1、- 1 -数学选修 2-2 综合测试题(答案)一、选择题1在复平面内，复数 对应的点位于 （B）)21(izA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2定积分20sinxd的值等于（ A ）A 14B 14C 124D 123类比“两角和与差的正余弦公式 ”的形式，对于给定的两个函数， ()2xaS，()2xaC，其中 0a，且 1，下面正确的运算公式是（ ） ()()SyCyxSy； (x； )()()yySx； (Cx； 4.已知 为常数）在 上有最大值 ，那么此函数在 上的32)6(fxm2,32,最小值为（ A ）A. -37 B-29 C-5 D-115.已知函数 有极大值和极
2、小值，则实数 的取值范围1)6()(23xaf a是(C ) A B C 或 D 或1a3a612a6设 P 为曲线 C： 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为23yx，则点 P 横坐标的取值范围为（ ）04，A B C D12， 0， 01， 12，7设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ）xy(32)， 0axya- 2 -A2 B C D12128 已知可导函数 的导函数 满足 ，则当 时，)(Rxf)(xf)(xf0a和 （ 是自然对数的底数）大小关系为 （ A）)(af)0(eA Ba eaC D)()(ff )0()(ff9.给出以下命题：若 ()0bafx
3、d，则 f(x)0； 20sin4xd;已知 Ff，且 F(x)是以 T 为周期的函数，则 0()()aaTfxdfxd；其中正确命题的个数为( B )A.1 B.2 C.3 D.010.已知函数 ()fxb的图象在点 (1,)Af处的切线的斜率为 3，数列 )(1nf的前 n项和为 nS,则 201的值为（D ） 201.201.9.2098. DCBA二、填空题11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的的个数是 14。12若函数 24()1xf在区间 (21)m， 上是单调递增函数，则实数 m的取值范围是 答案： 10m
4、13已知 1()()23fnnN ，用数学归纳法证明 (2)nf时， 1(2)(kkff等于 答案： 11kkk14. 15.三、解答题16、已知复数 满足 （ 为虚数单位） 求 ziiz232 z- 3 -解由已知得 ，iz12设 Ryxiz,代人上式得 i22所以 ，解得12xy231yx故 iz317. （1）求证：(1) 23()abab; 证明：（1） ,23,b;将此三式相加得2 2(3)23aabb, 23ab.（2）已知 均为实数，且 ，c, 62,32,2 xzczyx求证： 中至少有一个大于 0.证明：（反证法）假设 都不大于 0，即 ，则 ，ba, 0,cba0ba因为
5、6232,2xzyx0)1()()1( )()222 zc即 ，与 矛盾，故假设错误，原命题成立.0bacba18、设函数 （12 分）32()3()xfa（1）如果 ，点 P 为曲线 上一个动点，求以 P 为切点的切线斜率取得最小值1ayfx时的切线方程；- 4 -（2）若 时， 恒成立，求 的取值范围。,3xa()0fxa解：（1）设切线斜率为 k,则 。2()3.kx当 x=1时 ， k有 最 小 值 -4又 。 （6 分）99(), 4),2703f yy所 以 切 线 方 程 为 即,3()0xafx若 时 ， 恒 成 立 ， 则 ：0331(2)()()()0aafff （ ） 或
6、 或（1） ， （2）无解，由（3）解得 ，综上所述。 619设函数 （ 是自然对数的底数）(),()xfxege（）判断函数 零点的个数，并说明理由；Hf（）设数列 满足： ，且na1(0,)1()(,nnfagN求证： ；0比较 与 的大小n1()ne解：（） ()xHx令 0,l()e当 时， 在 上是增函数()x,x(H0,)x当 时， 在 上是减函数 2 分0,()从而 4 分0max0()1(1)lnxHeee注意到函数 在 上是增函数，lnktt,从而 ()1,e又从而 0Hx- 5 -综上可知： 有两个零点 6 分()Hx（）因为 即1,nnfag1()nanee所以 7 分(
7、)e下面用数学归纳法证明 (0,)na当 时， ，不等式成立1n(0,)假设 时，k1k那么 1()kake01kka0()1ke即 ,ka这表明 时，不等式成立n所以对 ， N(0,1)na因为 1()naee考虑函数 ()xpx(10xpe从而 在 上是增函数()0,x所以 1()nea即 20 已知函数 )(3l)(Raxxf（）当 时，求函数 的单调区间；1a)f（）若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为 ，问：m 在什么范)(fy)2(,f 45围取值时，对于任意的 ，函数 在区间 上总存2,1t )(23xfxg)3,(t- 6 -在极值？（）当 时，设函数 ，若在区间 上至少存在
8、一个2a 32)()xepxh,1e，使得 成立，试求实数 p 的取值范围0x()(00fh解（）由 知： )(1)(xaxf当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ；1a)1,0(),1(（）由 得到 ，故 ， 12)(axf2 xfxxf 2,32ln)4()(,)()()( 2233 mgmxfmg因为 在区间 上总存在极值，且 ，所以 ，解得：)(x),(t1t0)3(，故当 时，对于任意的 ，函数937m937m2,1t在区间 上总存在极值。 )(2)(xfxg),(t（） ，令3ln)(f xexpfxhFln2)()( 当 时，由 得到 所以在 上不存在 ，0p,1ex,0
9、ln2,0ep,10使得 成立； )()(00fh当 时， ，因为 ，所以p2xepF,1ex， 在 上恒成立，故 在 上单调递增。0,22pxe)(,1)(F,e，由题意可知 ，解得 ，所以4)()(maxe04ep142p- 7 -的取植范围是 。p),14(2e21.已知 ，设函数 ， 0a axaxf 2ln 2)(1)axg（I）求函数 的最大值；)()(gh（II）若 是自然对数的底数，当 时，是否存在常数 、 ，使得不等式eeakb对于任意的正实数 都成立？若存在，求出 、 的值，若不存在，请)()(xgbkxfx说明理由解：（I） ， （2 分）21ln)(ah(0) xax
10、),(a),(a)(h+ 0 -x极大值 当 时，函数 取最大值 ； （4 分）a)(2lna（II）当 时， 的最大值是 0，exgfh即 ，当且仅当 e时取等号， （6 分）()fxg函数 和 的图象在 x处有且仅有一个公共点 ，)( )2,(e ，函数 的图象在 xe处切线斜率是 ，exf2)( )(f kf ，函数 的图象在 处切线斜率是 ，g xg eg 和 的图象在 e处有公共切线方程为 ，)(xf 23xy（8 分）设 ，2ln)23()( exxfF xeexF)()(,0(e,(+ 0 -()x极大值 当 e时，函数 取得最大值 ， 恒成立；F23)(exf（10 分） ，0)(2121)3() 2exexxg- 8 - 在 xR时恒成立；23)(exg当 时， ， （12 分）akeb
