1、泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解1第四章 方程 习题详解1.试按函数类别，将代数方程和超越方程作进一步分类，并列出分类表。解：一 次 方 程整 式 方 程 二 次 方 程有 理 方 程代 数 方 程 高 次 方 程分 式 方 程 阿方 程 无 理 方 程指 数 方 程对 数 方 程超 越 方 程 三 角 方 程反 三 角 方 程2.方程 和 在有理数集上是否同解？在实数集上呢？在复数210x4x集上呢？答：在有理数集和实数集上同解，在复数集上不同解。3.叛别下列各对方程在实数域上是否同解？为什么？（1） 和 ；31xx3解：不同解！的解集为 ；而 不是 的解。3,0x31x（2）
2、 和 ；11522x5解：不同解！的解为 ；而 不是 的解。5x1122xx（3） 和 ；21x2解：同解！两者的解同为 。3（4） 和 ；21x2x解：不同解！的解为 ，而 不是 的解。12x1x21x（5） 和 ；33泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解2解：同解！两者的解同为 。3x（6） 和 ；5lg0l解：同解！两者的解同为 。1x（7） 和 ；4ll解：不同解！的解为 ，而 不是 的解。4lg0x1xx4lg0x（8） 和 ；2g0解：同解！两者的解同为 。1x（9） 和 ；22l()lg1x解：同解！两者的解同为 。x（10） 和 。2312l(3)l()xx解：不同解
3、！的解为 ；而 不是 的解。2xx12lg(3)lg(1)x4.在实数域上解下列方程：（1） ；2()(2)3()1xxx解：去分母并整理得，230x解之得， ，12,x经检验， 都不是原方程的根，从而原方程无解。（2） ；241xx解：去分母并整理得，230解之得， ，12,x经检验， 不是原方程的根，故原方程的根只有 。1x泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解3（3） ；21295108369634()xx解：去分母并整理得，即 ，12x经检验， 是原方程的解。（4） ；1(6)5()10(5)3234xx解：去分母并整理得，2190x解之得， ， ，72x经检验，原方程的解为
4、和 。172x（5） 22 21107687xxx解：令 ，则方程化为y，110626y去分母并整理得，23y解之得， ，从而有 ，2376x即 ，解之得 。2901(73)2x（6） 。248()3x解：令 ，则方程化为y，2108解之得， ，24,3y泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解4从而有（1） ，解之得， ；423x123,1xx（2） ，解之得， 。4346,经检验， ， 都是原方程的解。12,xx34,x5.解下列方程：（1） ；322456xx解：去分母并整理得，4230解之得， ，283,x即 或 ，,6i经检验 和 均为原方程的解。3x2i（2） ；226469
5、(36)()()xx解：原方程可化为，22316(9)6(4)xx从而有 或 ，022964()()xx对 进行化简得226()6()x或 ，235140x从而 或 ，xi(2)经检验知原方程的解为 和 。6xi(126)5（3） ；23413717()9xx解： ()23泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解5，53(1)4()517(2)175(3)79 xxx，888632x，142xx，13，4xx，11()2(3)，4xx，371，52经验算， 是原方程的根。x（4） 。2210536815x解：令 ，从而原方程可变形为2yx，3，22560yx或 ，从而有（1） ，解之得，
6、 ；2815xx12771,iixx（2） ，解之得， 。2634,3经验算，知方程的解为 ，12771,iixx。347,73xx6.在实数域上解下列方程：泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解6（1） ；22194189xxx解： ，22xxx，2(1)(94189)，22 (4(189)xxxxx，63()(18，2()949)xx，1，2750x解之得， ，12,x经验算知原方程的根为 。125,x（2） ；537x解： ，x，22()()x，53537xx，12()0原方程无解。（3） ；218496xx解： ，221x，24(42)(42)96xxxx或 ，202()11x
7、泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解7当 时，解之得， ；240xx23x当 时，解之得， 。2(2)1916423x经检验，知 是增根，而 和 是原方程的根。43x23x（4） 。12()yzyz解： ，xx，2221()1)()3yzyz，22()30xx，2()0yz，解之得， 此为所求。102xz13xyz7.解下列方程：（1） ；3261540xx解： ，32()()xx，4720，2()xx解之得， 或 ，此为所求的解。3i（2） ；4326197610xx解： ，32()04)xx，1(泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解8解之得， ，1234,2xx即原方程
8、的解为 。1,x（3） ；43290xx解： ，1是原方程的解，利用综合除法可将原方程变为，2()30x所求解为 。1234,x（4） 54610x解： ，是原方程的解，1x利用综合除法可将原方程变为，4()30所求解为 ， 。12341xx538.作五次方程，使其各根分别为方程 各根的 倍。22480x(2)解：由 得 代入 并化简得yx2y3，5321680此为所求的五次方程。9.作三次方程，使其各根分别为方程 各根的倒数减 。3210x2解：令 ，即 ，代 入原方程得12yx12y2y，32()()()0去分母并整理得所求方程为。32164187yy10.设 的三根为 ， ， ，作一方程
9、使其根分别为 ，0x1x23 12x和 。231泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解9解：由已知有，123102xx设 ，从而有123x，01从而 32()()()()xxxx，21故所求方程为 。320x11.设方程 的三根为 ， ， ，作一方程使其根分别为1x23， ， 。123x213x312解：由已知得，123x， ， ，1123x2213xx3312x令 ，则 ，代 入原方程并化简得所求方程为txtt。325780t12.设多项式 能被 整除，求 和 。4326px2xqpq解：令 ，432227()(6)x t展开上式右端后比较两端系数得方程组泽文教学记录初等数学研究第四
10、章 方程 习题详解10，解之得， 或 。6723tqt17pq2113.解下列方程：（1） ；3620x解：利用卡当方法求解， ，得6,2pq，323()qu，31234(cos0in12)u由 ，则 ，从而pvvu，31234(cos0in12)v故根据 ，知原方程的根为xuv，3124，332()(2)xi。331(4)(4)i（2） ；3210x解：令 ，即 ，代 入原方程得txt1xt，360t利用卡当方法求解得原方程的根为，3124x泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解11，3321(4)(2)x i。333()()i（3） ；4320xx解：原方程可化为，22(1)(解之
11、得，所求解为，1233,xixi。34,（4） 。32510xx解：原方程可变形为，22()(解之得，所求的根为，12717,xixi。345,14. 解下列倒数方程：（1） ；4326160xx解： 上式两边同时除以 ，则2x，216()3()10x即 ，x解之得， 或 ，36解之得，原方程的根为 ， 。12,xii342,x（2） ；4307870x泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解12解：原方程可化为，2130()7()280xx即 ，16即 ，()80()xx解之得， 或 ，3210解之得， ，12345,xx从而知原方程的解为 。12342,5x（3） ；543510xx
12、解：原方程可化为，21()()9()64即 ，1530xx即 ，(1)()()解之得， ，0,4,1xxx解之得，所求根为。123455133,22ii（4） ；470x解：原方程可化为，213()()即 ，760xx即 ，1()2()3即 或 ，3xx解之得所求的解为， 。1253,345,（5） ；4390x泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解13解：原方程可变为，21()9()0xx即 ，4即 ，2()1()xx即 或 ，00解之得所求解为，12717,44xx。35,（6） 。76543221510xxx解：原方程可化为，32(1)()6()7解之得所求的根为，12,3ix。
13、4,56,752x15.已知 ， ， 和 都是一个四次倒数方程的根，求这个四次方程。13解：依题设有，(5)()0xx将上式化简即知所求的方程为。432189018516.解方程：（1） ；4()ix解：原方程可变为，4328(cosin)4xi从而知所求方程的解为。8 3()i(),01,23102k kk泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解14（2） ；610x解：原方程可变为，6cosin从而知所求方程的解为。22i,01,23456k kxi（3） ；84613x解：原方程可变为，22221()()03x解之得，所求解为。1,23,45,67,822ixxi（4） 。2()1
14、(3)40x解：原方程可化为，22(3)()6解之得所求解为。1,23,45,67,8112xiixii17.设 是方程 的一个根，求证方程 的另外两个根是 和 。a3c3xc2证明：由已知有 且 ，3,1从而知 互不相等，且2,c，3()a，232()ac从而知 和 是方程 的另外两个根。3x18.解下列含有参数的方程：（1） ；21()()xaxa解：显然， 且 ，原方程可化为0，2()x泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解15解之得， 。12,1xa经验算，它们都是原方程的解。（2） ；2bxaxb解：显然， ，原方程化简后可变为0。22()()0a分别讨论如下：若 ，则原方程
15、有无穷多解，它的解集为：b且 ；|,xR2ax若 ，则原方程只有两个解，它们分别为：0,a；12xb若 ，则原方程只有两个解，它们分别为：,；123x若 ，且 ，即 ，则原方程有三个0,ba,2ba()0ba解，它们分别为： 22221 3, .xx（3） ；()ababxb解：令 ，则原方程可化为2,uxv，2avb整理后得，()(0uuv即 或vbaba把 、 的表示式代入 ，得，2(3)xx解之得， 或 ；把 、 的表示式代入 ，得uv0buav，()()abx当 时，方程的解为 ；当 时，方程的解为 。0xR0bxb泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解16由于原方程的定义域为
16、 ，从而可知：|,2bxRx当 ，原方程的解集为： ；0ab| ,xb当 时，且 ，原方程的解集为： ；0,2ba,3a当 且 或 时，原方程的解集为： ；2当 且 时，原方程的解仅为 。abxa（4） ；1xxa解：当 时，方程无解；0当 时，原方程可化为222222()(1)1xxxxxxa，即 ， 221a与原方程联立后相加，得，2xxa上式两边平方并整理，得。224(1)(4)a当 时，方程无解，即原方程无解；当 且 时， ，方程可变为0210a。 2()41ax由于 ，20,(21)(),1aa或从而分别讨论如下：当 时，方程的解是 ，经检验知 的原方2241ax241ax程的解；当
17、 时，方程的解是 ，经检验知 是原方程的解；a00当 时，方程无实数解，即此时原方程无实数解；1当 时，方程的解为 ，经检验知它不是原方程的解，0241ax泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解17即此时原方程无解。综合知当 时， 是原方程的解；当 时， 是原方2a241ax2a0x程的解。（5） 。6233解：当 时，原方程可化为 ，解之得， ；0a3x0x当 时，原方程的解为 ；25a当 时，原方程的解为 。0ax19.求下列方程的整数解：（1） ；357xy解：显然， 是原方程的一个解，从而知所求的整数解为04。45,31xtZy（2） ；7y解：显然， 是原方程的一个解，从而知
18、所求的整数解为0319x。37,1954xtZy（3） ；82y解：显然， 是原方程的一个解，从而知所求的整数解为071x。752,18xtZy（4） 。6y解：显然， 是原方程的一个解，从而知所求的整数解为03x泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解18。37,xtZy20.试将 写成两个整数的和的形式，使其中一数为 的倍数，另一数为18 1的倍数。解：设这两个整数为 ，则有1,7(,)xyZ，1708xy即 ，3(2)1显然， 是上面这个方程的一个解，从而知所求整数解为05xy。317,tZ21.解下列方程：（1） ；(23)(3)4xx解： ，1原方程可变为，2(3)4(3)0x
19、x解之得， ，2当 时，有 ；(2)x1x当 时，有3原方程的解为 。x（2） ；lg()2415解： ，l()x，lg(2)l(415)x，20泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解19解之得， 。92x经检验知 是原方程的唯一解。（3） ；23(lg)l10xx解：方程的定义域为 ，从而有，23(lg)lgxx即 ，21l()l即 ，34g0x即 ，2(l1)lg1)x从而有 或 ，x24l0当 时，有 ；lg0当 时，由于 ，从而知这个方程实数解。24l1x2165综合知方程的解为 。0x（4） ；2log(35)log10a a解： ，2l()l01a ax，2log(35og
20、1log3a aaa，2x解之得， 。12,x经检验， 都是方程的解。（5） ；0.256log(4)1log(3)3xx解： ，0.256l()1l()x知它的定义域为 或 ，|3x4泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解20根据对数换底公式有，33332log6llog(4)11lxxxx即 ，33ll(4)xx解之得， （舍去） ， 。122经检验知 是原方程的解。（6） 。2(7)(7)60xx解： ，()()1xx即 或 。76070x当 时，有 ，此时方程无解；x2()7x当 时，有 ，解之得， 。6()10732x从而知原方程的解为 。7log32x22.解下列方程：（1
21、） ；26sin4i10解： ，sx，cosi2，34n，si55x令 ，则 ， ，i(0)24cos53arcsin5，sn)cosin()x，k即 ， 。322arcsin5xkkZ（2） ；1tansix泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解21解： ，1tansi2x，sicoi1tan0x即 sicsins2(cosin)txx，2sin(cosi)42xxkx从而有 ，即 ，此时方程组的解为 ，这sin042xk42xkxk ()xkZ也是原方程的解；或者， ，即 ，即1cos(sin)2xxkcosin12xk 2sin()42xk即 或者 ，3442xk 42xk从而
22、，或者， 。,4xkZ()xkZ综合知的方程的解为 或 。()k,4k（3） ；5sin()3cos366xx解： ，()泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解22，35coscos()26x从而所求为 。,kZ（4） ；2(3sinco)s(3)5xx解：（5） ；1tan1tan8xx解： ，tt3，tan1tan1tantan()3xxxx，t2t)830解之得， 或 （舍去） ，tanxtanx从而 ，故所求解为 。t1,4kZ（6） ；lg(sin)4lgcosl(1in)0xx解： ，s，2l(1si)lcsxx，gco从而 ，解之得， ，此为所求的解。2s0x2,xkZ（
23、7） ；1arcinrta74解：令 ，则 ，从而n(0)4，04，1ta3tan()n4，3rcrctarsin775从而原方程可化为，3arsinri5x泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解23从而所求解为 。35x（8） 。11arcsinarcos3x解:设 ,且 ,si1x且有 ,从而有co,21()3x解之得, 或 .7经检验,原方程只有一个根为 .1x23.设方程 恒有解，求实数 的范围。2 2sinicos0xmm解: ,2si3cos1m从而 ,其中 .2n()x23cos,sin1从而知 有解的条件是1si()3,|21|3m解之得,所求的范围为 .1313| 2
24、2m24.解下列方程组：（1）21,;3xy解： ，213xy泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解24，2()311xyxy设 代入上式，得,uxyv，2(3)1v解之得， ，或 。39u126v当 时，有 ，解之得， ， ；v3xy352xy352xy当 时，有 ，解之得， 。1236uv1236xy6x综合知所求解为 ， ， 。523y352y6xy（2） 21634;xy解： ，2;xy，136()24xy设 ，代入上式，得,uvy，解之得， ， （舍去） ， （舍去） ，136243108uv3108uv泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解25。3108uv当 时，
25、有 ，解之得， ；3108yx912,xy当 时，有 ，解之得，3108uvxy。4734722,3iixyy综合知所求解为 ， 。912,xy34734722,iixxyy（3）23,1()7;xyx解： 22,();，2()317xyxy设 ，代入上式，得,uv，23从而有 ，27140u解之得， ，或 ，327从而知 ， 。712uv3249当 时，有 ，解之得， ；v7xy43,xy泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解26当 时，有 ，解之得， 。327149uv327149xy3243277,4xxyy综合知所求解为 ， 。3,xy23277,3xxyy（4）33120xy
26、解： ，33x，23()()120yyx令 ，代入上式，得,uxv23()12，解之得， ，或 。2uv2uv当 时，有 ，此时有 ，从而知这时方程组无解；xy20x当 时，有 ，解之得， 。2uv2xy13,xyy综合知所求解为 。13,（5） ()2()923xyxy解： ，(1)(1)2929xyxy，1430867泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解27解之得， ， ，此为所求的解。0xy32（6）25,3;xy解： 2,;xy22()()453xy设 ，代入上式，得,uv，2453设 ，代入上式，得utv，24(1)53t解之得， ，或 。tv3tvi进而得， ，或 。1u
27、i从而解之得， 。2,2xxiiyy（7）13,2;xyy（8）22163409850,162;xxyy泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解28（9） 2213,9;xyz（10）22()(),1.xyzx25.解下列方程组：（1）65,20;xyy解：设 ，则有xt，152t解之得， 和 ，t2t当 时，有t解之得， ；61,20xy423xy当 时，有t解之得， 。62,0xy32xy综合知所求解为 和 。4xy（2）44153,;x解：设 ，则有44,uvy，4317v泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解29解之得， 或 。12uv当 时，有 ，即 ；45xy01xy
28、当 时，有 ，即 。21uv425134（3）20,8;xy解：设 ，则原方程可变为2()t，解之得， ；23(1)40,8xxt 23t，解之得， （与 矛盾，舍去） 。23(),()10txt0t当 时，有 ，即 ，从而 ，即方程组的23t23()42,(0)18,xx18y解为 。8xy（4）22161(),4.5yxyx解：原方程组可化为，25()30145yx即 ，29()65yx泽文教学记录初等数学研究第四章 方程 习题详解30解之得， 此即为所求的解。2165,.xy26. 解下列方程组：（1）2461,.xy解：设 ，从而原方程可变为0,6xyuv，即 ，214v24解之得， 或 。2uvv当 时，即 ，解之得， ；v642xy164xy当 时，即 ，解之得， 。2uv642xy16xy综合知所求解为 和 。164xy（2） 0.5221log()log(),;xy解： 0.522l()l(),;xyy0.50.52log()log,;yx
