1、第四章习题一 1、判断下列集合关于指定的运算是否构成半群，独异点和群。 (1)a是实数，G=an|n是整数，运算是普通的乘法。 (2)Q*为正有理数，运算是普通的乘法。 (3)Q*为正有理数，运算是普通的加法。 (4)一元实系数多项式的集合关于多项式的加法。 (5)一元实系数多项式的集合关于多项的乘法 (1) a是实数，G=an|n是整数，运算是普通的乘法。 解： 封闭性：G中任取二个元素x与y，则x=an,y=am，则x y=aman=am+n，仍是a的(m+n)幂次方，即仍是G中的元素。 可结合性：G中任取三个元素x、y与z，则x=am,y=an,z=ap，则三个元素相乘的结果xyz=am
2、+n+p，显然满足可结合性。 单位元e=1=a0. 逆元 x=am，则x-1=a-m. 所以是群。 (2)Q*为正有理数，运算是普通的乘法。 解： 封闭性：两个正有理数的乘积仍是正有理数。 可结合性：三个正有理数显然满足 单位元e=1，1是正有理数 逆元a=m/n，m与n都是正有理数，则其逆元为a-1=n/m. 故为群。 (3) Q*为正有理数，运算是普通的加法。 封闭性：两个正有理数相加仍是正有理数 可结合性：显然满足 单位元：不存在，0不是正有理数，故为半群。 逆元：逆元为负有理数。 (4)一元实系数多项式的集合关于多项式的加法 封闭性：多项式相加是系数相加，实系数相加仍是实系数，故仍为实
3、系数多项式。 可结合性：三个多项式相加，实际上是系数相加，实数相加仍是满足可结合性。 单位元：0，即各项系数均为0的多项式，实际上就是数字0。 逆元：各项系数的相反数，即为逆元。 (5)一元实系数多项式的集合关于多项的乘法 封闭性：是实系数相乘，指数相加，结果仍是实系数，故仍为实系数多项式。 可结合性：3个多项式相乘，是系数相乘后再相加，指数相加，满足可结合性。 单位元：实数1为单位元，即多项式退化为常数1。 逆元：两个多项式相乘为结果1，(x+1) y=1，则y=1/(1+x)，显然1/(1+x)不是多项式，因此不存在逆元。 2、在实数R中定义二元运算*：a*b=a+b+ab，证明构成独异点
4、。 证： 封闭性：a与b是实数，则a+b是实数，ab也是实数，(a+b)+ab也是实数，故满足封闭性。 可结合律：任取三个实数a,b,c，则(a*b)*c=(a+b+ab)*c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c= a+b+c+ab+ac+bc+abc a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc 故(a*b)*c= a*(b*c)，所以满足可结合律。 单位元：a*e=a，则a+e+ae=a，故e+ae=0，故e(1+a)=0，考虑到a的任意性，要使该式为0，只有e=0了，显然a*e=a+e+ae=a，故0为单位元
5、构成独异点。 逆元：a*b=e，即a*b=0，即a+b+ab=0，即-a=b(1+a)，故b=-a/(1+a)，因此当a+1不为0时才有逆元，因此并不是所有的实数都有逆元。 当a=-1时，a*b=0为-1+b-b=0，即-1=0，而这是矛盾，故a=-1时没有逆元。 3、S=a,b,c，S上的*运算定义为：x*y=x，证明S关于*构成半群 证明： 封闭性：当x,y是S的元素时，x*y=x仍是S的元素，故满足封闭性。 可结合性：当x,y,z是S的元素时，注意到运算后的结果为第一个元素，则可知(x*y)*z=(x*y)=x，同样x*(y*z)=x，故(x*y)*z= x*(y*z) 单位元：若x*e
6、=e*x=x，则根据*运算的定义可知，x*e=x即为第一个元素，而e*x=e即为第一个元素，则x=e，即集合中只有一个元素时，这是不可能的，所以不可能含有单位元，只能构成半群。 4、设V=是半群，且a*a=b，证明：(a) a*b=b*a，(b)b*b=b (a)的证明 (1) a*b=a*(a*a) 因为b=a*a (2)a*(a*a)=(a*a)*a 因为满足结合律 (3)(a*a)*a=b*a 因为a*a=b (4)a*b=b*a 因为(1)(2)(3) (b)的证明 因为V是封闭的，故a*a,b*b,a*b,b*a a,b 又a*a=b,a*b=b*a，故集合a*a,b*b,a*b,b
7、*a=b,b*b,a*b a,b a*b只能是a或b中某一个。 当a*b=a时，两边同乘a可知 a*(a*b)=a*a，故(a*a)*b=a*a，故b*b=b 当a*b=b时，两边同乘a可知a*(a*b)=a*b，故(a*a)*b=a*b，故b*b=b 5、设Z是整数集合，在Z上定义二元运算为：x y=x+y-2，是否构成群？ 解：Z 封闭性：x y=x+y-2 Z是整数，故封闭 可结合律：(x y)z=(xy)+z-2=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 x(yz)=x+(yz)-2=x+(y+z-2)-2=x+y+z-4 故满足结合律 单位元 x e= ex=x，则x+e-2=e+x-
8、2=x，故e=2。 逆元 x y=yx=e，则x+y-2=y+x-2=2，故x+y-2=2，故y=4-x x-1=4-x 故构成群。 6、设G=是15阶群循环群，(1)求G的所有生成元，(2)求出G的所有子群。 解：G=a0,a1,a2,.,a14 由定理10.11可知，n阶循环群，对于任何小于n而与n互素的自然数r，ar是是G的生成元。 n=15，小于15而与15互素的整数是1,2,4,7,8,11,13,14 故其生成元有a1,a2,a4,a7,a8,a11,a13,a14. 由Lagrang定理可知，G的子群的阶必是n的因素数， 而15的因素数是1,3,5,15，而1与15是平凡子群，即e与G本身，因此只考虑非平凡的3阶与5阶子群，且a15=e 再由定理10.12可知，n阶循环群，对于n的每个正因子，G恰有一个d阶子群， 因此G只有一个3阶子群与一个5阶子群。 3阶子群的生成元是a15/3=a5，即为e,a5,a10 5阶子群的生成元是a15/5=a3，即为e,a3,a6,a9,a12
