1、2015 年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题第 1 页 共 8 页2015 年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷（考试时间：2015 年 3 月 13 日下午 3：005：00）班级：: 姓名： 成绩： 题 号 一 二 三 四 五 合计得 分评卷人复核人一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1、计算： 的结果为（ ）3223aA、 B、 C、 D、05a6 62a2、已知 x 为实数，则 的最小值为（ ）|2|xA、0 B、2 C、4 D、63、如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 上的点， ，正方形 ABCD45EAF的边长为 1，则 的周长为（ ）CA、2
2、 B、3 C、4 D、54、方程 的自然数解（即 x，y，z 都是自然数）的组数是（ ）105zyxA、9 组 B、10 组 C、11 组 D、12 组5、在 中，若 ， ， 面积为 2，则 （ ）BC2A2CABAA、2 B、 5C、2 或 D、2 或 56、已知 2015 年 3 月 13 日是星期五，则 天之后是星期（ ）20153A、一 、二 C、三 D、四B二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）7、计算： ._12108、已知 ，则 的值为 .05xx9、如图，在四边形 ABCD 中， ， ， ， ， ，则 BD 的CDAB/B3A7CD6A值为 .FEBACD45第 3
3、题图BACD第 9 题图2015 年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题第 2 页 共 8 页10、如果关于 x 的不等式组 的整数解仅为 1，2，3，那么适合这个不等式组的整数043bxaa，b 组成的有序数对（a，b）的个数为 .三、 （本大题满分 20 分）11、已知实数 a，b 满足 ，试求 的值。09622 babba2015 年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题第 3 页 共 8 页四、(本大题满分 25 分)12、当实数 a 在什么范围内取值时，关于 x 的方程 有一个正数解，但没有2016|2015|ax负数解？2015 年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题第 4 页 共 8 页
4、五、 （本大题满分 25 分）13、如图，已知 和 均为等腰直角三角形， ，且 A、B、D 三ABCDE90DBEAC点在同一直线上。点 P、Q、 M 分别为 AC、AD 、CE 的中点。（1）请问 AE 与 CD 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）若 ，求 PM 的值。5.2EQPBACDM2015 年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题第 5 页 共 8 页2015 年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题参考解答一、选择题1D.2C.3A 延长 FD 至点 G，使得 DG=BE.显然ABEADG .AE=AG.易证FAG FAE. FG=FE. ECF 的周长=CF+FE+EC=C
5、F+FG+EC=CF+FD+DG+EC=（CF+FD）+（BE+EC）=CD+BC =2.选 A.4B 当 z=0 时， 或 或 或 或 或当 z=1 时， 或 或当 z=2 时，共计 10 组自然数解.选 B.5D 作高 AD.显然 AD= .在 RtABD 中，BD= .显然B 90.当2 22ADBB 为锐角时，如图（1） ，CD=BC-BD= .AC = ；当B 为钝角2C时，如图（2） ，CD=BC+BD= ，AC= .综上 AC=2 或 .选352 5D.6C 3 2 除以 7 余 2，3 6 除以 7 与 23 除以 7 余数相同，为 1.而 32015=(36),10xy,81
6、xy,62xy,43xy,24xy;0,5xy,5xy,31xy;,2xy.02015 年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题第 6 页 共 8 页33535，3 2015 除以 7 与 35 除以 7 余数相同，为 5. 3 2015 天之后为星期三.选 C.二、填空题7 . 282014 .22015,2015,()015,xxx2014x98 作 DE CA 交 BA 的延长线于点 E.由于 ACBD，则 DEBD,而四边形CDEA 是平行四边形，则 AC=DE,CD=AE.在 RtBDE 中，BD 2+DE2=BE2=（AE+AB）2=（AB+CD） 2，即 AC2+BD2=（AB+DC
7、 ） 2, 6 2+BD2=102. BD=8.10. 12. 即是 .因为原不等式组的整数解仅为 1，2，3,所以30,4xab43ax即 .所以 可以取 9,10,11 共 3 个数， 可以取3,01,a92, b1,2,3,4 共 4 个数. 所以适合原不等式组的整数 组成的有序数对 的个数为,ab(,)a个.312三、解答题11解：a 2+2ab+b2-6a-6b+9=0， 5 分 (a+b)2-6(a+b)+9=0. 10 分 (a+b-3)2=0. 15 分 a+b-3=0. 20 分 a+b=3. 25 分2015 年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题第 7 页 共 8 页四、解
8、答题12解： 当 x 是方程的一个正数解时，有 2015x=ax+2016,得x= ,5 分a20156a-2015. .20分而原方程有一个正数解，但没有负数解，a-2015 不成立.a-2015. .25分五、解答题13解：（1）AE=CD ， 且 AECD.理由如下：.5 分连结 QM、 CD、 AE，延长 AE 交 CD 于点 N. 易证 RtABERtCBD. .10分AE=CD, EAB=DCB.EAB + CDB=DCB+CDB=90 . 2015 年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题第 8 页 共 8 页ANCD ，即 AECD. . .15分(2)AP=PC，AQ=QD ， PQ 且 PQ= .CD21AP=PC,CM=ME, PM 且 PM= .20AE分PQ=PM, PQPM .MPQ 为等腰直角三角形.PM=PQ =2.5. .25分
