1、4.2 数值积分,对于积分,但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:,4.2.1 数值求积的基本思想,1,2019/9/12,以上这些现象,牛顿-莱布尼兹很难发挥作用,只能建立积分的近似计算方法,2,2019/9/12,2019/9/12,3,2019/9/12,4,数值积分的基本思想：求解前三步，得到积分的近似值,从积分定义的分析中可看出：积分是和式的极限,5,2019/9/12,6,2019/9/12,为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计 算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。,-(1),定义1. 若求积公式,则称该求积公式具有m次的代数精度,7,2019/9
2、/12,4.2.2 代数精度的概念,代数精度也称 代数精确度,不难验证，梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度。,8,2019/9/12,9,2019/9/12,-(2),例：,10,2019/9/12,11,2019/9/12,4.2.3 插值型的求积公式,积分数值计算的方法很多,但为方便起见,最常用的一种 方法是利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:,12,2019/9/12,13,2019/9/12,由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项,14,2019/9/12,4.2.4 求积公式的收敛性与稳定性,定义2 在机械求积公式中，若,则此求积公式是稳定的.,15,2019
3、/9/12,思考:,16,2019/9/12,试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高,4.3 等距节点求积公式,4.3.1 柯特斯系数,牛顿-柯特斯公式是指等距节点下使用拉格朗日插值 多项式建立的数值求积公式,各节点为,17,2019/9/12,因此对于定积分,而,18,2019/9/12,其中,有,19,2019/9/12,即有,n阶牛顿-柯特斯求积公式,牛顿-柯特斯公式的余项(误差),20,2019/9/12,注意是等距节点,21,2019/9/12,所以牛顿-柯特斯公式化为,22,2019/9/12,4.3.2 几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项,在牛顿-柯特斯公式中,n=1,2,
4、4时的公式是最常用也 最重要的三个公式,称为低阶公式,1.梯形公式及其余项,柯特斯系数为,23,2019/9/12,上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为,求积公式为,24,2019/9/12,梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积,梯形公式的余项为,25,2019/9/12,梯形公式具有1次代数精度,2.辛普森公式及其余项,柯特斯系数为,求积公式为,26,2019/9/12,记为,辛普森公式的余项为,27,2019/9/12,上式称为辛普森求积公式，也称三点公式或抛物线公式,辛普森公式具有3次代数精度,3.柯特斯公式及其余项,28,2019/9/12,Cotes系数为,求
5、积公式为,上式称为柯特斯求积公式，也称五点公式,记为,柯特斯公式的余项为,柯特斯公式具有5次代数精度,29,2019/9/12,下表列出部分柯特斯系数,2019/9/12,30,考察柯特斯系数,因此用牛顿-柯特斯公式计算积分的舍入误差主要由,其值可以精确给定,4.3.3 牛顿-柯特斯公式的稳定性(舍入误差),31,2019/9/12,记,而理论值为,32,2019/9/12,牛顿-柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的,33,2019/9/12,此时,公式的稳定性将无法保证,在实际应用中一般不使用高阶牛顿-柯特斯公式,34,2019/9/12,例: 用n=2和n=3的牛顿-柯特斯公式,解：,1.
6、n=2时,2.n=3时,（ 的真实值为0.7668010）,35,2019/9/12,思考,n=0时的Newton-Cotes公式称为矩形公式，试求出该公式,P96 6、3、5,本节作业,直接使用牛顿-柯特斯公式余项将会较大,当n8时，公式的舍入误差又很难得到控制,此时，使用复化方法，,然后在每个小区间上使用低阶牛顿-柯特斯公式，最后将每个小区间上的积分的近似值相加，这种方法称为复化求积法,4.4 复化求积公式,37,2019/9/12,各节点为,记为,4.4.1 复化求积公式,38,2019/9/12,由积分的区间可加性,复化求积公式,39,2019/9/12,40,2019/9/12,41
7、,2019/9/12,42,2019/9/12,复化梯形公式分解,43,2019/9/12,复化辛普森公式分解,44,2019/9/12,例1.,解:,依次使用8阶复化梯形公式、4阶复化辛普森公式和2阶复化柯特斯公式,给出n=8的函数表,45,2019/9/12,分别由复化梯形、辛普森、柯特斯公式有,46,2019/9/12,积分的精确值为,精度最高,精度最低,比较三个公式的结果,47,2019/9/12,三个求积公式的余项分别为,普通的求积公式,复化求积公式的每个小区间,4.4.2 复化求积公式的余项和收敛的阶,48,2019/9/12,则复化梯形公式的余项为,由于,于是复化梯形公式余项为,49,2019/9/12,可以看出误差是,阶，由余项公式可得,即复化梯形公式是收敛的,50,2019/9/12,即复化辛普森公式是收敛的,51,2019/9/12,52,2019/9/12,比较三种复化公式的的余项,53,2019/9/12,本章作业,P159 6、7,54,2019/9/12,
