1、-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-2015 年高中数学几何概型自测试题【梳理自测】1一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )A. B.15 25C. D.35 452如右图，正方形 ABCD 的边长为 2，EBC 为正三角形若向正方形 ABCD 内随机投掷一个质点，则它落在EBC 内的概率为( )A. B.32 34C. D.12 143如图所示，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 ，则阴影区域的面积为( )23A. B.43 83C
2、. D无法计算234如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 60角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在xOT 内的概率为_5在区间1，2上随机取一个数 x，则 x0，1的概率为_答案：1. B 2. B 3. B 4. 5.16 13以上题目主要考查了以下内容：(1)几何概型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型特点：a无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个，-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-b等可能性：每个基本事件出现的可能性相等(2)几何概型的概率公式P(A) 构 成
3、事 件 A的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）【指点迷津】 1一个判定标准试验结果无限且等可能2两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决考向一 与长度、角度有关的几何概型例题 1 (1)已知一只蚂蚁在边长分别为 5，12，13 的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于 1 的地方的概率为_(2)如图，四边形
4、 ABCD 为矩形，AB ，BC1，以 A 为圆3 心，1 为半径作四分之一个圆弧 DE，在DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与线 段 BC 有公共点的概率为_【审题视点】 (1)把三角形边长拉成直线段，分为三段蚂蚁在距两端和分点处的距离都为1，是直线型概型(2)当 P 在 BC 上，射线 AP，分布在DAE 内的位置，是与角度有关的几何概型【典例精讲】 (1)把三角形 ABC 三边拉成直线段 AB、BC、CA，则总长度为 5131230.分别 A、B、C 为圆心，半径为 1，画圆弧交各边于 D1，D 2，D 3，D 4，D 5，D 6.当蚂蚁在线段D1D3，D 4D5，D 6D2上适合
5、题意，其概率 P .11 10 330 45-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-(2)连接 AC， tanCAB ，BCAB 13 33CAB ， 6其概率为 P . 6 2 13【答案】 (1) (2)45 13【类题通法】 (1)当取点的区域是与长度有关的几何概型时，其计算方法是用线段的长度(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段变式训练1(1)在集合 Am|关于 x 的方程 x2mx m10 无实根中随机地取一元素 m，恰使式子34lg m 有意义的概率为_(2)如图，在ABC 中，B60，C45，
6、高 AD ，在BAC 内作射线 AM 交 BC 于点3M，求 BM1 的概率_解析：(1)由 m 24 0 得1m4.(34m 1)即 Am|1m4由 lg m 有意义知 m0，即使 lg m 有意义的范围是(0，4)，故所求概率为 P .4 04 （ 1） 45(2)由已知可得 BD1，BAC75，当 M 在线段 BD 上，满足 BM1，即射线 AM 在角BAD 内，其概率 P .307525答案：(1) (2)45 25-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-考向二 与面积有关的几何概型例题 2 (2014成都市诊考)已知集合(x，y)| 2x y 4 0x y 0x y 0 )表示的平面
7、区域为 ，若在区域 内任取一点 P(x，y)，则点 P 的坐标满足不等式 x2y 22的概率为_【审题视点】 区域 是由点形成的面积大小，分别计算可行域及圆在可行域内的面积求其概率【典例精讲】 作出不等式组 表示的平面区域，如图三角形 ABO，且有 A( ， )，2x y 4 0x y 0x y 0 ) 43 43B(4，4)，所以 SABO 4 ，点 P 的坐标满足不等式 x2y 22 的面积 S 扇形 (12 423 2 163 14)2 ，所以所求概率 P .2 2 2163 2 316 332【答案】 332【类题通法】 解与面积有关的几何概型问题的关键是对事件 A 构成区域形状的判断
8、及面积的计算，数形结合，直观明了变式训练2(2014河南三市联考)在区间 ， 内随机取两个数分别为a，b，则使得函数 f(x)x 22axb 2 2有零点的概率为( )A1 B1 8 4C1 D1 2 34解析：选 B.函数 f(x)x 22axb 2 2有零点，需 4a 24(b 2 2)0，即a2b 2 2成立而 a，b ， ，建立平面直角坐标系，满足 a2b 2 2的点(a，b)如图阴影部分所示，所求事件的概率为 P 1 ，故选 B.2 2 32 2 4 2 34 2 4-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-考向三 与体积有关的几何概型例题 3 有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆
9、柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_【审题视点】 采用对立事件转化为半球的体积与圆柱的体积比【典例精讲】 先求点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率，圆柱的体积 V 圆柱 1222 ，以 O 为球心，1 为半径且在圆柱内部的半球的体积 V 半球 13 .则12 43 23点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为 ，故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1 .232 13 13 23【答案】 23【类题通法】 与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公
10、式为：P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 体 积试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 体 积变式训练3(2014长沙模拟)在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCDA 1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_解析：V 正 2 38，V 半球 13 12 43 23 ，P1 .V半 球V正 283 12 12答案：112对几何度量认识不清致误典型例题 (2013高考四川卷)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 4 秒内任一时刻
11、等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( )A. B.14 12-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-C. D.34 78【正解】 结合线性规划，利用几何概型求解设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为 x，y， 则0x4，0y4，而事件 A“它们第一次闪亮的时刻相差不 超过 2 秒” ，即|xy|2，可行域如图阴影部分所示由几何概型概率公式得P(A) .42 2(1222)42 34【答案】 C【易错点】 “4 秒为间隔闪亮” ，误认为是两串灯的闪亮总时段相差不超过 2 秒，即概率为P ，把面积型误认为是长度
12、型24 12【警示】 对于几何概型问题，根据题意列出条件，找出试验的全部结果构成的区域及所求事件构成的区域是解题的关键，这时常常与线性规划问题联系在一起真题体验1(2013高考陕西卷)如图，在矩形区域 ABCD 的 A，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无 其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点 无信号的概率是( )A1 B. 1 4 2C2 D. 2 4解析：选 A.选择面积作为测度，求解几何概型的概率取面积为测度，则所求概率为PS图 形 DEBFS矩 形 ABCD 1 .21 1214221
13、2 22 42(2013高考湖南卷)已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P，使-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-APB 的最大边是 AB”发生的概率为 ，则 ( )12 ADABA. B.12 14C. D.32 74解析：选 D.根据几何概型的特点寻找满足条件的点 P，利用直角三角形的性质求解-欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-由于满足条件的点 P 发生的概率为 ，且点 P 在边 CD 上运动，根据图形的对称性当点 P 在靠近点 D12的 CD 边的 分点时，EBAB(当点 P 超过点 E 向点 D 运动时，PBAB)设 ABx，过点 E 作 EFAB14交 AB
14、 于点 F，则 BF x.在 RtFBE 中，EF 2BE 2FB 2AB 2FB 2 x2，即 EF x， .34 716 74 ADAB 743(2013高考福建卷)利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 a，则事件“3a10”发生的概率为_解析：选择区间长度为测度求解几何概型由题意知 0a1.事件“3a10”发生时，a 且 a1，取区间长度为测度，由几何概型的13概率公式得其概率 P .1 131 23答案：234(2013高考湖北卷)在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为 ，则56m_解析：根据几何概型，在线性问题中用长度之比表示概率，求 m 的值由|x|m，得mxm.当 m2 时，由题意得 ，解得 m2.5，矛盾，舍去2m6 56当 2m4 时，由题意得 ，解得 m3.即 m 的值为 3.m （ 2）6 56答案：3=*以上是由明师教育编辑整理=
