1、第四章 线性规划本章主要内容：线性规划的基本理论 线性规划的单纯形法 线性规划的对偶理论 线性规划的对偶单纯形法教学目的及要求：理解线性规划的基本理论；掌握线性规划的单纯形法；理解线性规划的对偶理论；掌握线性规划的对偶单纯形法。教学重点：线性规划的单纯形法教学难点：线性规划的对偶单纯形法教学方法：启发式教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合教学时间：6 学时教学内容：4.1 线性规划的基本理论考虑线性规划问题(LP)1min;,2,0.jijijcxabmxns.t或 min;,0.TcxAbs.t其中 121212(,),(,),(,),(),TTTnnmijmnxxccbbAa 称为约束矩
2、阵， 称为约束方程组， 称为非负约束假定：b0xrank()Am定义 在（LP）中，满足约束方程组及非负约束的向量 称为可行解或可x行点；所有可行解的全体称为可行解集或可行域，记作 ，即K,0KAxb使目标函数在 上取到最小值的可行解称为最优解；最优解对应的目标函数值称为最优值定义 在（LP）中，约束矩阵 的任意一个 阶满秩子方阵 称为基，AmB中 个线性无关的列向量称为基向量， 中与 的列对应的分量称为关于BmxB的基变量，其余的变量称为关于 的非基变量任取（LP）的一个基 ，记 ，若令12(,)mjjBp 12(,)mTBjjx关于 的非基变量都取 0，则约束方程 变为 由于 是满秩方阵，
3、BAxb因此 有唯一解 xb1Bxb记 ，则由12(,)mTjj 12,0,kkjj mxnjj 所构成的 维向量 是 的一个解，称之为（LP ）的关于 的基本解nAbB基本解满足约束方程组，但不一定满足非负约束，所以不一定是可行解若 ，即基本解 也是可行解，则称 为（LP）的关于基 的基本10Bbxx可行解，相应的基 称为（LP）的可行基；当 时，称此基本可行解10Bb是非退化的，否则，称之为退化的若一个（LP ）的所有基本可行解都是非x退化的，则称该（LP）是非退化的，否则，称它是退化的例 1 求下列线性规划问题的所有基本可行解 2134min4;,0,.jxxs.t解 约束矩阵的 4 个
4、列向量依次为123410,1pp全部基为 13214323424534(,)(,)(,)(,)(,)BBppBp对于 ， 和 为基变量， 和 为非基变量令 = =0，有xxx134,2x得到关于 的基本解 ，它不是可行解1B(1),06)Tx对于 ， 和 为基变量， 和 为非基变量令 = =0，有242x32x314,x得到关于 的基本解 ，它是一个非退化的基本可行解2B(2)4,06)Tx同理，可求得关于 的基本解分别为35B，(3) (4) (5),0,42)TTTxxx显然， 和 均是非退化的基本可行解，而 不是可行解因此，该问题()(5) ()的所有基本可行解为 此外，因为这些基本可行
5、解都是非退化的，(2)3(5),x所以该问题是非退化的定理 1 设 为（LP）的可行解，则 为（LP）的基本可行解的充要条件x是它的非零分量所对应的列向量线性无关证明 不妨设 的前 个分量为正分量，即xr12(,0),0(1,2).Trjxr 若 是基本可行解，则取正值的变量 必定是基变量，而这些基变量x 12,r对应的列向量 是基向量故必定线性相关12,rp反之，若 线性无关，则必有 当 时，12,r 0rmr就是一个基；当 时，一定可以从约束矩阵 的后 个()rBp Anr列向量中选出 个，不妨设为 ，使m12,rmp成为一个基由于 是可行解，因此 ，121(,)rmp x1rjxpb从而
6、必有 由此可知 是关于 的基本可行解1mjxpbxB定理 2 是（LP）的基本可行解的充要条件是 为（LP ）的可行域的极x点证明 由定理 4.1.1 和定理 2.2.2 知结论成立例 2 求下列线性规划问题的可行域的极点 1234min;,0,.jxxs.t解 因为约束矩阵的 4 个列向量依次为123410,0pp全部基为 12131424534(,)(,)(,)(,)(,)BBppBp求得关于基 的基本解分别为145,(1) (2) (3) (4) (5),00,0,0,1,0,2)TTTTTxxxxx 显然， 均为退化的基本可行解， 是非退化的基本可行解可()(3), ()5行域有三个极
7、点： ， ， 2,)T(,12T,2T定理 3 若（LP）有可行解，则它必有基本可行解证明 由定理 2.2.1 及定理 4.1.2 知结论成立定理 4 若（LP）的可行域 非空有界，则（LP）必存在最优解，且其中K至少有一个基本可行解为最优解证明 根据推论 2.2.6， （LP）的任一可行解 都可表示为（ LP）的全部基x本可行解 的凸组合，即 ，其中12,kx 1,kixK10(,),i i设 是使（LP）中目标函数值达到最小的基本可行解，即 sx，则1minTTikc11,kkTTTiisscxcxxK这表明，基本可行解 为（LP）的最优解s定理 5 设（LP）的可行域 无界，则（LP）存
8、在最优解的充要条件是对K的任一极方向 ，均有 Kd0Tc证明 根据定理 2.2.10， （LP）的任一可行解 都可写成x，其中 为（LP）的全部基本可行解，11klijjx12,kx为 的全部极方向，且2,ld K10(,2),0(1,2)ki ij l 于是， （LP）等价于下面以 为决策变量(,),i j l 和的线性规划问题 11min()();,02,1.klTTi jjkiijcxcdkl s.t由于 可以任意大，因此若存在某个 ，使 ，则上述问题的目标函数jjd0Tjc无下界，从而不存在最优解，从而（LP）不存在最优解若 ，均有 ，设 ，则1,2jl 0Tjc1minTTsikx1
9、1()(),klTi jsi jxcdxK所以基本可行解 是（LP）的最优解s推论 6 若（LP）的可行域 无界，且（LP）存在最优解，则至少存在一K个基本可行解为最优解证明 由定理 4.1.5 的证明过程可知结论成立定理 7 设在（LP）的全部基本可行解 中，使目标函数值最小12,kx者为 ；在 的全部极方向 中，满足 者为12,siix K12,ld 0Tjcd若（LP）存在最优解，则 为（LP ）的最优解的充要条件是存12tjjd x在 10(,2),0(1,2)p pqsi ij t 使 11pqstijxd（*）证明 因为（LP）存在最优解，所以由定理 4.1.4 和推论 4.1.6
10、 及其证明知，基本可行解 是（LP）的最优解12,siix设 具有（*）式的形式，则由推论 2.2.6 和定理 2.2.10 知， 为（LP ）的x可行解，从而由（*）式知， 111pqstTTTiijjicxcd因此， 为（LP）的最优解x反之，设 为（LP）的任一最优解，则 为可行解，于是由推论 2.2.6 和定x理 2.2.10 知，存在 ，10(,2),0(1,2)ki ij l 使 11klijjxd（*）根据定理 1.1.5，有 ，0,12,Tjcdl且由 为最优解知 1ix1iixk从而由上述两式容易用反证法证明：若（*）式中某个 ，则 必为0iix（LP）的最优解；若（*）式中
11、某个 ，则必有 。由此知，最优0jTjcd解 必具有（*）式的形式x（LP）的解有四种可能：（1） （LP）有唯一最优解（此时， 的最优值恰在 的一个极点上达到）TcxK；（2） （LP）有无穷多个最优解（此时， 的最优值在 的一段边界上达T到） ；（3） （LP）有可行解，但无最优解（此时， 无界且 在 上无下界） ；KTcx（4） （LP）无可行解4.2 单纯形法需解决三个问题：（1）求(LP) 的初始基本可行解的方法；（2）判别一个基本可行解是否为最优解的准则；（3）从一个基本可行解转换到使目标函数值下降到另一个基本可行解的方法1、最优性条件设 是（LP）的一个基本可行解，为了叙述上的方
12、便，先设 对应的基为x x，从而 为基变量， 为非基变量记12(,)mBp 12,mx 12,mnx，1212)(,)()TTnBNNpxx 于是 ，即知 等价于 由此解(,),NxcAAbBNb得 1BNxbx（4.2.1）在（4.2.1）式中，令 ，即知 ，从而得基本解 将0Nx1Bxb 10Bbx（4.2.1）式代入目标函数，有，1 11()()TT TTTBNBNBBNcxcxbxccx 即 11()Nfb以上推导表明，对于给定的一个基 ，(LP)可化为如下的等价形式：11min();,0.TTTBBNNfcbcxxs.t（4.2.2）称（4.2.2）式为(LP) 关于基 （或基本可行
13、解 ）的典式Bx如果 对应的基 为一般形式，即 ，则通过类似的推导，x 12(,)mjjp可得关于一般基 的典式仍具有（4.2.2）式的形式只是此时， 为非基变量构成的 维向量， 是非基变量对应12(,)mTBjj NxnN的列向量构成的 矩阵； ， 为目标函数中非基变(n12(,)mTBjjcc量的系数构成的 维向量下面把关于一般基 的典式（4.2.2）用代数式来表示设 ，它表示非基变量的指标集，并令121,2,mRnjj ，01212 21012, nmmmnbbbBA，1 1,T TjBj BcpjRfcb 则（4.2.2）式等价于0in;,1,2,.i jjRjijijfxxbmns.
14、t（4.2.3）记 ，则基变量对应的部分 ；而非基变量1()TTBcA 1()0TTBBc对应的部分 ，它是由前面所定义的 构成的向量1()TNBNc (jR定理 1 设 是（LP）的关于 的基本可行解，若 ，则 是（LP ）x Nx的最优解；若 是（LP）的非退化的最优解，则 0称为变量 的检验数jjx定理 2 设 是（LP）的一个基，若关于 的典式（4.2.3）中存在 ，BBrR使 ，则存在可行域 的一个极方向 ，使 0,1,irbim KdTrc定理 3 设 为（LP）的基本可行解，若关于 的典式（4.2.3）中有某个x x检验数 ，且 ，则（LP ）无最优解()rR0,1,2irbim
15、2、基本可行解的改进定理 4 设 是（LP）的一个基，且 ，12(,)mjjBp rR则 为（LP）的一个基的充要条件是关于 的典111(,ssjjrjjp B式（4.2.3）中 0srb定理 5 设 为（LP）的非退化的基本可行解，若关于 的典式（4.2.3）x x中有 ，且至少有一个 ，则必存在另一个基本可行()rR0(1)irbim解 ，使 xTcx3、单纯形法的算法步骤改进基本可行解的方法：把对应于正检验数 的非基变量 变成基变量，rrx称它为进基变量，而从原基变量中按 确定00min|,12,sirrbbim变为非基变量，称它为离基变量sjx现在来讨论如何从关于基 的典式（4.2.3
16、）式导出关于新12(,)mjjBp基 的典式为此将典式（4.2.3）中的系数写成表111(,)ssmjjrjjBpp 4.2.1 的表格形式表 4.2.1 单纯形表 ()TB1x rx nx1jb 1rb 1b10sjx1s sr sn0smj1b mrb mnb0f r f这个表称为（LP）关于基 的单纯形表，记为 于是只要说明怎样B()TB从原单纯形表 导出新的单纯形表 即可按照解线性方程组的 Gauss-()T()TJordan 消去法思想，要使 变成基变量，必须把 中 所在的列变成单位rx()rx向量因此可得单纯形表的变换规则如下：（1）把 中第 行同除以 作为新的第 行（这样把 所在
17、的列中第()TBssrbsr个元素变成 1） ，即 ；s 1):()sr行 行（2）把表中新的第 行乘以 加到第 行 ，得到新的第 行（把irbi()si所在的列中第 个元素变成 0） ，即rxi；():(),1,2irisims行 行 行（3）把表中新的第 行乘以 加到第 行，得到新的第 行（把sr1的检验数变成 0） ，即 rx(1):()()rms行 行 行上述变换称为 旋转变换，元素 称为主元，主元所在的行和列分别称,srsrb为主元行和主元列算法 4-1（单纯形法）Step1 对于一个已知的可行基 ，求出关于 的单纯形12(,)mjjBp B表 ()TBStep2 如果所有 ，则关于
18、 的基本可行解 便是0(,)j n x（LP）的最优解， 是最优值，此时的 称为最优单纯形表，算法结束；fTB否则，转 Step3Step3 如果有 ，使 中 所在的列 ，则0r()rx12(,)0Trmrb（LP）无最优解，算法终止；否则，转 Step4Step4 令 为最大正检验数中指标最小者，即r， 0min|axjljr（4.2.12）取 为进基变量；令 为比值最小的行中指标最小者，即rxsj， 00in|inrksbjj（4.2.13）取 为离基变量sjxStep5 以 为主元进行 旋转变换，得到新的单纯形表 以 取srb,sr ()TB代 ，返回 Step2B从 Step2 到 S
19、tep5 的每一次循环称为一次单纯形迭代式（4.2.12）和（4.2.13）分别称为 Dantzig 进基规则和离基规则，统称为Dantzig 规则例 3 求解线性规划问题 1234125min;,06,.jfxxs.t解1x23x45x31 1 1 0 0 54x-1 1 0 1 0 056* 2 0 0 1 21f2 1 0 0 0 03x0 2/3* 1 0 -1/6 3/240 4/3 0 1 1/6 7/21x1 1/3 0 0 1/6 7/2f0 1/3 0 0 -1/3 -72x0 1 3/2 0 -1/4 9/440 0 -2 1 1/2 1/21x1 0 -1/2 0 1/4
20、 11/4f0 0 -1/2 0 -1/4 -31/4最优解为 ，最优值为-31/4(/4,9,/2)Tx4、退化情形的处理Bland 规则：（1）进基规则：由 确定 为进基变量；min|0jrrx（2）离基规则：由 确定 为离基变量0i|inrksbjsj5、初始基本可行解的求法考虑线性规划问题(LP) min;,0.TcxAbs.t且不妨设 ，但并不要求 为行满秩矩阵寻找初始基本可行解的方法主要有两阶段法和大 法我们只介绍两阶段M法在第一阶段先求解如下的线性规划问题(LP1)1min;,12,0,.niiijijgxabmxs.t其中 称为人工变量因 ，故(LP1)有一个现成的基本可行(1
21、,2)nixm 0b解：，与之对应的基为单位矩阵，从而目标0,;,12,j nixb 函数 可改写为 ，于是得到(LP1)的g11111()mnmnniiijiiji jgaxbax一个单纯形表如表 4.2.2表 4.2.2 两阶段法初始单纯形表1x nx1n nmxna 1a1 0 1bnmx1 mn0 1 mg1ia 1ina0 0 1ib由于目标函数 ，即它在(LP1)的可行域上有下界，因此(LP1) 必有最优0解于是从单纯形表 4.2.2 出发，通过单纯形迭代必可求得(LP1)的最优解设最优解为 ，对应的基为 ，其中 ，xyB1212(,),(,)TTnnnmxxyx 分三种情况讨论（
22、1） 。此时(LP) 无可行解。因为假若 (LP)存在一个可行解 ，则0 x为(LP1)的可行解，且对应的目标函数 的值为 0，这与0x g相矛盾1min0niig（2） 且人工变量 都是非基变量这时 是(LP)的可y(1,2)nixm x行解又因基变量全在 之中，故对应的基 必为 的子方阵，所以12, BA为(LP)的基本可行解x（3） 且基变量中含有人工变量，设 为基变量，则(LP1)关于 的0ynsx B单纯形表 中 所在的第 行对应的方程为()TBnsxs， ,0ssjsnijJiIbxx（4.2.14）这里 为 中非基变量的指标集， 为人工变量中非基变量的指标集J12,nx I如果（
23、4.2.14）式中所有 ，则有 。这说明0()sjbJ,0nssniiIxbx人工变量 可由诸人工变量 线性表出，从而可知原约束方程组nsxnixI中第 个方程可由另外一些方程（即人工变量 对应的那些约束Ab ()nixI方程）的适当线性组合来表示，因此，第 个约束方程是多余的，应当删去，s这相当于从 中删去第 行()TBs如果（4.2.14）中存在 ，使 ，则由定理 4.2.4 知，以 为主元rJ0srbsrb进行 旋转变换，得到(LP1)的新的单纯形表，它对应的基本可行解仍为,sr(LP1)的最优解，但新的基变量中减少了一个人工变量 若新的基变量中还nsx有人工变量，再重复此法，经过有限次
24、，必能化为（2）的情形综上所述，对于不具有明显可行基的(LP)，可先用单纯形法解(LP1) ，解的结果或者说明(LP) 无可行解，或者找到 (LP)的一个基本可行解然后再从这个基本可行解开始应用单纯形法求解(LP)，这是两阶段法的第二阶段注意，在第一阶段迭代过程中，人工变量一旦离开基，随之也就失去了作用，故可从单纯形表中删去人工变量所在的列例 4 求解线性规划问题12323451min;,4,0,.jfxxxs.t（4.2.15）解 只需引进两个人工变量 和 ，相应的(LP1)如下：6x7672346157min;,4,0,.jgxxxs.t12x34x56x76x0 1 2 1 0 1 0
25、45-1 2 1 1 1 0 0 47x3 0 3* 1 0 0 1 4g3 1 5 2 0 0 0 8f1 3 -1 0 0 0 0 06x-2 1 0 1/3 0 1 4/35-2 2* 0 2/3 1 0 8/33x1 0 1 1/3 0 0 4/3g-2 1 0 1/3 0 0 4/3f2 3 0 1/3 0 0 4/36x-1* 0 0 0 -1/2 1 02x-1 1 0 1/3 1/2 0 4/331 0 1 1/3 0 0 4/3g-1 0 0 0 -1/2 0 0f5 0 0 -2/3 -3/2 0 -8/31x1 0 0 0 1/2 020 1 0 1/3 1 4/33x0
26、 0 1 1/3 -1/2 4/3f0 0 0 -2/3 -4 8/3最优解和最优值分别为 ， =8/3(,4/3,)Txf6、单纯形法的几何解释定理 6 设 是（LP）关于基 的基本可行解，对 进行一次单纯形迭xB()B代得到新的基本可行解 ，若 是非退化的，则 与 是（LP）的可行域 的xxK相邻极点4.3 对偶理论定义 设有线性规划问题 min;,0.TcxAbs.t（4.3.1）及 ax;,0.TbyAcs.t（4.3.2）称问题（4.3.2）为问题（4.3.1）的对偶问题，并称问题（4.3.1）为原问题定理 1 对偶问题的对偶是原问题下面给出其它形式的线性规划问题的对偶问题标准形式的
27、线性规划问题 min;,0.TcxAbs.t（LP）的对偶问题如下：max;.TbyAcs.t（DP）一般的线性规划问题12121in;,0.TcxAbs.t（P）的对偶问题如下：12121max;,0.TTbyAcys.t（D）原问题与对偶问题的对应关系表原问题 min 对偶问题 max0变量 无限制行约束 =0行约束 =变量 无限制例 5 求如下线性规划问题的对偶问题123412344min;,572,0,.xxxs.t解 先把上述线性规划问题写成如下形式 123412344min;,5,720,.xxs.t它的对偶问题为 1233123max5;,7,0,.yys.t下面总假设在(P)中
28、， 是行满秩矩阵12A定理 2 设 和 分别为（P ）和（D ）的可行解，则12x12y1212TTcxby定理 3 （P）和（D）都有最优解的充要条件是它们都有可行解定理 4 设 和 分别是（P）和（D）的可行解，则它们分别为12x12y（P）和（ D）的最优解的充要条件是 1212TTcxby定理 5 在（P）和（D）中，若有一个有最优解，则另一个也有最优解，且（P）和（ D）的最优值相等若其中一个有可行解但无最优解，则另一个必无可行解定理 6 设 和 分别是（P）和（D）的可行解，则它们分别为12x12y（P）和（D ）的最优解的充要条件是 （互1121()0,.TTyAxbcyx补松弛
29、条件）推论 7 设 和 分别为原问题（4.3.1）和对偶问题（4.3.2）的可行解，xy为行满秩的，则它们分别为问题（4.3.1）和（4.3.2 ）的最优解的充要条件是A()0,.TAxbcy推论 8 设 和 分别为（LP）和（DP）的可行解， 为行满秩的，则它xy A们分别为（LP）和（DP）的最优解的充要条件是 ()0Tcyx定理 4.3.6 中的互补松弛条件表明：对于（P）和（ D）的最优解，若（P）的第 个不等式约束为松约束，则（D）的第 个非负约束为紧约束；若（D ）的i i第 个非负约束为松约束，则（P）的第 个不等式约束为紧约束；若（P）的第个非负约束为松约束，则（D）的第 个不
30、等式约束为紧约束；若（ D）的j j第 个不等式约束为松约束，则（P）的第 个非负约束为紧约束4.4 对偶单纯形法1、对偶单纯形法的算法步骤设 为(LP)中关于基 的基本解，令 若 和 分别是(LP) 和xB1()TBycxy(DP)的可行解，则 ，这等价于TAyc，1()0TTBcAyc即 对应的检验数全部非正，故由定理 4.2.1 知， 是(LP)的最优解而x x，1TTTBbyb所以由定理 4.3.4 知， 是 (DP)的最优解这不但说明可以由(LP)的最优解得y出(DP)的最优解，而且表明：(LP) 中关于基 的基本解 对应的检验数全部非x正当且仅当 为(DP)的可行解因此，我们引入如
31、下的概念1()TBc定义 (LP)中检验数全部非正的基本解称为对偶可行解或正则解，相应的基称为对偶可行基或正则基算法 4-2（对偶单纯形法）Step1 选取(LP)的一个关于正则基 的正则解 ，列出单纯形表 Bx()TBStep2 若 ，则 是最优解，算法结束；否则，按0(1,2)ibm选取 为离基变量0min|niskijjsjxStep3 若 ，则(LP)无可行解，算法终止；否则，按()sjR选取 为进基变量0in|isjjlbrrxStep4 以 为主元进行 旋转变换，得到新的单纯形表 以 取sr,s ()TB代 （ 亦为正则基） ，返回 Step2B例 6 用对偶单纯形法求解线性规划问
32、题 123123min;,4,0.fxxs.t解 引进变量 将给定的线性规划问题化为标准形式：456,x1234512364min;,1,0.fxxs.t1x23x45x64-2 -1 -1 1 0 0 -35x-3* -2 0 0 1 0 -46-1 -2 1 0 0 1 -1f-1 -3 -1 0 0 0 04x0 1/3 -1 1 -2/3* 0 -1/311 2/3 0 0 -1/3 0 4/36x0 -4/3 1 0 -1/3 1 1/3f0 -7/3 -1 0 -1/3 0 4/35x0 -1/2 3/2 -3/2 1 0 1/211 1/2 1/2 -1/2 0 0 3/26x0
33、 -3/2 3/2 -1/2 0 1 1/2f0 -5/2 -1/2 -1/2 0 0 3/2最优解为 最优值为 3,2Tx322、退化情形的处理Bland 规则：（1）离基规则：由 确定 为离基变量；0min|sijjbsjx（2）进基规则：由 确定 为进基变量0i|sjjlbrr3、初始正则解的求法设已知(LP)的关于基 的基本解 ，它不是正则解（也不必是可行解） ，对Bx应的典式为0min;,12,.i jjRjiijjfxbxmns.t（4.4.1）引进一个人工约束 ，其中 表示充分大的正数， 为引进的1jnRxM1nx变量把这个约束添加到（4.4.1）式中得到一个新的线性规划问题01
34、min;,12,.i jjRjiijnjRjfxxbmMxxns.t（4.4.2）问题（4.4.2）称为(LP) 关于基 的扩充问题B对于扩充问题（4.4.2） ，按下述方法处理，即可得出它的一个正则解设 max|0,rjjR选取 为进基变量，并指定 为离基变量，以 为主元作 旋rx1n1,mrb1,r转变换，得到新的典式，易知新的典式中目标函数的表达式为：，1rjrjrnjRrfMx其中检验数 所以，经上述迭代所得的新的0,;0jr基本解便是（4.4.2）式的正则解扩充问题（4.4.2）有了初始正则解后，便可开始对偶单纯形迭代 迭代结果有且仅有下列三种可能情形：（1）扩充问题无可行解，则 也
35、无可行解；LP（2）扩充问题有最优解 ，且扩充问题的最优值与 无关，121,Tnx M则 是 的最优解；11,Tnx （3）扩充问题有最优解 ，但扩充问题的最优值与 有关，121,Tnx则 无最优解LP例 7 求解线性规划问题： 231423min;5,1,0.fxs.t解 显然 为一个基，但既不是可行基也不是正则基，因为对应的基14,p本解 且检验数 增加人工约束 5,01,Tx20,235xM1x3x411 1 2 0 0 54x0 1 -1 1 0 -1*50 1* 1 0 1 Mf0 2 -3 0 0 01x1 0 1 0 -1 - +540 0 -2 1 -1* - -12x0 1
36、1 0 1 Mf0 0 -5 0 -2 -21x1 0 3 -1 0 650 0 2 -1 1 +12x0 1 -1* 1 0 -1f0 0 -1 -2 0 21x1 3 0 2 0 350 2 0 1 1 -1M3x0 -1 1 -1 0 1f0 -1 0 -3 0 3最优解为 ，最优值为 3,1Tx4.5 MATLAB 中线性规划问题求解函数介绍线性规划问题是最简单的有约束最优化问题，所有的线性规划问题都可由化为下列式子描述： xfzminMmeqexBAs.tMatlab 中定义的标准型是求最小值，如要求最大值，则将 改为 即可，如约xfTf-T束条件中某个式子是“ ”关系式，则在不等式
37、两边同时乘以1 就可转换成“ ”关系式 求线性规划，单纯形法是最有效的一种方法，matlab 的最优化工具箱中实现了这种算法，提供了求解线性规划问题的 linprog( )函数该函数条用格式如下：(1) X=LINPROG(f,A,b) 用来求解 如下线性规划问题:xfzmin st bA(2) X=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq) 用来求解 如下线性规划问题:fzist eqex(3)X=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0) 用来求解 如下线性规划问题:fzminst UBxLbAeqe其中：X0 为初始搜索点，也可以不写，由计算机自己设定初始搜索点各个
38、矩阵如果不存在，则应该用空矩阵来占位例 8 求解下面的线性规划问题Max 54321 xxxst 2.7x0.68,.,x0, -54325421321解 在 Matlab 键入:f=-2;-1;-4;-3;-1;A=0,2,1,4,2;3,4,5,-1,-1;b=54;62;Ae=;be=;LB=0,0,332,0678,257;UB=inf;X=LINPROG(f,A,b,Ae,be,LB,UB)结果为Optimization terminated successfullyX =197850000003320011385025700例 9 用 matlab 求解例 6 的线性规划问题 0,931242113x.tsxzmax解 在 Matlab 键入：f=3,0,-1;A=1, 1, 1;2,-1,1;b=4;1;Ae=0,3,1; be=9;LB=0,0,0;UB=inf;结果为Optimization terminated successfullyX =000002500015000
