0） ，B（2，1）在直线 ax+by=1 的两侧，（a1） （2a+b 1）0
14、，即 或 ；画出它们表示的平面区域，如图所示a2+b2 表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点 O 到直线 2x+y1=0 的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，d= ，那么 a2+b2 的最小值为：d 2= 故选 A【点评】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、函数的最值及其几何意义，是基础题准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键6 （3 分） （2015 秋 越城区校级期中）已知函数 f（x）=sin（x ） ，g（x）=cos（x+）则下列结论中正确的是（ ）A函数 y=f（x） g（x）的最小正周期为 2B函数 y=f（ x） g（x）的最大
15、值为 2C将函数 y=f（x）的图象向左平移 单位后得 y=g（x ）的图象D将函数 y=f（x）的图象向右平移 单位后得 y=g（x）的图象【分析】将 f（x） ，g（x）化简，得 f（x）=sin（x ）=sinx，g（x）=cos（x+ ）=cosx，再对 4 个选项逐一判断即可【解答】解：由题意得 f（x） =sin（x）=sinx ，g（x） =cos（x+）= cosx，A，y=f（x） g（x）= sin2x，最小正周期是 ，故不正确B，y=f（x）g（x）= sin2x，最大值为 ，故不正确C，f（x）=sin（x）= sinx=sin（x+ ）= cosx=g（x） ，故正确
16、D，f（x）=sin （x ）=sinx=sin （x ）=cosx，故不正确故选：C【点评】本题主要考察函数 y=Asin（x+）的图象变换，三角函数的化简与应用，属于基础题7 （3 分） （2015 赫章县校级模拟）若双曲线 上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP（O 为双曲线的中心）的对称点在 y 轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A B C D【分析】由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可根据双曲线方程，设其上一点 P 的坐标为 P（，btan ） ，其中为 锐角，求出直线 OP 方程：y= x设右焦点 F（c，0）关于直线 OP 的对称点为 Q（x 1，y 1） ，根据
17、点关于直线对称的知识，列方程组并化简消去 y1，可得 因为不存在点 P 使得对称点 Q 在 y 轴上，所以不存在 ，使 x1=0 满足该方程，讨论这个方程解的情况，得 ，可得 c22a 2，离心率满足 得到正确答案【解答】解：由于双曲线得对称性，只讨论第一象限即可设双曲线位于第一象限内一点 P 的坐标为（ ，btan） ，其中为 锐角，直线 OP 的斜率为 k= = ，可得直线 OP 方程为 y= x，设右焦点 F（c，0）关于直线 OP 的对称点为 Q（x 1，y 1） ， ，消去 y1 得： （*） ，接下来讨论方程（*）的根的问题，当 x1=0 时， ，将此方程进行变量分离，得：0sin
18、 21而根据题意，不存在点 P 使得对称点 Q 在 y 轴上，所以不存在 ，使 x1=0 满足（*）式成立综上所述，可得 ，即 ，可得 c22a 2，离心率双曲线中，ca离心率 e1，可得 故选 C【点评】本题给出双曲线上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP（O 为双曲线的中心）的对称点在 y 轴上，求双曲线离心率的取值范围，着重考查了双曲线的简单性质和点关于直线对称等知识点，属于中档题8 （3 分） （2015 株洲一模）已知关于 x 的方程|x k|= k 在区间k 1，k+1上有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是（ ）A0k1 B0k C1k Dk1【分析】|xk| =
19、k 可化为 x2（2k+ k2）x+k 2=0；从而由方程的根求解【解答】解：由题意，|xk| = k 可化为x2（ 2k+ k2） x+k2=0；故 ；解得，0k8；再由（k+1） 2（ 2k+ k2） （k +1）+k 20，得0k1；此时，k 20；故选 A【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的联系与应用，属于基础题二、填空题（共 28 分.）9 （3 分） （2015 秋 越城区校级期中）设复数 z 满足关系 zi=1+ i，那么 z= +i ，|z|= 【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解，以及复数的模的求法求解即可【解答】解：复数 z 满足关系 zi=1+ i，可得 z=
20、 = = +i|z|= = 故答案为： +i； 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力10 （3 分） （2015 秋 越城区校级期中）已知几何体的三视图（如图） ，则该几何体的体积为 ，表面积为 4 +4 【分析】根据三视图分析可知，该几何体为一底面边长为 2 的正四棱锥，其高 h= = ，即可求出几何体的体积、表面积【解答】解：根据三视图分析可知，该几何体为一底面边长为 2 的正四棱锥，其高 h= = ，体积 V= = ，表面积 S=4 +4=4 +4故答案为 ；4 +4【点评】本题考查利用三视图求体积、表面积，考查学生的计算能力，属于中档题11 （3 分）
21、（2015 秋 越城区校级期中）已知= 5 ，S 2015= 15 【分析】根据题意推知数列a n（n7）是周期为 3 的周期数列，由此进行解答【解答】解：a1=1，a 2=2，a 3=3，a 4=4，a 5=5，a 6=6，a7=a4=4，a 8=a5=5，a 9=a6=6，a10=a4=4，a 11=a8=a5=5，a 12=a9=a6=6，a13=a4=4，a 14=a8=a5=5，a 15=a9=a6=6，数列a n（n7）是周期为 3 的周期数列，2015=6713+2，a 2015=a5=5S 2015=a1+a2+a3+a2010+a2011+a2013+a2014+a2015，
22、=a1+a2+a3a4+a5+a6a4+a5，=1+2+34+5+64+5，=15故 a2015=5S 2015=15故答案为 5；15【点评】本题考查了数列递推式、数列的周期性，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题12 （3 分） （2008 北京）若 展开式的各项系数之和为 32，则 n= 5 ，其展开式中的常数项为 10 （用数字作答）【分析】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即 n=5；将 5 拆分成“前 3 后 2”恰好出现常数项，C 52=10【解答】解：展开式的各项系数之和为 322 n=32 解得 n=5展开式的通项为 Tr+1=C5rx105r当 r=2
23、 时，常数项为 C52=10故答案为 5，10【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误，二项式的考题难度相对较小，注意三基训练13 （3 分） （2016 春 湖北期末）设 x，y 满足约束条件 ，若目标函数z= + （a0 ，b0）的最大值为 10，则 5a+4b 的最小值为 8 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出 a，b 的关系，然后利用基本不等式求5a+4b 的最小值【解答】解：由 z=ax+by（a 0，b0）得 y= ，作出可行域如图：a0，b0，直线 y= 的斜率为负，且截距最大时，z 也最大平移直线 y= ，由图象可知当 y= 经过点 A 时，直线的截距最大，此时 z 也最大由 ，解得 ，即 A（4，5） 此时 z= + =10，即 + =1，
