1、- 1 -2011 年四川初中数学联赛(初二组)初赛试题一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1、分式 中 的值都变为原来的 2 倍，则分式的值变为原来的（ ） 。)0(xyzzy,（A）2 倍 （B）4 倍 （C）6 倍 （D）8 倍答：选 B。2、有甲、乙两班，甲班有 m 个人，乙班有 n 个人。在一次考试中甲班平均分是 a 分，乙班平均分是 b 分。则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ） （A） （B） （C） （D）a2bamnb答：选 D。3、若实数 a 满足 ，则 一定等于（ ） | |2a（A）2a （B）0 （C） -2a （D）-a答：因为 ，所以 ，故 ，选 C
2、。| 0aa2|24、 中，AD 是 的平分线，且 。若CACAB，则 的大小为（ ）60BAB（A） （B） （C ） （D）608010答：作 C 关于 AD 的对称点 C。因为 AD 是角平分线，则 C一定落在 AB 上。由 ，得 ，故 ，DABDABCB所以 ，2又 ，故 ，选 A。108405、在梯形 ABCD 中， 平行 BC， ，若 的面2:1:O积是 2，则梯形 ABCD 的面积是（ ） 。（A）7 （B）8 （C） 9 （D）10第5第OA DB C四4四CDAB C- 2 -答：设 。由 ，故 ，xSADO 2:1: CDOASOBCxSCDO2同理 ， ，故 ，所以梯形面
3、积是 9，选 C。B2xO416、有一个最多能称 10 千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的关系，如下表。那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（ ） 。重量（千克） 1 1.5 2 2.5 3 3.5长度（厘米） 4.5 5 5.5 6 6.5 7A 10 厘米 B 13.5 厘米 C 14 厘米 D 14.5 厘米答：由表中关系可以得到，弹簧长度（y）与称重（x）的关系是 ，故弹簧最长xy5.3为 13.5 厘米，选 B。二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）1、已知 ，则 的值为 .13,1ba2ba答：由题设有： ，则43,422。372ba2、已知在 中，
4、 ，AD 是 的平分线交 BC 于点 D，ABC90BAC，则 的度数是 。1:D答：因为 AD 是角平分线，所以 ，1:2:D故 。30、在 中， ，I 是 的角平分线的交点，则 的度数为 ABC8CB, BIC答：由题知。 130290)18(20)21(180 AI、设函数 与 的图像相交于 A、C，过 A 作 x)kxyxy轴的垂线相交于 B，则 的面积是 。AC四2四D BAC四4四yxC BO A- 3 -G E DF CBA答：由题得 B 的坐标为 ，),1(k所以 ，又显然 O 为 AC 的中点，22kSABO故 。1C三、 （本大题满分 20 分）设 是关于 的方程。当方程的
5、解分别：（1）大于 0；（2）等于 0；（3）小txt2于 0 时，求 的取值范围。解：方程整理为 tt2)(当 时，方程的解为： 5 分2t tx（1）当 时，则 ，此时， 或 ；10 分0x02t 2tt（2）当 时，则 ，此时， ； 15 分（3）当 时，则 ，此时， 。 20 分xtt四、(本大题满分 25 分)在平面直角坐标系中，A（2,0） ，B（3,0） ，P 是直线 上xy的点，当 最小时，试求 P 点的坐标。PB解：如图，作 A 关于直线 的对称点 A，xy则 ，故 。 5 分由图知，只有当 A、P、B 共线时， 最小。 10PB分又由 A 与 A关于 对称知，A （0,2）
6、 。 15 分xy由 、 两点坐标得 AB 直线方程： 。 20 分 123yx联立 解得 ，xy12356yxy四四四AO A BP- 4 -FE DB CA故当 最小时，P 的坐标为 。25 分BA)56,(五、 （本大题满分 25 分）求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形。设 BD、CE 是 的两条中线（如图） ，证明 。5 分CACB证明 1 作中线 AF，则三条中线交于重心 G。 10 分因为 ， ，所以 ； 15 分BDG32E32所以 ，即 。 20 分FA又 AF 是中线，故 。 25 分C证明 2：如图，将 EC 沿 ED 平移得 DF，连接 ED、CF ，则四边形 EDFC 是平行四边形，所以 . 10 分DFEB又 D、E 分别 AC、AB 的中点，所以 DE 平行 BC，所以 B、C、F 共线。 所以 15 分ECB又 BD=CE，BC= CB所以 20 分)(SADE所以 ，故 AB=AC。 25 分BC
