1、鹤岗市第一中学 第四章：曲线运动1第四章：曲线运动本章内容包括圆周运动的动力学部分和物体做圆周运动的能量问题，其核心内容是牛顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时关系可知，当物体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一
2、时刻列出相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。命题规律本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。 （2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。 （4）运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题与现代科
3、技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。从近几年的高考试题可以看出，曲线运动的研究方法运动的合成与分解、平抛运动和圆周运动；万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机的运动问题，估算天体的质量和密度问题，反映了现代科技信息与现代科技发展密切联系是高考命题的热点。例如 2008全国 I 第 17 题，山东基本能力第 32 题，全国 II 第25 题，广东单科第 12 题考查了万有引力定律的应用，2005 年全国、卷以及北京理综、广东物理均考查了人造卫星在万有引力作
4、用下的圆周运动问题。再如 2006 全国 I 卷、江苏物理、天津理综、重庆理综、广东物理均考查了人造卫星及万有引力定律在天体运动中的应用问题。预计在今后的高考中平抛运动的规律及其研究方法、圆周运动的角速度、线速度和向心加速度仍是高考的热点。与实际应用和与生产、生活、科技联系命题已经成为一种命题的趋向，特别是神舟系列飞船的发射成功、探月计划的实施，更会结合万有引力进行命题。复习策略在本专题内容的复习中，一定要多与万有引力、天体运动、电磁场等知识进行综合，以便开阔视野，提高自己分析综合能力。1在复习具体内容时，应侧重曲线运动分析方法，能够熟练地将曲线运动转化为直线运动。如平抛运动就是将曲线运动转化
5、为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动再进行处理的。对于竖直平面内的圆周运动，由于涉及知识较多而成为难点和重点。就圆周运动的自身而言有一个临界问题，同时又往往与机械能守恒结合在一起命题。在有关圆周运动最高点的各种情况下的各物理量的临界值的分析和计算应作为复习中的重点突破内容，极值分析法、数学分析法是分析处理物理问题的基本方法，也是学生学习中的难点和薄弱环节。2天体问题中，由于公式的形式比较复杂，计算中得到的中间公式特别多，向心力的表达式也比较多，容易导致混乱。所以要求在处理天体问题时，明确列式时依据的物理关系（一般是牢牢抓住万有引力提供向心力），技巧性地选择适当的公式，才能正确、
6、简便地处理问题。3万有引力定律还有一个重要的应用就是估算天体的质量或平均密度。问题的核心在于：（1）研究一天体绕待测天体的圆周运动。（2）二者之间的万有引力提供向心力。4万有引力定律是力学中一个独立的基本定律，它也是牛顿运动定律应用的一个延伸，学习本部分内容要具有丰富的空间想象建模能力以及学科间的综合能力。1、记住物体做匀速圆周运动的条件，能判断物体是否做匀速圆周运动。2、记住匀速圆周运动的 v、 、 T、 f、 a、向心力等运动学公式。3、知道解匀速圆周运动题的一般步骤（与牛顿第二定律解题思中相同） 。4、掌握几种情景中的圆周运动：重力场中竖直面内圆周运动（注意临界条件） 。鹤岗市第一中学
7、第四章：曲线运动2天体的匀速圆周运动。点电荷的电场中带电粒子可以做匀速圆周运动。带电粒子只受洛仑磁力作用下的圆周运动（注意有界磁场中的圆周运动的特点和解法） 。复合场中的圆周运动。第一模块：曲线运动、运动的合成和分解夯实基础知识考点一、曲线运动1、定义：运动轨迹为曲线的运动。2、物体做曲线运动的方向：做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。3、曲线运动的性质由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。
8、由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。4、物体做曲线运动的条件（1）物体做一般曲线运动的条件物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。（2）物体做平抛运动的条件物体只受重力，初速度方向为水平方向。可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。（3）物体做圆周运动的条件物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。5、分类匀变速曲线运动：物体在
9、恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。非匀变速曲线运动：物体在变力(大小变、方向变或两者均变)作用下所做的曲线运动，如圆周运动。考点二、运动的合成与分解1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解。3、合运动与分运动的关系：运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存） ；等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等独立性：一个物体可以同时
10、参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。 ）4、运动的性质和轨迹物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动） 。物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动） 。常见的类型有：（1）a=0：匀速直线运动或静止。（2）a 恒定：性质为匀变速运动，分为： v、a 同向，
11、匀加速直线运动；v、a 反向，匀减速直线运动；v、a 成角度，匀变速曲线运动（轨迹在 v、a之间，和速度 v 的方向相切，方向逐渐向 a 的方向接近，但不可能达到。 ）（3）a 变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。具体如：鹤岗市第一中学 第四章：曲线运动3两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当两者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则
12、是曲线运动。第二模块：平抛运动夯实基础知识平抛运动1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。2、条件：a、只受重力；b、初速度与重力垂直3、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度 g，因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。 a4、研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性 VyxSO2/yV0 0P(), 5、平抛运动的规律水平速度：v x=v0，竖直速度：v y=
13、gt合速度（实际速度）的大小： 2yxv物体的合速度 v 与 x 轴之间的夹角为：0tangtxy水平位移： ，竖直位移tvx021gty合位移（实际位移）的大小： xs物体的总位移 s 与 x 轴之间的夹角为：02tanvgty可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。而且 而tant2轨迹方程：由 和 消去 t 得到：vx01gy。可见平抛运动的轨迹为抛物线。20vgy6、平抛运动的几个结论落地时间由竖直方向分运动决定：由 得：21gthgh水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定： ghvtx20平抛物体任意时刻瞬时速度 v 与平抛初速度v0 夹角 a 的正切值为位移 s 与水平位移 x
14、夹角 正切值的两倍。平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。证明： 21tan20xsgtv平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量v gt，方向恒为竖直向下（与 g 同向） 。任意相同时间内的 v 都相同（包括大小、方向） ，如右图。鹤岗市第一中学 第四章：曲线运动4V1023以不同的初速度，从倾角为 的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角 a 相同，与初速度无关。 （飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。 ）A v0 vxvyyxv如右图：所以 tan20g0)tan(vtxy所以 ， 为定值故 a 也是定ta
15、n2)t(值与速度无关。速度 v 的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加， 变大，tan，速度 v 与重力 的方向越来越靠近，但永远不能到达。从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能守恒。7、平抛运动的实验探究如图所示，用小锤打击弹性金属片，金属片把A 球沿水平方向抛出，同时B球松开，自由下落，A、B 两球同时开始运动。观察到两球同时落地，多次改变小球距地面的高度和打击力度，重复实验，观察到两球落地，这说明了小球A在竖直方向上的运动为自由落体运动。如图，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2与光滑水平板吻
16、接，则将观察到的现象是A、B两个小球在水平面上相遇，改变释放点的高度和上面滑道对地的高度，重复实验，A、B两球仍会在水平面上相遇，这说明平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线运动。8、类平抛运动（1）有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。2、类平抛运动的受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。3、类平抛运动的处理方法：在初速度 方向做匀速直线运动，在合外力方0v向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度。处理时和平抛运动类似，但要分析清楚Fm合其加速度的大小和方向如何，
17、分别运用两个分运动的直线规律来处理。第三模块：圆周运动夯实基础知识匀速圆周运动1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。2、分类：匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。注意：这里的合力可以是万有引力卫星的运动、库仑力电子绕核旋转、洛仑兹力带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力锥摆、静摩擦力水平转盘上的物体鹤岗市第一中学 第四章：曲线运动5等 变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化如小球被
18、绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动合力的方向并不总跟速度方向垂直3、描述匀速圆周运动的物理量（1）轨道半径（r）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。（2）线速度（v）：定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长 S和所用时间 t 的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。定义式： tsv线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。（3）角速度（，又称为圆频率）：定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。大小： ( 是 t 时间内半
19、径转过Tt2的圆心角)单位：弧度每秒（rad/s）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢（4）周期（T）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。（5）频率（f，或转速 n）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。各物理量之间的关系： rtvfTtrsv2注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。（6）圆周运动的向心加速度定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。大小： （还有其它的表示形rvan2式，如： ）rfTn 22方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r 为曲率半径；物体的另一
20、加速度分量为切向加速度 ，表征速度a大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言， =0）（7）圆周运动的向心力匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力 提供向心加速度（下式仍然适用） ，切向分nF力 提供切向加速度。向心力的大小为：（还有其它的表示形式，rmvaFn2如：） ；向心力rfrTvn 22的方向时刻改变且时刻指向圆心。实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。五、离心运动1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周
21、运动所需向心力情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。2、本质：离心现象是物体惯性的表现。离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。离心运动并不是受到什么离心力，根本就没鹤岗市第一中学 第四章：曲线运动6有这个离心力。3、条件：当物体受到的合外力 时，物体做匀速nmaF圆周运动；当物体受到的合外力 时，物体做离心n运动当物体受到的合外力 时，物体做近心nmaF运动实际上，这正是力对物体运动状态改变的作用的体现，外力改变，物体的运动情况也必然改变以适应外力的改变。 vF=m2R04两类典型的曲线运动的分析方法比较（1）对于平抛运动这类“匀变速曲线
22、运动”，我们的分析方法一般是“在固定的坐标系内正交分解其位移和速度”，运动规律可表示为；201,gtyx.,0tyx（2）对于匀速圆周运动这类“变变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在运动的坐标系内正交分解其力和加速度” ，运动规律可表示为.,022mrmaF向向法 切切题型解析类型题： 曲线运动的条件 【例题】 （1991 年上海高考题）如图所示，物体在恒力 F 作用下沿曲线从 A 运动到 B，这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由变为。在此力的作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ A、B、D ）ABabA物体可能沿曲线a 运动B物体不可能沿直线b 运动C物体可能沿曲线c 运动
23、D物体不可能沿原曲线由返回 A【例题】质量为 m 的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力 F1 时，物体可能做( )A匀加速直线运动； B匀减速直线运动；C匀变速曲线运动； D变加速曲线运动。解析：当撤去 F1 时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于 F1，方向与 F1 方向相反。若物体原来静止，物体一定做与 F1 相反方向的匀加速直线运动。若物体原来做匀速运动，若 F1 与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故 A、B 正确。若 F1 与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故 C 正确
24、，D 错误。正确答案为：A、B、C。【例题】我国“嫦娥一号” 探月卫星经过无数人的协作和努力，终于在 2007 年 10 月 24 日晚 6 点 05分发射升空。如图所示， “嫦娥一号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从 M 点向 N 点飞行的过程中，速度逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力的方向可能的是（ ）解析：C 卫星运动的速度方向沿其轨迹的切线方向，由于速度逐渐减小，则合力方向与速度方向间的夹角大于 ，由轨迹的弯曲方向知，合力必90指向其弯曲方向故选 C。【例题】质点仅在恒力 F 的作用下，由 O 点运动到 A 点的轨迹如图所示，在 A 点时速度的方向与鹤岗市第一中学 第四章：曲线运
25、动7x 轴平行，则恒力 F 的方向可能沿（ ）Ax 轴正方向Bx 轴负方向Cy 轴正方向Dy 轴负方向解析：D 根据曲线运动轨迹特点可知：物体的轨迹总是向合外力一方凹陷，而且最终的速度方向不与合外力方向平行，可知 D 正确。【例题】一个物体以初速度 vo 从 A 点开始在光滑的水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的运动轨迹如图中的实线所示，B 为轨迹上的一点，虚线是经过 A、B 两点并与轨迹相切的直线。虚线和实线将水平面分成五个区域，则关于施力物体的位置，下列各种说法中正确的是 ( )A Bv0A如果这个力是引力，则施力物体一定在 区域中B如果这个力是引力，则施力物体可能在区域中C如果这
26、个力是斥力，则施力物体一定在区域中D。 如果这个力是斥力，则施力物体可能在区域中解析：物体做曲线运动，一定受到与初速度vo 方向不平行的力的作用，这个力与速度方向垂直的分量起到向心力的作用，使物体运动轨迹向向心力的方向弯曲，且运动轨迹应在受力方向和初速度方向所夹的角度范围之内，所以此施力物体一定在轨迹两切线的交集处。是引力时施力物体在轨迹弯曲的内侧( 相互吸引，使运动向轨迹内侧弯曲 )，是斥力时施力物体在轨迹弯曲的外侧(相互排斥，使物体运动向轨迹内侧弯曲)。【答案】A C【例题】如图所示，质量为 m 的小球，用长为l 的不可伸长的细线挂在 O 点，在 O 点正下方 处2l有一光滑的钉子 O。把
27、小球拉到与钉子 O在同一水平高度的位置，摆线被钉子拦住且张紧，现将小球由静止释放，当小球第一次通过最低点 P 时（ ）A小球的运动速度突然减小B小球的角速度突然减小C小球的向心加速度突然减小D悬线的拉力突然减小解析：在通过位置 P 前后瞬间，小球作圆周运动的半径分别为 l 和 ，并且小球在通过 P 点瞬2间受到的重力和拉力都在竖直方向上，小球的速度大小不改变。答案：B、C 、D类型题： 如何判断曲线运动的性质 曲线运动一定是变速运动，但不一定是匀变速运动。可以根据做曲线运动物体的受力情况（或加速度情况）进行判断，若受到恒力（其加速度不变），则为匀变速运动，若受到的不是恒力（其加速度变化） ，则
28、为非匀变速运动。例如：平抛运动是匀变速运动，其加速度恒为g；而匀速圆周运动是非匀变速运动，其加速度虽然大小不变，但方向是时刻变化的。【例题】关于运动的性质，下列说法中正确的是（ A ）A曲线运动一定是变速运动B曲线运动一定是变加速运动C圆周运动一定是匀变速运动D变力作用下的物体一定做曲线运动【例题】物体做曲线运动时，其加速度（ ）A一定不等于零 B一定不变 C一定改变 D可能不变解析：AD 曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，所以加速度一定不为零，A 正确；曲线鹤岗市第一中学 第四章：曲线运动8运动中平抛运动和类平抛运动（带电粒子在电场中的偏转）加速度是不变的，匀速圆周运动和多数的曲线运动加
29、速度是改变的。【例题】一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ）A速度一定不断地改变，加速度也一定不断地改变B速度一定不断地改变，加速度可以不变C速度可以不变，加速度一定不断地改变D速度可以不变，加速度也可以不变解析：B 质点做曲线运动，则速度一定发生变化，但加速度不一定变化，如平抛运动，所以，A、C、 D 错误，只有 B 项正确。类型题： 运用运动的独立性解题 【例题】如图所示，一个劈形物体 M 各面均光滑，上面成水平，水平面上放一光滑小球 m，现使劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（斜面足够长） （ ）abcA沿斜面向下的直线 B竖直向下的直线C无规则曲线 D抛
30、物线解析：B 小球只受竖直方向的重力和支持力，即合力始终沿竖直方向，故小球只能做竖直向下的直线运动，所以 B 正确【例题】如图所示，A、B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A 在较下游的位置，且 A 的游泳成绩比 B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ A ）AA、B 均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用BB 沿虚线向 A 游且 A 沿虚线偏向上游方向游CA 沿虚线向 B 游且 B 沿虚线偏向上游方向游D都应沿虚线偏向下游方向，且 B 比 A 更偏向下游解析：游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己
31、划行方向的划行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A、B 两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选 A。【例题】如图为一空间探测器的示意图，P1、P 2、P 3、P 4 四个喷气发动机，P1、P3 的连钱与空间一固定坐标系的 x 轴平行，P 2、P 4 的连线与 y轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动开始时，探测器以恒定的速率 v0 向正 x 方向平动要使探测器改为向正 x偏负 y 60 的方向以原来的速率 v0 平动，则可x0P2134A先开动 P1 适当时间，再开动 P4 适当时间B先开动 P3 适当时间，再开动 P2 适当时间C开动
32、P4 适当时间D先开动 P3 适当时间，再开动 P4 适当时间解析：选 A在运动的合成、分解中，真实运动为合运动，即“向正 x 偏 y60 的方向以原来的速率 v0 平动”为合运动，x 轴、y 轴方向上的运动为分运动据平行四边形定则，由右图可得，uxv1 时，合速度 v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；船速 v2 小于水流速度 vl 时，即 v2 ）tant2mgh则角速度相等。而 ，则周期大于。cosmgT【例题】如图所示，水平转台上放有质量均为m 的两小物块 A、B，A 离转轴距离为 L，A 、B 间用长为 L 的细线相连，开始时 A、B 与轴心在同一直线上，线被拉直，A、B 与水平转台间
33、最大静摩擦力均为重力的 倍，当转台的角速度达到多大时线上出现张力？当转台的角速度达到多大时 A 物块开始滑动？A BO解析： = = g2L 2g3L【例题】如图所示，在光滑的圆锥顶端，用长为 L=2m 的细绳悬一质量为 m=1kg 的小球，圆锥顶角为 2=74。求：（1）当小球 =1rad/s 的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。 （2）当小球以 =5rad/s 的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。解析：答案：26N，50N提示要先判断小球是否离开圆锥面。全解 小球在圆锥面上运动时，受到重力 G，细绳的拉力 T和斜面的支持力 N。将这些力分解在水平方向和竖直方向上。有
34、： sincossin2LmTgco设小球以角速度 0 转动时，小球刚好离开斜面时，此时，由 N=0 代入两式得：。sradsrLmg/5.2/.6cos0 当小球以 =1rad/s 转动时，由小球在斜面上运鹤岗市第一中学 第四章：曲线运动26动，由两式得：；NmgLT26cosinta2当小球以 =5rad/s 转动时，小球将离开斜面，此时受到拉力和重力，设细绳与竖直方向得夹角为，则 ，代入数据解得：sinsin2LTT=50N【例题】长为 L 的细线，拴一质量为 m 的小球，一端固定于 O 点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动） ，如图所示，当摆线 L 与竖直方向的
35、夹角是 时，求：LO（1）线的拉力 F；（2）小球运动的线速度的大小；（3）小球运动的角速度及周期。解析：做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力 mg 和绳子的拉力 F。因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心 O ，且是水平方向。由平行四边形法则得小球受到的合力大小为 mgtan，线对小球的拉力大小为F=mg/cos 由牛顿第二定律得 mgtan=mv2/r 由几何关系得 r=Lsin 所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为 ansivgLtLOFmgF 合rO1小球运动的角速度 ansiLcosgtvgrL小球运动的周期 2T点评：在解决匀速圆周运动的过程中，弄清
36、物体圆形轨道所在的平面，明确圆心和半径是一个关键环节，同时不可忽视对解题结果进行动态分析，明确各变量之间的制约关系、变化趋势以及结果涉及物理量的决定因素。【例题】如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心 r=20cm 处放置一小物块A，其质量为 m2kg，A 与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的 k 倍（k0.5） ，试求mO当圆盘转动的角速度 2rad/s 时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？方向如何？欲使 A 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？（取 g=10m/s2）解析：物体随圆盘一起绕轴线转动，需要向心力，而竖直方向物体受到的重力 mg、支持力N 不
37、可能提供向心力，向心力只能来源于圆盘对物体的静摩擦力根据牛顿第二定律可求出物体受到的静摩擦力的大小：f=F 向 =m2r=1.6N 方向沿半径指向圆心 欲使物快与盘不发生相对滑动，做圆周运动的向心力不大于最大静摩擦力所以： kmgrF2向解得 sadm/5点评：物体仅在摩擦力作用下做圆周运动，如果是匀速圆周运动摩擦力完全提供向心力与速度垂直，指向圆心；若是加速转动，摩擦力不再指向圆心，摩擦力垂直速度的分力提供向心力，沿速度方向的分力使物体加速。如果做圆周运动的向心力大于最大静摩擦力时就会滑动，做离心运动。【例 6】如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg 的物体 A 静止在水平转盘上，细
38、绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 O 吊着质量为 m=0.3kg 的小球 B， A 的重心到 O 点的距离为 0.2m若 A 与转盘间的最大静摩擦力为 f=2N，为使小球 B 保持静止，求转盘绕中心 O 旋转的角速度 的取值范围 （取g=10m/s2）AO解析：要使 B 静止，A 必须相对于转盘静止鹤岗市第一中学 第四章：曲线运动27具有与转盘相同的角速度A 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心 O；角速度取最小值时，A 有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心 O对于 B，T= mg对于 A，角速度取最大值时： 21MrfT解得： rad/s 5.61
39、角速度取最小值时： 2rf解得： rad/s9.2所以 2.9 rad/s rad/s5.6【例题】如图所示，质量相等的小球 A、B 分别固定在轻杆 OB 的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕 O 点匀速转动时，求杆的 OA 段及 AB 段对球的拉力之比？A BO解析：A、B 小球受力如图所示，在竖直方向上 A 与 B 处于平衡状态在水平方向上根据匀速圆周运动规律：T A-TB=m 2OA，T B=m 2OB，OB =2OATA TBmgONAmgNBTB解之得：T AT B = 32点评本题是连接体问题，求解时必须一个一个地研究，对每一个物体列方程，用两个物体物理量间的联系再列方程，联立方程求
40、解【例题】如图所示，质量为 m=0.1kg 的小球和A、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的 A、B 两点，其中 A 绳长 LA=2m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角 1=30， 2=45，g=10m/s2求：AB 300450 C（1）当细杆转动的角速度 在什么范围内，A、B 两绳始终张紧？（2）当 =3rad/s 时，A、B 两绳的拉力分别为多大？解析：（1）当 B 绳恰好拉直，但 TB=0 时，细杆的转动角速度为 1，有： TAcos30=mg 02103sin3sinALm解得： 1=24rad/s当 A 绳恰好拉直，但 TA=0 时，细杆的转动角速度为 2，有： gTB045c
41、os023sininALm解得： 2=3.15（rad/s）要使两绳都拉紧 2.4 rad/s 3.15 rad/s（2）当 =3 rad/s 时，两绳都紧30sin45sin30si 2ABALTmgcocTA=0.27N， T B=1.09N点评分析两个极限（临界）状态来确定变化范围，是求解“范围”题目的基本思路和方法类型题： 竖直面上圆周运动 1、竖直平面内：（1） 、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：鹤岗市第一中学 第四章：曲线运动28FG 绳 FG临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即 r
42、mvg2临 界（ 是小球通过最高点的最小速r临 界临 界度，即临界速度） 。能过最高点的条件： 。 此时小球对临 界轨道有压力或绳对小球有拉力 mgrvN2不能过最高点的条件： （实际上小临 界球还没有到最高点就已脱离了轨道） 。（2）图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：GF临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度 。0临 界图（ a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当 v=0 时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即 N=mg；当 0N0。当 时，N=0；rg当 v 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度
43、的增大而增大。mgrvN2图（ b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当 v=0 时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即 N=mg。当 0N0。当 v= 时，N=0。gr当 v 时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力 ，其大小随速度的mgrvN2增大而增大。图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支撑，而不能产生拉力。在最高点的 v 临界 = 。当 v=gr时，小球将脱离轨道做平抛运动gr注意：如果小球带电，且空间存在电场或磁场时，临界条件应是小球所受重力、电场力和洛仑兹力的合力等于向心力，此时临界速度 gRV0。要具体问题具体分析，但分析方法
44、是相同的【例题】一小球用轻绳悬挂于某固定点。现将轻绳水平拉直，然后由静止开始释放小球。考虑小球由静止开始运动到最低位置的过程（AC）（A）小球在水平方向的速度逐渐增大（B）小球在竖直方向的速度逐渐增大（C）到达最低位置时小球线速度最大（D）到达最低位置时绳中的拉力等于小球的重力【例题】如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O 点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中 a、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（AB）鹤岗市第一中学 第四章：曲线运动29Aa 处为拉力，b 处为拉力Ba 处为拉力，b 处为推力Ca 处为推力，b 处为拉力Da 处为推力，b 处
45、为推力【例题】如图所示，半径为 R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为 m 的小球 A、B 以不同速率进入管内，A 通过最高点 C 时，对管壁上部的压力为 3mg，B 通过最高点 C 时，对管壁下部的压力为 0.75mg求 A、B 两球落地点间的距离COB A解析：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B 两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差对 A 球：3mg+mg= m vA=R2g4对 B 球：mg0.75mg= m vB=2R1sA=vAt=vA =4Rg4sB=vBt=vB =R（2 分） sAs B=3
46、R点评竖直面内的非匀速圆周运动往往与其它知识点结合起来进行考查，本题是与平抛运动相结合，解这类题时一定要先分析出物体的运动模型，将它转化成若干个比较熟悉的问题，一个一个问题求解，从而使难题转化为基本题本题中还要注意竖直面内的非匀速圆周运动在最高点的两个模型：轻杆模型和轻绳模型，它们的区别在于在最高点时提供的力有所不同，轻杆可提供拉力和支持力，而轻绳只能提供拉力；本题属于轻杆模型【例题】小球 A 用不可伸长的细绳悬于 O 点，在 O 点的正下方有一固定的钉子 B，OB=d，初始时小球 A 与 O 同水平面无初速度释放，绳长为 L，为使小球能绕 B 点做完整的圆周运动，如图所示。试求 d 的取值范围。DdLOmBCA解析：为使小球能绕 B 点做完整的圆周运动，则小球在 D 对绳的拉力 F1 应该大于或等于零，即有： dLVmg2根据机械能守恒定律可得 )(21D由以上两式可求得： Ld53答案： L【例题】06 全国卷 II.23如图所示，一固定在竖直平面内的光滑半圆形轨道 ABC，其半径R0.5m ，轨道在 C 处与水平地面相切。在 C 放一小物块，给它一水平向左的初速度 v05m/s，结果它沿 CBA 运动，通过 A 点，最后落在水平地面上的 D 点，求
