1、一种扩充形式的牛顿莱布尼兹公式刘西平 常胜伟（陕西绥德师范学校，陕西榆林 718000）摘要 本文主要给出在 上连续且右可微的函数 在 上连续可微的一个充分条件.并且给),ba)(xF,ba出牛顿莱布尼兹公式的一种扩充形式.关键词 可微；充分条件；牛顿莱布尼兹公式在一般的牛顿莱布尼兹公式 1 )()(aFbdxfba中，要求 在 上连续且有一个原函数， 在 上连续，在 内可导，且)(xf,ba ,),(b1；对 亦可减弱为：在 上可积（不一定连续） ， 在 上连续，)F)(xf (xF,ba且除了有限个点外，满足条件 2；对 可进一步减弱为：在 内除去一个仅有有限多F)(xF),a个聚点的点集
2、 E 外，均有 3.本文在此基础上，对 的条件减弱后，得到一种扩充形式的)(xf )(牛顿莱布尼兹公式.首先给出左右导数的概念：定义 1 1 设 在点 的某领域内有定义，若极限)(xFy00)(lim0xx存在，则称该极限为 在点 处的右导数，记为 .)( )(0xF定义 1 2 设 在点 的某领域内有定义，若极限xFy00)(lim0xx存在，则称该极限为 在点 处的左导数，记为 .)( )(0xF引理 （）设 在 上连续，且右导数 存在.若 ，且 ，xF,ba0)(a),0)( baxF则 .),0)(xF作者简介：刘西平（1972-） ，男，陕西绥德师范学校助讲，主要从事数学分析方面的研
3、究.基金项目：陕西省教育厅专项科研计划项目（04JK301）（）设 在 上连续，且左导数 存在.若 ，且 ，则)(xF,ba)(xF0)(b,(,0)( baxF.,0)(x（）设 在 上连续，且左导数 存在.若 ，且 ，则)(x, )(x)( ,(,)(x.,)(baxF证明 只证明（） ，其余可类似证明.首先考虑 时的情况.0)(xF假设存在 使得 .令 ，则 .否则，若,1ba0)(1x0)(:inf),xFbax 0)(x，则由 的连续性， ，从而，存在 ，当 时，0)(xF)(x(lim00Fx ),(U。这与 为下确界矛盾；若 ，显然不可能。所以 .0 )0)(x又由下确界的定义知
4、，存在 ，使得 ，因此nx)(,0nnx)(lim)( 000FxFnxn这与假设矛盾.所以在 上，有 .,ba)(然后，当 时，对任意 ,令 ，则 ，,)(x )()(axFx 0)(F，由前段所证结论知， ，即 .由 的任意性，0)( Fx 0) b有 .以下给出本文的主要结果： 定理 1 设 是 上连续，且右可导的函数，若其右导数在 上连续，则 在 上)(xF,ba ),ba)(xF,ba连续可导，且 .)( Fda证明 令 ，则 在 上连续，且 ，xdtgxhxg)(),()( )(xh, )(xgh设 ，则 ，且 .h0a0 F由引理 1 知，在 上，有 （1）),b)(x同理， 也
5、满足引理，从而 （2）(x有（1） ， （2）知， .而0)(（3）xdtgaFxh)()()(所以， 在 上连续且可导，且由（3）式可得，,b)()( aFxxa定理 2 设 是 上连续，且左可导的函数，若其左导数在 上连续，则 在 上)(F, ,(ba)(xF,ba连续可导，且 .)( bxdxb证明 利用引理（）或（） ，类似定理 1 可证.参考文献：1 华东师范大学数学系编.数学分析M （上册）第三版 .北京：高等教育出版社.2001.2 陈启娴.牛顿莱布尼兹公式的应用范围的推广J. 西华大学学报， 2005，24（5）：78-80.3 巩子坤.牛顿莱布尼兹公式的再推广J. 洛阳大学学
6、报， 1999，14（2）：16-18.4 宋虎森.牛顿莱布尼兹公式的一种扩充形式极其应用 J.太原大学学报，2002，3（2）：46-49.An Extended Form of Newton-Leibniz Formulaliu xiping Chang Shengwei（Suide Normal School ,suide Shanxi, 718000）Abstract: This paper mainly provides a sufficient condition that is continuous and differentiable from the right on of function which is continuous and differentiable on and extended form of Newton-Leibniz ),ba)(xF),baformula.Key words: differentiable; sufficient condition; Newton-Leibniz formula.
