1、第七章 离散采样系统, 7.1 概述 7.2 计算机控制系统的组成及特点 7.3 信号转换 7.4 Z变换 7.5 Z变换的性质与定理 7.6 Z变换的求法 7.7 Z反变换 7.8 Z传递函数 7.9 离散系统的稳定性分析 7.10 线性离散系统的响应分析,概述,随着计算机的飞速发展，计算机参与各个控制系统已成了不争的事实，很多控制系统，特别是一些大型控制系统，都是由计算机进行控制的。计算机是以脉冲方式进行工作的，所以，在计算机控制系统中既包含了连续信号，又包含了离散信号，因此，计算机控制系统在具体的处理方法上，与经典的控制系统有着很多不同之处,计算机控制系统的组成及特点,1、计算机反馈控制
2、系统,所谓计算机反馈控制系统就是由计算机和自动化仪表装置与被控制对象连接而成的具有各种自动化功能的技术工程系统,计算机反馈控制系统的典型结构如下图所示：,从上图可以看出，整个系统有两部分组成控制计算机和被控对象,2、计算机控制系统的组成,在一个计算机控制系统里面，计算机是整个系统的核心，它是系统的信息处理和决策机构。除计算机以外，还有软件和硬件两部分组成,硬件部分,计算机控制系统的硬件主要由主机、外部设备、过程输入输出设备和广义被控对象组成，如下图所示：,软件部分,软件是计算机工作程序的总称，控制系统的很多功能是由软件来实现的，因此软件系统的优劣直接关系到硬件功能的发挥，甚至影响到整个系统的性
3、能。一般来说，软件有两部分组成系统软件和应用软件,信号转换,由于计算机控制系统同时存在着两类信号连续信号和离散信号，因此需要将这两者有机地采用某一工具将它们描述出来，深入分析它们在转换过程中内在的信息关系，给出处理离散信号在时间和复数域中的数学表达式，进而能够简便地对离散信号和离散系统进行描述，所有这些是计算机控制系统必须要解决的问题,A/D转换,所谓A/D转换，就是按照一定的时间间隔T抽取连续信号f(t)的瞬时值f(nT)，被抽取的连续信号瞬时值叫采样值，两个相邻采样值之间的时间间隔T称为采样周期，从而将模拟量转换成二进制的数字量，这样一个过程称为采样过程,A/D转换过程示意图,采样信号,所
4、谓采样就是利用定时器控制的开关，每隔一定的时间使开关闭合而取得的信号值，这样经过闭合就形成了一个信号的序列。在实际应用中，采样开关均为电子开关，其动作时间很短，可近似地认为理想的采样开关，所得到的采样信号序列如下式所示：,在上式中，其中， 满足如下关系式：,式中T为采样周期,采样调制示意图,采样定理,一个连续时间信号 ，设其频率带宽是有限的，其最高频率为 ，如果在等间隔点上对该信号 进行连续采样，为了使采样后的离散信号 能包含原信号 的全部信息量。则采样角频率（ ）只有满足下列表达式：,采样后的信号 才能够无失真地复现 ，否则不能从中恢复 ，这个定理就称为采样定理,采样周期T的选取,采样周期T
5、的选取是计算机控制系统设计的重要参数之一。一般来讲，减小采样周期T有利于控制系统性能，采样周期越小，则采样信号的损失越少，信号恢复精度越高；但是T过小会使控制系统调节过于频繁，使执行机构不能及时响应而加快其磨损，同时还会因运算次数增加使计算机负荷加大。采样周期过大会使采样信号不能及时反映连续测量信号的基本变化规律，同时还会因控制不及时使控制系统的动态品质恶化,信号恢复,在计算机控制系统中，计算机的输出还必须要经过D/A转换器后才能驱动执行机构，控制被控对象。数模转换器主要完成这一任务，它包括数字量到模拟量的转换和离散信号到连续信号的转换。这些工作在工程上均采用与理想低通滤波器特性相近的、又易实
6、现的低通滤波器来完成，这一过程称为信号重构,保持器,本节所要讲的保持器就是这种低通滤波器。通常所用的保持器是按照离散信号已出现的现时刻和过去时刻的序列值f(nT-iT)进行外推，来确定时刻nT到下一时刻（n+1）T之间的连续信号f(nT+t)的取值，所以保持器也被称为外推器,Z变换,和拉氏变换一样，Z变换也是一种将时间函数转换为复变量函数的一种线性函数变换，其作用和拉氏变换在处理连续控制系统分析和设计问题中的作用类似，它是处理计算机控制或离散系统分析和设计问题的一种强有力的数学工具,采样信号拉氏变换,连续信号f(t)经过采样周期为T采样后的采样信号f*(t)可表示如下：,对上式离散的采样信号作
7、拉氏变换可得：,L,L,L,上式为采样信号在复数域中的一种表达式，为区别于连续信号的拉氏变换，采样信号的拉氏变换记为F*(s),（7-1）,例题精讲,例7-1 试求单位阶跃信号 的采样信号变换。,解：由上式7-1可得，单位阶跃信号的拉氏变换表达式为：,例题精讲,例7-2 试求指数信号 ， 的拉氏变换,解：根据上式7-1，可得指数信号 的拉氏变换表达式为：,Z变换的定义,将采样信号拉氏变换 中包含的指数函数 定义为一个新的复变量，令： ，式中T为采样周期。代入表达式7-1可得：,为采样信号的Z变换，通常用大写Z表示对采样信号施加Z变换。即：,Z变换的特点：,（1）Z变换是对采样信号f*(t)或时
8、间序列f(n)定义的，只有离散信号f*(t)或时间序列f(n)才有Z变换；,（2）Z变换F(z)只与f*(t)或f(n)有一对一的对应关系，即由f*(t)或f(n)通过Z变换可得到唯一与之对应的F(z)，由F(z)通过Z反变换也可得到唯一与之对应的f*(t)或f(n)；,（3）Z变换定义式 是Z的无穷幂级数，只有幂级数收敛，Z变换才能存在。确保采样信号f*(t)Z变换存在，Z必须满足|z|R，R被称为Z变换的收敛半径，其值如下：,Z变换的性质和定理,1、线性性质,若 ， ， 、 为任意常 数，则：,2、位移延迟定理,设 ，则延迟 步函数 的Z变换为：,整数,3、位移超前定理,若 ，则超前 步函
9、数 的Z变换为：,4、复位移定理,若 ， ，则：,5、初值定理,设 ，且极限 存在，则当 时的采样信号 的初值 取决于 的极限值，即：,6、终值定理,设 ，且 在单位圆上和单位圆外无极点（即确保 存在有终值解），则有：,7、微分定理,若 ，则：,进一步有：,8、复域积分定理,若 ，且极限 存在，则,9、时域离散卷积定理,两个时间序列（或采样信号） 和 的卷 积记为 ，其定义如下：,若 ， ，则：,即时间域中两个时间序列的卷积等于Z域中两个时间序 列Z变换的乘积,Z变换的求法,1、级数求和法,级数求和法就是按照Z变换的定义来求。由 于它是无穷级数，因此一般只求一些比较简单的函数,例题精讲,例7-
10、3 求单位阶跃函数u(t)的采样函数Z变换。,解：按照Z变换的定义式 可得：,例题精讲,例7-4 求指数函数 ，（a0）它的采样函数Z变换。,解：按照Z变换的定义式：（在a0时，级数才收敛）,例题精讲,例7-5 求指数函数 ，（n=0）它的采样函数Z变换。,解：按照Z变换的定义式：（在n0时，级数才收敛）,例题精讲,例7-6 求脉冲函数f(n)=(n)的采样函数Z变换。,解：根据脉冲函数的定义：,再根据Z变换的定义：,2、 基于Z变换定理求法,对于较复杂的时间函数f(t)或时间序列f(n)，按照Z变换的定义显得比较复杂，有的还不一定能求得级数的和，所以一般都应用前面所讲的关于Z变换的基本定理来
11、求,例题精讲,例7-7 求斜坡函数 的Z变换。,解：斜坡函数可以将其认为是单位阶跃函数和t的乘积，这样就可以应用复域微分定理可得：,同样，如 ，它的Z变换式为：,例题精讲,例7-8 求函数 的Z变换。,解：由前面可知，单位阶跃函数的Z变换为 。,由复位移定理得：,再根据位移延迟定理可得：,再应用微分定理得：,3、 部分分式展开法,部分分式展开法即将象函数展开成各个简单的部分分式之和，然后求出每一个分式的Z变换，最后，得到所求函数的 Z变换,例7-9 求函数 对应的Z变换 。,解：将上式拆成分部分式如下：,从上面三个分式可以知道，前面两个分式，它们分别为阶跃函数和指数函数，它们所对应的Z变换分别
12、为： 和 ，第三项可以查表，得为,最后得到所求式子的Z变换为：,例题精讲,例7-10 求函数 所对应的Z变换E(z)。,解：首先对 取拉氏变换得：,然后，将上式展开成分部分式为：,再根据指数函数Z的变换式可得上式的E(z),化简后为：,留数计算法,由于Z变换只是将 用Z代替罢了，所以只要将留数公式中的 用Z代替即可，具体的公式如下：,上式中， 为 式子中极点 的重根数,例7-11 应用留数法求函数 所对应的Z变换E(z)。,解：针对F(s)可以看出，F(s)的分母阶次为3，分子阶次为0，因此，它是严格的真有理分式，故可以采用留数法来求F(z)。另外，F(s)的两个极点分别为-1和0，其中极点-
13、1为二重极点，故由留数法计算公式可得：,Z反变换,Z反变换就是将Z域函数F(z)变换为时间序列f(k)或采样信号f*(k)。需要指出的是，通过Z反变换所求得的是时间序列f(k)，而不是采样信号，更不是连续信号。只有当知道F(z)对应的采样周期T时，才可按照已知的采样周期T，确定所求得的时间序列f(k)所对应的每一个序列值出现的时间kT，这样就可以获得相应的采样信号f*(k)。Z反变换常用符号 表示,幂级数展开法,运用这种方法就是将F(z)的有理分式展开成如下的形式：,然后，通过长除法将其展开成 的幂级数,例7-12 请将 ，用长除法展开成相应的时间序列 。,解：采用长除法可得：,结果：,因此，
14、它的时间序列为：f(k)=-3，-5，-7，-9，,当给定采样周期T后，它所对应的采样信号为：,幂级数展开法这种方法的特点：,原理简单 只能求得有限个时间序列 计算麻烦,部分分式展开法,这种方法与前面所讲求F(z)时的方法相似，具体步骤如下：, 将F(z)的有理分式展开成如下的形式：,其中 ，系数 均为实常数（i=0,1,2m）；系数也均为实常数（i=0,1,2n）, 对分母进行因式分解，即,其中 为 的极点（i=0,1,2m），它们是实数或共轭复数,分解后，根据不同的情况进行不同处理，具体如下：, 若所有极点是互不相同的单极点，且 ，则：,将 展开成如下的形式：,它所对应的各个分式时间序列为
15、通常所熟悉的指数序列 ，即, 若所有极点是互不相同的单极点，且 ，即 为严格的有理分式，则：,将 展开成如下的形式：,它所对应的各个分式时间序列也是指数序列， 但形式不一样， ，即：,若 有重极点，比如 有两个重极点，其余极点互不相重，且 ，则：,将 展开成如下的形式：,其中第一项，可查表得到，它的时间序列为 ，其余各项同前。,它的时间序列为：,若 有重极点，比如 有两个重极点，其余极点互不相重，且 ，则：,将 展开成如下的形式：,它的时间序列与前相同，只是在时间上延迟一步。,例题精讲,例7-13 设 ，求它的Z反变换。,解：对F(z)的分母进行因式分解，可得：,从上式可以发现，它在z=1处有
16、一个两重极点，在z=2处，有一个单极点。按照上面所述，将其分解成下面的形式：,各待定系数为：,代入得：,故得该函数的时间序列：,上式也可写成为： 为单位阶跃序列,反演积分法,反演积分法是求Z反变换最基本的方法，它可以求得 对应的时间序列的通项表达式, 如 分子中有Z公因子时，按下式计算出的 ，它表示 任何一项序列值；, 如 分子中无Z公因子时，按下式分别计算 和时的通项 ：,其中上两式中,例题精讲,例7-15 请用反演积分法求 的Z反变换,解：从所给式子可见， 的分子也有 公因子“ ”，最高阶为3阶， ， ，重数为2重根，故：,Z传递函数,Z传递函数的定义,设n阶定常离散系统的差分方程为：,在
17、零初始条件下，对上述方程两边取Z变换得：,称 为线性定常离散系统的Z传递函数。故离散系统的Z传递函数就是在零初始条件下，系统输出的Z变换与输入的Z变换之比,Z传递函数与单位脉冲响应序列的关系,根据Z传递函数的定义：,又根据单位脉冲响应序列的定义：,故在单位脉冲作用下，系统的响应序列为：,例7-16 试将下列差分方程转换成Z传递函数，并求出离散系统的单位脉冲响应序列。,系统的初始条件为,解：对上式进行Z变换可得：,对上式进行Z反变换得：,离散系统的稳定性分析,离散系统稳定性的概念,对于连续系统来说，系统稳定的充要条件就是系统的所有极点均位于S平面左半平面，令 可得， ，将其代入 中可得 ，故可得
18、要使得离散系统稳定的充要条件就是：,S平面与Z平面之间的映射关系如下图所示：,结论如下：,当 时， ，即S平面上的虚轴映射到Z平面上是以原点为圆心的单位圆上；,当 时， ，即S平面的左半平面映射到Z平面上是以原点为圆心的单位圆内部；,当 时， ，即S平面的右半平面映射到Z平面上是以原点为圆心的单位圆外部,从上所述，可以得出，离散系统稳定的充要条件就是离散系统的闭环Z传递函数的全部极点必须位于Z平面上以原点为圆心的单位圆内,离散系统稳定性判据,这里采用的是双线性变换法，现简述如下：,设 或,其中 、 均为复变量，现假设 ，则从上式的变换关系，可以得出如下的结论：,当 时， ，即W平面上的虚轴映射
19、到Z平面上是以原点为圆心的单位圆上；,当 时， ，即W平面的左半平面映射到Z平面上是以原点为圆心的单位圆内部；,当 时， ，即W平面的左半平面映射到Z平面上是以原点为圆心的单位圆内部；,例题精讲,例7-17 某离散系统如下图所示，使用Routh判据来确定使系统稳定的K值范围，设采样周期T=0.25s,解：该系统的开环Z传递函数为：,故其闭环Z传递函数为：,对上式做W变换可得对应的W特征方程为：,根据该特征方程建Routh表如下：,0.158k,2.736-0.158k,1.264,2.736-0.158k,0,0,根据Routh判据可得，当 时，系统稳定,线性离散系统的响应分析,设离散系统的闭环Z传递函数可以写成如下形式：,当输入为单位阶跃函数时，上述系统的响应为：,对上式取Z反变换得：,当 取不同值时， 的响应如下图所示：,例题精讲,例7-18 某离散系统如下图所示，系统输入为单位阶跃函数，试分析该系统的动态过程。,解：由题意可得，系统输入,（1）设 ， ；则：,开环Z传递函数为：,闭环Z传递函数为：,故系统的输出为：,（2）又设 ， ，但去掉保持器，此时：,开环Z传递函数为：,闭环Z传递函数为：,系统输出为：,响应曲线如下图所示：,（3）设 ， ，仍然去掉保持器，此时：,开环Z传递函数为：,闭环Z传递函数为：,系统输出为：,
