1、其中记号 表示，=，三个符号之一。,线性规划问题的一般数学模型,1.3 线性规划的标准型,线性规划的标准形,目标函数可为最小值，也可为最大值。 约束条件可以是线性方程组， 也可以是线性不等式组。 为讨论方便，用统一的形式 标准形。,约束方程组(1.2) 中不含有多余方程。,约定,注：约定意味着方程的个数不大于变量的个数。,若要求目标函数的最小值,只需令z=-z, 再求z 的最大值,将线性规划模型化为标准型的主要步骤：,若约束关系是不等式，引入松弛变量(slackvariables) ,把不等式改成等式。,当约束条件是“”不等式，在“”不等式的左端减去一个非负松弛变量，把“”不等式变为等式。,当
2、约束条件是“”不等式时，在“”不等式左端加入非负松弛变量， 把原“”不等式变为等式；,若变量不满足“0”。,当,，可记,用,代替,当,无约束时，,可记,其中,用,代替,注：任意实数都可以表示为两个非负实数的差，,当bi0，则在约束方程两边同乘-1。,解 先引入三个松弛变量,在每个约束不等式中分别加上松弛变量使不等式化为等式，,3x1+2x2 18,3x1+2x2+x3 =18,x1 4,2x2 12,x1 +x4 =4,2x2 +x5=12,例1 将下列线性规划化成标准形。,+x3,+x4,+x5,得到标准形：,例2 将下列线性规划化成标准形。,可以看成没有被利用的资源，当然不会产生利润，故在
3、目标函数中的系数应为0。此时，z仍可简写为,注：加入的松弛变量,标准型为：,线性规划问题标准形的矩阵表示：,A为系数矩阵；b是资源向量，C是价值向量，X为决策变量向量。,则线性规划标准形的矩阵表示为：,线性规划问题的向量表示:,目标函数z = CX可写成：,z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n,此时约束方程AX=b可写成：,P 1 x 1 + P 2 x 2 + + P n x n = b,则线性规划标准形的向量表示为：,max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n,s.t. P 1 x 1 + P 2 x 2 + + P n x n = b, x j 0, j = 1 , 2 , , n,
