第八章 采样系统.ppt

1、第八章 采样控制系统81 采样控制系统的基本概念,在此以前所讨论的控制系统，系统中的物理量都是时间的连续函数(即在任意时间的瞬时，都有对应的物理量值，这种物理量称为连续量或摸拟量)，这样的系统也称为连续控制系统或模拟控制系统。但在人类活动威生产过程中，也有这样的物理量，它虽是时间函数，但只有在特定时刻才有对应的物理量值，这样的物理量称为时间的离散量。离散量可以是自然产生的，如炼钢炉的钢产量，只有在出炉时间才有量值，而在炼制时就没有量值，也可以人为产生的，如电表测量的是摸拟量，而定时抄录的电量值就是离散量，这种定时抄录称为采样，由此得出的量值叫采样值。离散量又可分为两种，一种是随意的脉冲量，一种

2、是经量化的有规则的数码或称数字量。控制系统中只要有一个以上的物理量是离散量，就称这个系统为离散系统或采样控制系统，有时候把离散量是数字量的系统称为数字控制系统。,典型的采样控制系统方框图如图81所示。其中，误差e是时间的连续信号，经过采样时间为T的采样开关之后，变成一组脉冲序列e*，脉冲控制器将离散的误差信号处理后，得到离散的控制信号，该信号经保持器变换为连续信号去控制被控对象。采样开关每隔时间T开闭一次，每次闭合时间为，则称T为采样周期，为采样时间，,T，f s1/T，s2/T分别成为采样频率和采样角频率。这样图8-2 a所示模拟量e被采样后变成了图8-2 b所示的脉冲序列e*。本图中，采样

3、周期T是固定的，我们称为等周期采样，另外还有多阶采样、多速采样、及随机采样等，本书只介绍常用的等周期采样。,从图中可以看出，采样后为脉冲序列，每个脉冲之间有一段无信号的时间间隔，在这段时间内系统工作在开环状态。若常用周期T过大，则包含在被采样信号中的大量信息将因采样而丢失，因此T是越小越好，但是T过小，若脉冲控制器的运算速度不够高的话，就会造成系统严重失真，甚至不稳定。因此保证系统不严重失真而允许的最大采样周期，是一个采样系统首先要解决的问题。下面我们就介绍解决这一问题的采样定理。8-2 采样定理 前节已经提到过，连续信号e经采样后的离散信号e*为一脉冲序列。如果采样所得的脉冲序列的脉冲持续时

4、间极短，以至远小于采样周期及系统连续部分的时间常数，那么就可以认为趋近于零。在这种情况下，采样过程可看成一个理想单位脉冲序列发生器对模拟信号的脉冲调制过程。设单位脉冲序列发生器产生的单位脉冲序列T（t）如图83所示，则T（t）的数学表达式为,式中 T采样周期n整数 脉冲调制器（采样器）的输出信号e*(t)可表示为,在控制系统中，当t0时。e（t）0。因此式（8-2）可以改写为对式（8-3）取拉氏变换得,为了建立 与E(s)的关系，可求周期函数T（t）的富氏级数，其复数形式为 式中 富氏系数 这样，式（8-2）可以写成下式 对上式的两边前拉氏变换，并由拉氏变换的复数位移定理可得 式（8-7）表明

5、 是s的周期性函数。通常 的全部极点均位于s平面的左半平面，因此，将sj代入式（8-7），则可以得到e*(t)的频谱，即,该式反映了离散信号频谱与对应连续信号频谱之间的关系。设连续信号频谱为有限带宽频谱，其最大频率为m，如图8-4所示。则采样后离散信号的频谱如图8-5所示，离散信号的频谱中，n0的部分称为主频谱，它与连续信号频谱是对应的，另外， 还包含了无穷多个高频频谱，如果采样频率s2m，则 的主频谱与高频频谱之间互不重叠，如图8-5a所示，因此，可以通过图中虚线所示的低通滤波器，滤掉所有的高频频谱，只保留主频谱，从而，可以将离散信号不失真地还原为原来的连续信号。,如果采样频率s2m，如图8

6、-5b所示，主频谱与附加高频频谱出现相互重叠时的情况。在这种情况下，就不可能利用滤波方法来无畸变地复现采样前的连续信号了。从上面的分析可知，采样系统为了能使采样后的信号得到复现，从而确保控制精度，应该使采样频率大于两倍连续信号频谱中的最高频率，这就称为采样定理。采样定理的物理意义是，采样频率越高，就是采样周期越小，故采样越细密，采样的精度就越高，就能充分反映连续信号变化的所有信息，因此就可以按要求复现。反之，采样频率低，不能反映信息的全部变化情况，即由于在两个采样时刻之间的连续信号变化较大，而这种变化未能在采样信号中得到反映，故就不能按一定精度复现原连续信号。需要指出，实际的非周期函数，其频谱

7、中的最高频率是无限的，不过由于高频分量的幅值不大，因此通过低通滤波后的信号基本上能复现。,在这种情况下，选择采样频率所依据的最高频率怎么确定呢?一般可先不考虑采样开关，按连续系统绘出开环波得图，取A（）0.01，即 时的频率为最大频率m，则采样周期T为,这样选取采样周期，连续信号的信息损失几乎为零，故可将采样系统看成连续系统来分析，其结果非常近似。当然，若数字控制器的运算速度较慢，也可按m10c（甚至更低，c为剪切频率）来确定采样周期，但是，这样有可能使信号失真严重，系统性能指标变差，因此，要用采样系统分析方法仔细分析、校正，才能使系统到达较好的性能指标。8-3 采样信号的复现 连续信号经采样

8、和运算后，输出为一串脉冲信号，如果不把这串脉冲信号复现成连续信号，则将给系统带来严重失真，系统性能指标发生很大改变，特别是系统的快速性会大幅,低。因此，要想完整地复现采样信号，就必须在满足采样定理的条件下，通过图8-5a中虚线所示理想滤波器将采样信号频谱中的附加高频频谱分量去掉。就可不失真的再现连续信号。当然理想滤波器实际上是不存在的。因此，在工程上通常用具有低通滤波特性的零阶保持器来近似代替。,零阶保持器是采用恒值外推的工作方法，它把前一个时刻nT的采样信号e(nT)不增不减地一直保持到下一个采样时刻（n+1）T，从而使采样信号变成阶梯信号，如图86所示。,由图可见，再现出的信号与原连续信号

9、是有较大差别的，它包含着高次谐波。若将梯形输出信号各中点连接起来，可得到一条比原连续信号迟后T/2的曲线，据此可以直观地看出零阶保持器的迟后特性。,为了以后分析的需要，现推导出零阶保持器的传递函数和频率特性。零阶保持器的单位脉冲响应函数为 由于单位脉冲响应的拉氏变换就是传递函数，故对上式取拉氏变换可得零阶保持器的传递函数为 零阶保持器的频率特性为,绘出零阶保持器的频率特性如图8-7所示，其幅值随频率增高而衰减，因此它是一个低通滤波器。但不是理想滤波器，它除了允许主频谱通过以外，还通过了一部分高频分量。因此，零阶保特器所复现的信号并不是毫无畸变的，另外，从相频特性上可以看到，零阶保持器还会产生相

10、位滞后。因此，零阶保持器的引入会给系统的稳定性带来不利的影响。除了零阶保持器以外，还可以有一阶、二阶等保持器，但由于它们实现起来比较复杂，相位滞后比零阶保持器更大，故很少应用。 采样信号通过零阶保持器后高频分量已大大降低，又考虑到控制对象一般都具有低通滤波特性的作用，致使采样带来的高频分量对系统输出的影响很小。另外，若sm，则采样信号的高频分量集中在保持器幅值近似为零的ns（n1、2）附近，如图8-7虚线所示，这样，采用信号的高频分量也将被大幅衰减。也就是说，图8-6中矩形脉冲越多，还原出来的信号与原信号误差越小，相位迟后也越小。,另外，从式（8-7）可以知道，采样后连续信号幅值被乘以1/T，

11、若不加零阶保持器则计算结果将与实际系统不符。加入零阶保持器后连续信号幅值被乘以T，正好和采样引起的幅值变化相抵消，即系统的等效开环放大倍数不变。由于当今计算机的价格已经较低，且运算速度很快，所以工业数字控制系统均采用计算机作为脉冲控制器，其数/模转换电路就相当于一个零阶保持器，而模/数转换电路就相当于一个采样开关。计算机控制系统可以取较大的采样频率s，故能很好地复现连续信号，使系统具有优良的性能指标。另外，计算机控制系统集成度很高，从而提高了系统的可靠性，因此，计算机控制系统作为采样控制系统的主流被广泛应用于各种自动化设备之中。84 差分方程和Z变换,一、差分方程 n阶线性连续系统被采样离散化

12、后，系统的数学模型可用n阶差分方程来描述，即式中 n系统阶数k第k个采样周期。,已知采样系统的差分方程和初始条件 ，则可用迭代法求得差分方程的时间解。,例如，积分环节 在r(t)=1(t)时的输出 c(t)=t，如图所示。采样后的差分方程为：迭代出差分方程的解为：结果模拟信号采样的结果一样。,但是，采样一般系统的差分方程是很难求得的，用迭代法求得的差分方程的时间解又是脉冲序列，故直接用差分方程分析采样系统是非常不方便的，通常是将连续系统离散化后，对传递函数进行Z变换，求出脉冲传递函数及输出量的Z变换，再用Z反变换的方法可求得采样系统输出的时间解。必要时也可由脉冲传递函数求得采样系统的差分方程。

13、,下面先介绍Z变换及Z反变换。,二、Z变换的定义 Z变换是拉氏变换的一种变形，是由采样信号的拉氏变换演变而来的。82中式（8-4）给出的采样信号的拉氏变换为引入新的变量z，并令zeTS代入上式就得到采样信号e*(t)的Z变换E(z)为式中 z是用复数z平面来定义的一个复变量，T为采样周期。上式就是Z变换的定义。三、Z变换的求取 Z变换的求取方法有：级数求和法、部分分式法及留数计算法等，其中以部分分式法最常用。,例8-1 求单位阶跃函数的Z变换。 解 设e(t)=1(t)，则Z变换E(z)为这是一个等比级数， 时，级数收敛，因此上式可以写成闭合形式用这样的级数求和的方法可以求出典型函数的Z变换，

14、如表8-1所示。表8-1典型函数的Z变换,若函数是以拉氏变换形式E(s)给出的，则可用部分分式法将E(s)分解成多个典型函数拉氏变换的代数和的形式，然后再查对表8-1，求出Z变换。,四、Z变换的基本定理 与拉氏变换一样，Z变换也有几个基本定理，熟悉这些基本定理，可以更加方便地应用Z变换。 1.线性定理 2.迟后定理 设e（t）的Z变换为E（z），则有,迟后定理说明，原函数在时间域中延迟k个采样周期，相当于其Z变换乘以 。,3.终值定理 设e（t）的Z变换为E（z），且 在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有4.初值定理 设e（t）的Z变换为E（z），且 存在，则有5.超前定理 设e（t）

15、的Z变换为E（z），则有,若初始条件 ，则超前定理可表示为6.复数偏移定理 设e（t）的Z变换为E（z），则有7.卷积和定理 设 则有 式中,当n为负数时，,例8-2 求 对应时间函数的Z变换。解,查表8-1得例8-3 用Z变换求积分环节 的差分方程。 为使信息不丢失，需加保持器，即：结果与前面直接求的差分方程一样。,五、Z反变换 和拉氏反变换类似，Z反变换可以表示为Z反变换的方法有，长除法、部分分式法及留数计算法等，其中以部分分式法最常用。 例8-3 用部分分式法求 的Z反变换。 解 用部分分式法将E（z）展开为 式中 c1、c2为待定系数，由于典型函数的Z变换的分子上均有一个z（脉冲函数除

16、外），所以展开时保留分子上的z。查表8-1，并由线性定理得Z反变换为,例8-4 用长除法求 的Z反变换。,解 用长除法求得对上式取Z反变换为结果与例8-3一样。,从上例看出，长除法求Z反变换非常简单、方便，但是，求出的是离散函数的脉冲序列，要得到离散函数的闭合形式是比较困难的。85 脉冲传递函数 一、基本概念 在线性连续系统理论中，把初始条件为零的情况下系统输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比，定义为传递函数。,与此相类似，在线性采样系统理论中，把初始条件为零的情况下系统的离散输出信号的z变换与离散输入信号的z变换之比，定义为脉冲传递函数，或称z传递函数。它是线性采样系统理论中的

17、一个重要概念。,对于图8-8所示的采样系统，脉冲传递函数为,如果已知系统的脉冲传递函数和输入量的Z变换，由上式可求出采样系统的离散输出信号为 在实际上，许多采样系统的输出信号是连续信号，在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，可以在输出端虚设一个采样开关，并令其采样周期与输入端采样开关的相同。,二、采样系统的开环脉冲传递函数讨论采样系统的开环脉冲传递函数时，应该注意图89中所示的两种不同的情况。在图89a所示的开环系统中，两个串联环节之间有采样开关,脉冲传递函数可由下式求得 即系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应g (t)，经过采样后的离散信号g*(t)的z变换。又由于单位脉冲响应g (

18、t)等于传递函数G（s）的拉氏反变换，故可根据部分分式法直接由 G（s）求出系统的脉冲传递函数G（z）。,存在，这时,X(z)G1(z)R(z) C(z)=G2 (z) X(z)=G2 (z)G1(z) R(z) 由此可得G(z)=C(z) / R(z)=G1(z)G2 (z) 上式表明，有采样开关分隔的两个环节串联时，其脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传递函数之积。上述结论可以推广到有采样开关隔离的n个环节串联的情况。 在图89b所示的系统中，两个串联环节之间没有采样开关隔离。这时系统的开环脉冲传递函数为 G(z)=C(z) / R(z)=ZG1(s) G2 (s)G1G2 (z) 请读者注意

19、，脉冲传递函数书写方式的区别，G1(z)G2 (z) 表示两个环节分别被采样开关隔开，必须先求各自的Z变换，然后再相乘；G1G2 (z)表示两个环节没有被采样开关隔开，必须先将两个环节的传递函数相乘，然后再求Z变换。通常，G1(z)G2 (z) G1G2 (z)。,例8-5 设在图8-9中 。求系统的开环脉冲传递函数。 解 图8-9a所示系统的开环脉冲传递函数为图8-9b所示系统的开环脉冲传递函数为显然，有无采样开关隔开其结果是大不一样的。 三、采样系统的闭环脉冲传递函数 在采样控制系统中，由于采样器的设置方式是多样的，因此闭环系统的结构形式也不统一。比较常见的系统结构之一如图8-10所示。图

20、中输出端的采样开关是为了便于分析而虚设，由图可知，误差的Z变换为,以误差 的采样信号为输入量，可以得 到反馈量B（s）为故反馈量的Z变换为将上式代入式（8-26）整理得,仿照连续系统，把e（z）称为误差脉冲传递函数。 又因系统的输出为,将式（8-27）代入上式可得系统脉冲传递函数为综上所述，采样系统方框图的等效变换方法与连续系统一样，只是要注意各环节被采样开关分隔的情况，若输入量与前向通道某环节之间无采样开关，则脉冲传递函数不能写成式（8-28）那样的形式，而只能写成输出量Z变换的形式。,例8-6 求图811所示系统的脉冲传递函数。解 前向通道中，R(s)与G1（s）之间无采样开关，必须先相乘

21、,后取Z变换，反馈环中，G3（s）、H (s)、G1（s）之间无采样开关，也必须先相乘后取Z变换，故求得系统输出量的Z变换为,86 采样系统的性能分析 分析采样传统性能指标时，应注意两点，第一，若无零阶保持器，则必须将开环放大倍数乘上采样周期T，再进行分析，因为，采样后相当于开环放大倍数除了一个T，乘上一个T后才能抵消这一影响，使计算结果与实际结果一致。第二，若无零阶保持器，除了将开环放大倍数乘上T外，还必须满足nm2（n、m传递函数分母、分子阶数），这样才能避免信号在采样点前后的跳变，否则计算结果将与实际结果相差很大。 一、采样控制系统的稳态误差 连续系统稳态误差的分析方法可以推广到采样系统

22、中来，只是拉氏变换与Z变换的终值定理有所不同，其方法有些不同而已。 对于图8-10所示采样系统，误差的定义与连续类似，即误差等于输入量减反馈量，式（8-27）已经给出了误差脉冲传递函数，即,当采样系统为l型系统，即GH(z)中包含一个积分环节时，GH(z)具有一个z1的极点，这时，Kp，esr0。,设闭环系统稳定，根据Z变换的终值定理可以求出在输入信号作用下采样系统的稳态误差终值 上式表明，采样系统的稳态误差决定于系统的脉冲传递函数GH(z)和输入信号的形式。 下面讨论三种典型输入信号的情况 1.输入信号为单位阶跃函数 ，代入式（8-29），得 为系统的位置误差系数。,2.输入信号为单位斜坡信

23、号 ，代入式（8-29），得为系统的速度误差系数。,为系统的加速度误差系数。当采样系统为0和1型系统时， Kv0，esr。,当采样系统为0型系统，即GH(z)中不包含一个积分环节时，GH(z)没有z1的极点，这时，Kv0，esr。 当采样系统为2型系统，即GH(z)中包含两个积分环节时，GH(z)有两个z1的极点，这时，Kv，esr0。 3.输入信号为单位抛物信号 ，代入式（8-29），得,二、采样控制系统的稳定条件 下面通过Z反变换直接求出采样系统输出信号的采样信号来分析采样系统的性能。 设采样系统的闭环脉冲传递函数为设闭环脉冲传递函数的极点为i （i=1、2、n，假设无重极点）。设输入为单

24、位阶跃函数，即 ，代入式（8-33）并用部分分式法展开，得到输出的Z变化为对上式进行Z反变换得系统输出的采样信号为,上式中，第一项为系统输出采样信号的稳态分量，与系统暂态性能及稳定性无关。第二项为系统输出采样信号的暂态分量，该项与系统暂态性能及稳定性密切相关。随时间的增长暂态分量趋于零采样系统稳定，因此，闭环极点i在Z平面的位置决定了系统的暂态性能及稳定性。随着k趋于无穷大，若所有闭环极点的模|i|1，则暂态分量趋于零，系统稳定。反之，只要有一个极点的模|i|1，则暂态分量不可能趋于零，系统不稳定。若|i|1，系统处于临界稳定。 另外，由第三章中已知，线性连续系统稳定的充分和必要条件是系统特征

25、方程的所有根都位于s平面虚轴的左半部，即都具有负实部。 我们知道Z变换是拉氏变换的变形，即对线性采样系统进行了拉氏变换以后，令 ，因此要用Z平面分析系统的稳定性，首先要弄清这两个复平面的映射关系。 如图8-12所示，S平面的虚轴为sj，对应的复变量 ，即S平面的虚轴对应于Z平面上圆心在坐标圆点的单位圆。在S平面的左半平面上的任意一点其实部均小于零，即,sj（0）, 对应的复变量 ，其幅值 。因此，S平面的左半平面相当于Z平面上圆心在坐标圆点的单位圆的内部。,设采样系统的闭环脉冲传递函数为相应的特征方程式为1十GH(z)0 系统特征方程式的根1 ，2 ，n 。即为闭环脉冲传递函数的极点。 根据以

26、上的分析可知，闭环采样系统稳定的充分和必要条件是，系统特征方程的所有根（即闭环脉冲传递函数的极点）均位于Z平面上以原点为圆心的单位圆之内。,三、采样控制系统的暂态性能 像连续系统一样，对于高阶系统首先要确定对系统性能影响最大的主导极点，显然,|i|越小，即极点越靠近Z平面的坐标原点，衰减越快，对系统性能影响越小，故可忽略不计。|i|越靠近单位圆，衰减越慢，对系统性能影响越大，故可视为主导极点。 1.主导极点i为正实数(0i1) 系统近似为一阶系统，系统的单位阶跃响应为单调上升的脉冲序列，无超调量。 2.主导极点i为负实数(1i0) 系统的单位阶跃响应为衰减振荡的脉冲序列，系统出现超调量。 3.

27、主导极点i为共轭复数 系统的单位阶跃响应为衰减的正弦振荡脉冲序列，系统出现超调量。 以上只是定性的分析，若要求定量的指标，可按式（8-34）绘图计算。,四、采样控制系统的根轨迹知道采样系统的闭环极点就可通过Z反变换对系统进行分析，但是，一般我们只知道开环零、极点，因此可用根轨迹法求取闭环脉冲传递函数的闭环极点。,设采样系统的闭环脉冲传递函数为相应的特征方程式为1十GH(z)0 从形式上看与连续系统是一样的，故可直接使用前面介绍过的根轨迹的绘制方法绘制采样系统的根轨迹，当然，绘制是根据开环脉冲传递函数来进行的，绘出的根轨迹也是Z平面上的根轨迹。,五、双线性变换（W变换 ） 除了上面介绍的稳态误差

28、分析、时域分析和根轨迹法可以直接使用脉冲传递函数进行分析外，劳斯判据、频率特性法均不能直接用于线性采样系统。因为劳斯判据只能判断系统特征方程式的根是否在复平面虚轴的左半部，而频率特性分析的许多结论和方法也都是在s平面中总结出来的，如乃氏回线，就是包围S平面左半平面的封闭曲线。因此，必须采用一种变换方法，使Z平面上的单位圆映射为新坐标系的虚轴。这种坐标变换称为双线性变换，又称为W变换。,根据复变函数的双线性变换方法，设上式中z和w均为复变量。可以用下式表示,结合式（8-35）可得对于W平面的虚轴，实部u0，即 , 这就是Z平面上以坐标原点为圆心的单位圆方程。而单位圆内 ，对应于W平面实部u0的左

29、半平面，因此，经过,W变换后，Z平面的单位圆内又变成了W平面的左半平面。如图8-13所示。将 （也可以令 ）代入脉冲传递函数或脉 冲特征方程就可运用劳斯判据判断采样系统的稳定性，以及运用频率特性法分析性能（当然，得到的性能指标是W域的，它与时域指标只能是一种定性的关系，定量的关系是比较难以求得的）。,87 采样系统的校正 一、采样系统的校正的基本概念 在设计采样控制系统的过程中，为了满足对系统性能指标所提出的要求，常常需要对系统进行校正。 与连续控制系统类似，采样系统的校正装置按其在系统中的位置可以分为串联校正装置与反馈校正装置，按其作用可以分为相位超前校正与相位迟后校正。与连续系统不同的是，

30、采样系统中的校正装置不仅可以用模拟电路来实现，而且也可以用数字程序来实现。 从前面几节的介绍可知，用于连续系统的校正方法，在经过一些变换后都可以推广应用到采样控制系统中来。但是，若校正装置是模拟电路，则必须将其放在保持器后，这样保持器、校正装置、被控对象三个环节的传递函数需先相乘再取Z变换，故不能将校正环节的脉冲传递函数分离出来，因此，在实际进行校正时，只能用试探法， 即选择一个校正环节传,递函数Gc(s)，进行一次校正，校验校正结果，若不能满足要求，则再另选一个校Gc(s)，直至得到比较满意的结果为止。显然，这是很困难的。实际上，经常采用一些近似的方法来进行系统的校正。比如，当采样频率比较高

31、，可以考虑近似地把采样器和零阶保持器忽略掉。这样，就可以把采样系统当作连续系统来进行校正。然后再用采样系统分析的方法进行校验。即使这样要校正成功也是不容易的。因此，采样系统的校正通常采用下面介绍的数字校正。,二、采样系统的串联数字校正设采用串联数字校正装置的采样控制系统的方框图如图814所示，图中D(s)为数字校正装置，其信号为数字离散信号，故可认为D(s)的前后均有采用开关。因,此开环脉冲传递函数为G(z)D(z)GhG0(z)，其W变换为G(w)D(w)GhG0(w)，在W域的波德图等于校正环节的波德图与原有环节的波德图相叠加，故可仿照连续系统在波德图上进行校正，具体步骤如下,1.求出校正

32、前系统的开环脉冲传函GhG0(z)，并进行W变换得GhG0(w)。 2.令wjw代入GhG0(w)，并画出GhG0(jw)的波德图， 3.根据伯德图确定未校正系统的性能指标，如相角裕量和剪切频率等。 4.根据给定的性能指标，确定校正装置在W域的传递函数D(w)。 5.校验已经校正后的系统的性能指标。 6.若满足了给定指标，则进行W反变换，将D(w)转换成D(z)。否则返回到4，重新选择D(w)。 7.实现D(z) 下面举例说明。,例87设在图814所示的系统中 ， 采样周期T0.5s。试求串联数字校正装置，使系统在w域的相角裕度50，幅值裕度16dB。,解 未校正前采样系统的开环脉冲传递函数为

33、,令 代入上式，可得,由于上式中有一个正的零点，故其幅频与相频特性不能像最小相位系统那样有对应的关系。,因此，必须分别绘出幅频与相频特性，如图8-15曲线1所示，其相角裕量仅为8左右。故使用迟后校正，得到校正环节在W域的脉冲传递函数为校验得知满足系统要求。将 代入上式，即对上式进行W反变换，得上式即为所求校正环节的脉冲传递函数。三、数字校正的实现程序 由于计算机用迭代法解差分方程是非常容易的，所以，只要将校正环节的脉冲传递函数D(z)转换成差分方程就可以编出数字校正的实现程序了。 设要实现的校正环节的脉冲传递函数D(z)为,将上式改写为设初始条件为零，对上式求Z反变换可得校正环节的差分方程为

34、上式就是计算校正环节输入量e1*(t)经校正后其输出量e2*(t)的计算公式。根据这个公式很容易就可编出校正计算程序了。同样，若校正环节数学模型为传递函数Gc(s)，则只需将Gc(s)取Z变换并展开成式（8-36）的形式，就可按式（8-37）实现数字校正。,例8-7中，则可得校正环节的差分方程为：,采用数字PID加控制量限幅控制可以方便地进行采样系统的校正，并且控制效果非常好。,四. 数字PID加控制量限幅控制采样控制系统由于在两次采样之间的输出状态变化不能得到及时的调整，因此单一的PID控制很难达到满意的控制效果，并且PID参数的整定也较困难，因此引入非线性的限幅控制，控制量U的算法为： U

35、KPe1KIeKD（e1e0）/T,校正的步骤如下： a.根据稳态误差要求确定开环放大倍数K，由K=KpK0求出比例系数Kp。平稳性不满足时，减小Kp，增大KI。 b.增大微分系数Kd，使系统响应曲线尽可平滑，振荡次数尽可能少。 c.降低控制量最大输出值，使系统超调量指标满足要求。,例8-12带零阶保持器的单位反馈采样系统，被控对象传递函数为： 。采样周期T=0.1。要求对单位斜坡输入的稳态误差1/40。暂态性能指标尽可能好。进行校正。 解：a.校正前，运行仿真软件得系统响应曲线如图8-25，系统超调量64%。根据稳态误差要求取Kp4。系统超调量100%。 b. 增大微分系数Kd，当Kd1.5

36、时系统振荡次数仅为一次。 c.降低控制量最大输出值，取Um1时，系统超调量指标满足要求。再微调各参数取：Kp5、KI0、Kd1.3、Um1.5时，,系统的超调量0.4，调节时间ts0.6s。单位斜坡输入时的稳态误差1/50。校正成功。,五、最少拍采样控制系统的校正 人们通常把采样过程中的一个采样周期称为一拍。若在典型输入信号的作用下，经过最少采样周期，系统的采样误差信号减少到零，实现完全跟踪，则此系统称为最少拍系统，又称最快响应系统。 下面结合图8-14所示的采样控制系统进行讨论，此系统的误差脉冲传递函数为式中G(z)GhG0(z)。 当典型输入信号分别为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位加速度

37、信号时，其Z变换分别为由此可得典型输入信号的Z变换的一般形式为,A(z)是与典型输入信号对应的z1的多项式。根据Z变换的终值定理，采样系统的稳态误差终值为要使系统在最少拍内达到无稳态误差，可令由式（8-38）解出校正环节的脉冲传递函数D(z)为,这就是把采样系统校正成最少拍系统的校正环节脉冲传递函数D(z)的计算公式，式中根据输入信号是单位阶跃信号、单位斜坡信号还是单位加速度信号分别取1、2、3。根据式（8-42）和（8-37）就可编出最少拍数字控制程序。,校正后的闭环脉冲传递函数为：,对于开环脉冲传递函数含有z平面上单位圆上或单位圆外的零极点（不稳定零极点）的系统，为使校正后的系统闭环稳定，

38、一般先设计出期望的闭环脉冲传递函数，然后再求出对应的校正环节脉冲传递函数D(z)。 由式（8-42）和（8-43）可得：为了使系统闭环稳定及D(z)便于实现，可以用闭环脉冲传递函数G(z)中的零点来消去GH(z)中的不稳定零点；用误差脉冲传递函数 中的零点来消去GH(z)中的不稳定极点.,例8-12设单位反馈采样控制系统中的被控对象和零阶保持器的传递函数分别为：系统采样周期T0.2s，试求在单位阶跃输入实现最少拍控制的数字控制器和响应曲线。 解：系统的开环脉冲传递函数为：设,这样才能消除GH(z)中的不稳定零点（1+1.131z-1）,满足最少拍控制条件，并且方程有解，其中a1、a2是待定系数

39、，解得a10.469、a20.531。得将以上两式带入式（8-44）得,运行仿真程序，得到系统的阶跃响应曲线如图8-16所示，校正后性能大幅提高，几乎是在两拍内进入稳态。由于存在单位圆外的开环零点，进入稳态的时间有所增长。,最少拍设计只能在采样点上保证误差为零，有时在采样点之间会产生较大的波动。,例 8-12 设单位反馈采样控制系统中的被控对象和零阶保持器的传递函数分别为：； 系统采样周期T1s，试求在单位阶跃输入实现最少拍控制的数字控制器和响应曲线。解 开环系统的开环脉冲传递函数为：,校正环节脉冲传递函数为：,如果按采样点的输出值计算，则一拍就达到稳态值，但是实际输出值在采样点之间并不等于稳态值，其最大值达到了1.26，比没 有校正的1.045还大了许多，因此该例采用最少拍设计后，仅上升时间从3.3秒减小到了1秒，其他指标，如超调量、调节时间等反而变差了 。,