1、第 5 章 不等式约束的极值问题及其经济学应用,5.1 不等式约束极值问题数 学模型的一般形式,不等式约束极值问题和等式约束极值问题的主要区别在于约束条件确定的决策变量取值范围不同，即可行域不同，从而导致目标函数均衡解的位置不同，等式约束极值问题的均衡解在可行域的内点处取得，而不等式约束极值问题的均衡解可能位于可行域的端点上，那么，在这种情形下求解最优化问题需要利用库恩塔克条件。,5.1 不等式约束极值问题数 学模型的一般形式,令 x = (x1, x2, , xn) ，f(x) 和 g(x) 是连续的实值函数，则不等式约束的极值问题的数学模型的一般形式为：max y = f(x1, x2,
2、, xn) s.t. gi(x1, x2, , xn) 0 ，i = 1, 2, , m满足不等式组的 x 构成的集合 D 称为可行域，D 中的点称为可行点。如果均衡解在可行域的内部则称为内部解，如果均衡解在可行域的边界上则称为角点解。,5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法,所谓的简单的不等式约束极值问题是指自变量个数不超过两个的极值问题。例子 1 ：利用图解法求解下列极小化模型均衡解min C = (x1 5)2 + (x2 10)25x1 + 4x2 40s.t. 0 x1 50 x2 10,5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法,首先，确定可行域（见下图）。非线性规划的目标就是从可
3、行域内选择一点 (x1*, x2*) ，使其目标函数值最小。对于本题来讲，实际上就是要以(5, 10) 为圆心的同心圆的半径最小。,x1,x2,O,10,5 8,5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法,即：这个同心圆与可行域相切。在这个切点，圆的切线斜率与直线斜率相等。所以，我们首先求圆的切线的斜率。目标函数可以重写为：(x1 5)2 + (x2 10)2 C = 0对其求全微分可得： 2(x1 5)dx1 + 2(x2 10)dx2 = 0整理得：,5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法,于是有 ，整理得：4x1 5x2 = 30与 5x1 + 4x2 = 40 建立方程组：4x1 5x
4、2 = 305x1 + 4x2 = 40解方程组，得均衡解： 。,5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法,例子 2 ：利用图解法求解下列极大化模型均衡解max f(x, y) = x + y2x2 + y2 54 0x 0， y 0首先，确定可行域（见下页图）。非线性规划的目标就是从可行域内选择一点 (x*, y*) ，使其目标函数值最大。,s.t.,5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法,对于本题来讲，实际就是要使得直线与坐标轴的截距最大。即：直线与可行域相切。在这个切点，椭圆切线的斜率与直线的斜率相等。,5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法,所以，我们首先求椭圆的切线的斜率。对椭圆
5、求全微分，得：4xdx + 2ydy = 0 。整理得： ，于是有：与 2x2 + y2 54 = 0 建立方程组得：解方程组，得均衡解：(x*, y*) = (3, 6) 。,5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法,例子 3 ：利用图解法求解下列极大化模型均衡解max f(x, y) = x2 + y22x2 + y2 54 0x 0， y 0首先，确定可行域（见下页图）。非线性规划的目标就是从可行域内选择一点 (x*, y*) ，使其目标函数值最大。,s.t.,5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法,对于本题来讲，实际就是要使得以 (0, 0) 为圆心的同心圆半径最大。即：圆与可行域相
6、切。在这个切点，椭圆切线的斜率与同心圆切线的斜率相等。,5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法,所以，我们首先求椭圆的切线的斜率。对椭圆求全微分，得：4xdx + 2ydy = 0 。整理得： 。然后，对圆求全微分，得：于是有 x* = 0 ，代入椭圆方程得 y* = 。所以，均衡解为：,5.3 库恩塔克条件,一、简单不等式约束（仅存在非负约束）极值问题的库恩塔克条件为得到一般化的不等式约束的库恩塔克条件，我们首先来分析简单的不等式约束的库恩塔克条件，即仅有非负约束而无其他约束。我们先来看单变量的情形： f(x)是连续可微的max y = f(x)s.t. x 0,(5-1),5.3 库恩塔
7、克条件,由于约束条件 x 0 ，因此说模型 (5-1) 式的最优解可能会存在三种情况：第一种情况：y 的极大值对应的均衡解 x* 出现在可行域的内部。在这种情况下，一阶必要条件为：,A,O,y,x,x*,5.3 库恩塔克条件,第二种情况：y 的极大值对应的均衡解 x* 出现在可行域的边界上，但仍能保证一阶必要条件 。在这种情况下，一阶必要条件为：且： x* = 0,B,O,y,x,x*,5.3 库恩塔克条件,第三种情况：y 的极大值对应的均衡解 x* 出现在可行域的边界上，但不能保证一阶必要条件 。在这种情况下，一阶必要条件为：且： x* = 0,C,O,y,x,x*,D,5.3 库恩塔克条件
8、,从上面的讨论来看，模型 (5-1) 问题的极大值点存在的必要条件是如下三个条件之一：f (x*) = 0 ，且 x* 0 A 点 f (x*) = 0 ，且 x* = 0 B 点 f (x*) 0 ，且 x* = 0 C 点或 D 点 这三种情况可概括为如下的统一的论述：f (x*) 0 ， x*f (x*) = 0 ，且 x* 0 。,5.3 库恩塔克条件,那么，这一论述即为模型 (5-1) 问题在 x* 处取得极大值的一阶必要条件，即：f (x*) 0x*f (x*) = 0x* 0即为模型 (5-1) 最优化问题的库恩塔克条件。,5.3 库恩塔克条件,将模型 (5-1) 推广至多变量的
9、情形（但仍然只存在非负约束而无其他约束），则模型 (5-1) 的最优化问题可写为：max y = f(x)s.t. x 0,其中：x = (x1 , x2 , , xn)，f(x) 为连续可微函数。,则在 x*处取极大值的库恩塔克条件为：,x*,x*,xi,x*,(5-2),5.3 库恩塔克条件,同样，我们也可以研究非负约束的极小值问题。min y = f(x)s.t. x 0同样，最优解也可能会存在三种情况：,我们还是先来看单变量的情形：,(5-3),5.3 库恩塔克条件,则模型 (5-3) 问题在 x* 处取得极小值的一阶必要条件可写为：f (x*) 0x*f (x*) = 0x* 0亦即
10、其为模型 (5-3) 最优化问题的库恩塔克条件。,5.3 库恩塔克条件,同样，将模型 (5-3) 推广至多变量的情形（但仍然只存在非负约束而无其他约束），则模型 (5-3) 的最优化问题可写为：min y = f(x)s.t. x 0,其中：x = (x1 , x2 , , xn)，f(x) 为连续可微函数。,则在 x*处取极小值的库恩塔克条件为：,x*,x*,xi,x*,(5-4),5.3 库恩塔克条件,二、简单的不等式约束（不局限于仅存在非负约束）极值问题的库恩塔克条件前面的分析，我们仅仅是考虑了非负约束而未考虑其他约束，下面我们就开始研究考虑不等式约束效应的情形，即本章开头给出的一般化的
11、模型。我们仍然从简单的情形入手。,5.3 库恩塔克条件,1. 两变量一约束极值问题的库恩塔克条件两个变量一个约束条件的极值问题可写为：max y = f(x1 , x2)s.t. g(x1 , x2) 0在约束条件中引入松弛变量 s，则 (5-5) 可写为：,(5-5),max y = f(x1 , x2)s.t. g(x1 , x2) + s = 0s 0,(5-6),5.3 库恩塔克条件,由 (5-6) 可知，在松弛变量 s 的帮助下，不等式约束问题就变成了相应的等式约束问题，如果没有非负约束 s 0 ，我们就可以通过构造 Lagrange 函数的方法来求解最优值问题。不管怎样，我们先来构
12、造 Lagrange 函数：L(x1 , x2 , s) = f(x1 , x2) + g(x1 , x2) s 必须要注意的是： s.t. s 0,5.3 库恩塔克条件,这样一来，求解原不等式约束极值问题 (5-5) 就变成了求解仅带有非负约束的 Lagrange 函数的极值问题，即 (5-5) 等价于：max L(x1 , x2 , s) = f(x1 , x2) + g(x1 , x2) s s.t. s 0 即为前述 (5-2) 式的情形。,(5-7),5.3 库恩塔克条件,假设这一非负约束极大值问题的均衡解为（x1*, x2*,*, s* ），那么根据 (5-2) 式，我们就可以写出
13、其在（x1*, x2*,*, s* ）处取得极大值的库恩塔克条件。但需要注意的是，由于 (5-7) 式仅对变量 s 有非负约束，所以其库恩塔克条件为：,5.3 库恩塔克条件,对 (5-7) 式的 L 在 s* 处求导可得：于是，该问题库恩塔克条件中的可写为：,(5-8),5.3 库恩塔克条件,对 (5-7) 式的 L 在* 处求导可得：于是，(5-8) 式可写为：,(5-9),5.3 库恩塔克条件,所以， (5-5) 式这一极大化问题的库恩塔克条件可概括为：,5.3 库恩塔克条件,如果模型 (5-5) 式中的决策变量也有非负约束，即：max y = f(x1 , x2)s.t. g(x1 ,
14、x2) 0x1 0, x2 0构造 Lagrange 函数：L(x1 , x2 , s) = f(x1 , x2) + g(x1 , x2) s 必须要注意的是： s.t. s 0 , x1 0 , x2 0,(5-10),5.3 库恩塔克条件,同样，求解不等式约束极值问题 (5-10) 就变成了求解带有非负约束的 Lagrange 函数的极值问题，即 (5-9) 等价于：max L(x1 , x2 , s) = f(x1 , x2) + g(x1 , x2) s s.t. s 0 , x1 0 , x2 0 即亦为前述 (5-2) 式的情形。,(5-11),5.3 库恩塔克条件,假设这一非负
15、约束极大值问题的均衡解为（x1*, x2*,*, s* ），注意 (5-11) 式对变量 s 、x1*、x2* 均有非负约束，所以其库恩塔克条件为：,5.3 库恩塔克条件,类似于 (5-8) 式 (5-9) 式 的变换过程和结果，有：,5.3 库恩塔克条件,所以 (5-10) 式这一极大化问题的库恩塔克条件可概括为：,5.3 库恩塔克条件,事实上，无论是 (5-5) 式还是 (5-10) 式极大值问题库恩塔克条件的最终结果中都不含有 s ，s 仅是一个中间辅助变量，所以在实际问题的分析中，在构造 Lagrange 函数时我们不再引入 s ，直接构造如下形式的 Lagrange 函数 (5-10
16、) 式 ：L(x1 , x2 ,) = f(x1 , x2) + g(x1 , x2)由于前述 (5-10) 式极大值问题库恩塔克条件与 s 无关，所以，以(5-12) 式建立的 Lagrange 函数得到的库恩塔克条件与前述完全一致。,(5-12),5.3 库恩塔克条件,不过，我们还可以进行适当变换。根据 (5-12) 式，可得 ，所以 (5-10) 式极大值问题库恩塔克条件可写为：,5.3 库恩塔克条件,举个例子：求下列最优化问题的可能极值点max f(x, y) = x + ys.t. 2x2 + y2 54 0x 0, y 0解：构造 Lagrange 函数L(x, y,) = x +
17、 y +(54 2x2 y2)则均衡解 (x*, y*,*) 满足的库恩塔克条件为：,5.3 库恩塔克条件,求解库恩塔克条件的基本出发点是先从判断开始，即从= 0 和 0 两种情况开始判断，然后找到同时满足库恩塔克条件的解。,5.3 库恩塔克条件,2. n 变量 m 约束极值问题的库恩塔克条件n 个变量 m 个约束条件的极值问题可写为：max y = f(x)s.t. gj(x) 0 ，j = 1, 2, , m其中：x = (x1, x2, , xn) f(x) 和 g(x) 是连续可微函数。,(5-13),5.3 库恩塔克条件,构造 Lagrange 函数：L(x,1,2, ,m) = f
18、(x) +1g1(x) +1g2(x) + +mgm(x)m= f(x) jgj(x)j = 1库恩塔克条件为：,x*,x*,x*,x*,x*,*,*,*,5.3 库恩塔克条件,如果 (5-13) 式还存在决策变量的非负约束，则均衡解的库恩塔克条件为：,x*,x*,x*,x*,*,*,*,*,5.3 库恩塔克条件,举个例子：求下列最优化问题的可能极值点max f(x, y) = x(10 x) + y(10 y) s.t. 5x 4y 40x 5y 10x 0, y 0,5.3 库恩塔克条件, 如果是极小值问题呢，库恩塔克条件是？ 一个简单的处理方法是将它转化为极大值问题，而且将不等式约束均转
19、化为“”。举个例子： min C = (x 4)2 + (y 4)2 s.t. 2x + 3y 63x 2y 12x 0, y 0,5.3 库恩塔克条件,解：首先，极小值问题转化为极大值问题max C = (x 4)2 (y 4)2 s.t. 2x 3y 63x + 2y 12x 0, y 0构建拉格 L = (x 4)2 (y 4)2 +1(6 + 2x 朗日函数： + 3y ) +2(12 3x 2y),5.3 库恩塔克条件,于是，该问题的库恩塔克条件为：,5.3 库恩塔克条件,三、混合约束极值问题的库恩塔克条件考虑 k 个等式约束和 m 个不等式约束的 n 元实值函数 f(x1, x2,
20、 , xn) 的极大值问题：max y = f(x1, x2, , xn) s.t. hl(x1, x2, , xn) = al，l = 1, 2, , kgj(x1, x2, , xn) bj，j = 1, 2, , m,5.3 库恩塔克条件,对于不等式约束：gj(x1, x2, , xn) bj，j = 1, 2, , m我们假设其中有 m0 个约束条件在均衡解 x* = (x1*, x2*, , xn*) 处是紧的（即使得不等式约束的等号成立），姑且认为就是前 m0 个约束条件在均衡解处是紧的，而后 m m0 个约束条件不是紧的。我们再假定在均衡点 x* = (x1*, x2*, , x
21、n*) 处满足约束规范，即：所有等式约束构成的向量值函数在 x* 处的雅可比矩阵的秩为 m0 + k 。,5.3 库恩塔克条件,亦即：雅可比矩阵 的秩为 m0 + k 。,5.3 库恩塔克条件,构造 Lagrange 函数：库恩塔克条件为：,x,x,x,x,5.3 库恩塔克条件,如果给该极大值问题再加上非负约束，则库恩塔克条件为：,5.3 库恩塔克条件,举个例子：求解下面最优化问题可能的极值点max f(x, y) = 2x + ys.t. (x + 1)(y + 1) = 9/2x 0, y 0,5.4 对库恩塔克条件的认识,思考一个问题：我们前面讲的库恩塔克条件是求解不等式约束的极值问题均
22、衡解的必要条件吗？先举一个例子 1 ：考虑下述不等式约束极值问题max y = x1s.t. x2 (1 x1)3 0x1 0, x2 0,5.4 对库恩塔克条件的认识,首先，我们用前面讲的库恩塔克条件来求解。构造 Lagrange 函数： L = x1 +(1 x1)3 x2库恩塔克条件为：,无解,5.4 对库恩塔克条件的认识,这个不等式约束极值问题真就无解吗？下面我们用最开始学的图解法来试试。（先找可行域）,O,x1,x2,1,1,并未按照这个趋势走，而是突然转弯。,均衡解（1, 0）,歧点,5.4 对库恩塔克条件的认识,由图解法可知，该不等式约束极值问题存在最优解（1，0），但根据前述库
23、恩塔克条件却无法解出，表明库恩塔克条件失效，亦表明前述的库恩塔克条件不是不等式约束极值问题的必要条件。为什么会出现这种情况呢？ 我们观察一下，在最优解（1，0）之前，可行域的边界是沿着某个趋势行走，但当达到最优解点（1，0）时却不再按照这个趋势继续行走，而是突然转向，我们把这样的最优解点称为歧点（Cusp，也叫分岔点）。歧点前后可行域边界表现出了某种不规则性，而正是由于这种不规则性使得库恩塔克条件在边界的最优解处失效。,5.4 对库恩塔克条件的认识,歧点的数学表达：当曲线突然反向，使得在该点一边的斜率等于该点另一边的斜率时，所形成的尖点（Sharp Point）。歧点是最经常引用的使库恩塔克条
24、件失效的原因，但事实上，歧点的出现既不是库恩塔克条件在最优解处失效的必要条件，也不是充分条件。比如，我们举一个例子 2 对于例子 1 我们再加上一个新的约束条件：2x1 + x2 2 。,5.4 对库恩塔克条件的认识,我们先用图解法来求解。（先找可行域）可行域没变均衡解（1, 0）,O,x1,x2,1,1,2,均衡解（1, 0）,歧点,5.4 对库恩塔克条件的认识,我们再用库恩塔克条件来解。Lagrange 函数可写为：L = x1 +1 (1 x1)3 x2 +2 (2 2x1 x2)库恩塔克条件为：,(1, 0),5.4 对库恩塔克条件的认识,由例子 2 可知，即使存在歧点，但库恩塔克条件
25、仍然成立，即歧点并非库恩塔克条件失效的必要条件。我们再举一个例子 3 ：考虑如下最优化问题max y = x2 x12s.t. (10 x12 x2)3 0 x1 2 x1 0, x2 0,5.4 对库恩塔克条件的认识,我们先用库恩塔克条件来试试。Lagrange 函数为： L = x2 x12 +1 (10 x12 x2)3 +2 ( 2 + x1)库恩塔克条件为：,无解,5.4 对库恩塔克条件的认识,下面我们用图解法来试试。（先找可行域）,O,x1,x2,2,1 2 3,10,(2, 6),任何地方都不存在歧点,使得 x2 = x12 向上移动的距离最大。,均衡解点,5.4 对库恩塔克条件
26、的认识,由例子 3 可知，即便是在没有歧点存在的情况下，库恩塔克条件也是失效的（图解法证明该问题是有最优解的），因此说，歧点也不是库恩塔克条件失效的充分条件。通过上面的分析可知，库恩塔克条件并非不等式约束极值问题的必要条件，那么在什么情况下库恩塔克条件才是不等式约束极值问题的必要条件呢？ 只有满足特定条件时（这个条件就叫做约束规范，Constraint Qualification），库恩塔克条件才是不等式约束极值问题的必要条件。, 约束规范（约束规格）,由前面的分析可知，这个特定条件（约束规范）与可行域的形状无关（例子 1 和例子 2 具有相同可行域、例子 3 的可行域还是凸集），而是与约束函
27、数的形式有关（例子 2 加上一个新的约束条件后，库恩塔克条件便未失效）。什么是约束规范呢？ 是指对非线性规划中的约束函数施加的某些限制，目的是为了排除可行域边界上的某些不规则性（包括但不仅限于歧点），这些不规则性可能会违背能够产生最优解的库恩塔克条件。换句话说，如果约束条件满足某一约束规范，则边界的不规则性就不会存在，库恩塔克条件有效。, 约束规范（约束规格）,那么，究竟是在什么情况下才是满足约束规范呢？考虑如下一般性的不等式约束极值问题max y = f(x1, x2, , xn) s.t. gi(x1, x2, , xn) 0 ，i = 1, 2, , m我们先给出一个定义：令 x0 =
28、(x10, x20, , xn0) 是可行域中的一个点，在点 x0 处，如果满足 gi(x10, x20, , xn0) = 0 ，则称约束条件 gi(x1, x2, , xn) 0在点 x0 处是紧的。, 约束规范（约束规格）,以例子 1 为例。约束条件：x2 (1 x1)3 0 在 A 点是紧的。其他两个约束条件：x1 0 和x2 0 在 A 点不是紧的。,O,x1,x2,1,1,2,A,B,约束条件 x2 (1 x1)3 0和 x2 0 在 B 点是紧的,C,三约束条件在 C 点都不是紧的,约束条件 x2 (1 x1)3 0和 x1 0 在 D 点是紧的,D, 约束规范（约束规格）,假设
29、在可行域边界上的点 x* = (x1*, x2*, , xn*)满足所有约束，即：对任意的 i（i = 1, 2, , m）都有 gi(x*) 0 而且在点 x* 处有 k 个（k m）不等式约束条件是紧的，且这 k 个约束函数的梯度向量是线性无关的，则称在点 x* 处满足约束规范（也称满足线性独立规格）。, 约束规范（约束规格）,何谓梯度向量？ n 元函数 f(x) = f(x1, x2, , xn) 对于 xi 的一阶偏导数构成的 n 维向量称为梯度向量，即：,x,x,x,x, 约束规范（约束规格）,下面我们来验证一下例子 1 。g1(x1 , x2) = x2 (1 x1)3首先，写出三
30、个约束函数： g2(x1 , x2) = x1g3(x1 , x2) = x2在均衡点 (1, 0) 处，有 2 个约束条件是紧的，且：,x*,x*,x*,x*,x*,x*,线性相关，不满足约束规范, 约束规范（约束规格）,所以，由以上分析可知，若要使用库恩塔克条件来求解不等式约束极值问题，应该在利用库恩塔克条件求解得到均衡解后，对均衡点检验约束函数是否满足约束规范。特别需要指出的是，如果可行域仅是由线性约束形成的凸集，那么约束规范总是满足的，而且库恩塔克条件在最优解处总成立。,5.4 对库恩塔克条件的认识,再思考一个问题：库恩塔克条件是求解不等式约束极值问题的充分条件吗？再举一个例子 4 ：
31、考虑下述不等式约束极值问题min y = x2s.t. x12 + x2 0x12 + x22 1 0,5.4 对库恩塔克条件的认识,首先，将最优值问题转化为极大值问题的标准型。max z = x2s.t. x12 + x2 0x12 + x22 1 0然后，构造 Lagrange 函数：L = x2 +1(x12 x2 ) +2(1 x12 x22),5.4 对库恩塔克条件的认识,库恩塔克条件为：,解得均衡点为 (0, 0),5.4 对库恩塔克条件的认识,下面我们来验证约束函数在均衡点 (0, 0) 处是否满足约束规范。该问题的约束函数为： g1(x1 , x2) = x12 + x2g2(
32、x1 , x2) = x12 + x22 1在均衡点 (0, 0) 处，只有第一个约束条件是紧的，而且它的梯度向量为：,线性无关，满足约束规范,5.4 对库恩塔克条件的认识,下面，我们看看图解法的结果。,库恩塔克得到的均衡点,实际的最优值点,x1,x2,O,满足库恩塔克条件的点不是目标函数均衡解。,库恩塔克条件不是充分条件。,5.4 对库恩塔克条件的认识, 库恩塔克条件与 Lagrange 条件的比较相似之处： 在没有非负约束的限制下，二者的 Lagrange 函数对决策变量的一阶偏导数都是 0 ； 当不等式约束问题中的约束条件满足紧的时候，则二者的 L/j 均等于 0（相同），则由此看出，等
33、式约束问题的必要条件是不等式约束问题必要条件的特殊情况。,5.4 对库恩塔克条件的认识,不同之处： 在等式约束中，Lagrange 乘子可以为正，也可以为负；但在不等式约束中，紧约束对应的库恩塔克条件中的 Lagrange 乘子为正，而松约束的 Lagrange 乘子为 0 ； 由于不等式约束问题对 有非负限制，所以L 对 的一阶偏导 0 ，且该一阶偏导数与 构成互补松弛性，而在等式约束问题中， L 对 的一阶偏导 = 0 ，故不存在互补松弛性。,5.5 库恩塔克条件的充分性,一、库恩塔克条件的二阶充分条件考虑如下不等式约束的极大值问题：max y = f(x)s.t. gj(x) 0 ，j
34、= 1, 2, , m其中：x = (x1, x2, , xn)。构造 Lagrange 函数：,x*, *,x*,x*,5.5 库恩塔克条件的充分性,如果库恩塔克条件在 (x*, *) 得到满足，则有：假设前 m0 个约束条件 g1, g2, , gm0 在 x* 处等号成立（即紧的），而后 m m0 个约束条件 gm0+1, gm0+2, , gm 在 x* 处取严格不等号。,x*,x*,x*, *,x*, *,x*, *,5.5 库恩塔克条件的充分性,令 gM0 = (g1, g2, , gm0) ，则 gM0 在 x* 处的梯度向量可写为：,x*,5.5 库恩塔克条件的充分性,此外，L
35、agrange 函数在 (x*, *) 处的海塞矩阵可写为：,x*, *,5.5 库恩塔克条件的充分性,构造如下海赛加边矩阵：类似于等式约束，如果后 n m0 个海塞加边主子式 的符号均与 (1)k（m0 k n）同号，则目标函数在 (x*, *) 处取极大值。,x*, *,x*,x*,5.5 库恩塔克条件的充分性,举个例子：求下列最优化问题的可能极值点max f(x, y) = x + ys.t. 2x2 + y2 54 0x 0, y 0这是我们前面讲过的一个例子，根据库恩塔克条件，已经求得了 (x*, y*) = (3, 6) ，* = 1/12 ，下面我们来验证二阶充分条件。,5.5
36、库恩塔克条件的充分性,根据 (x*, y*) = (3, 6) 可知，在 (3, 6) 处 g1 = 2x2 + y2 54 = 0 ，即 m0 = 1 ，于是其梯度向量可写为：g1(3, 6) = (12 12)构造 Lagrange 函数：L(x, y,) = x + y +(54 2x2 y2)则 Lagrange 函数在 (3, 6) 处的海塞矩阵为：,5.5 库恩塔克条件的充分性,于是，海赛加边矩阵可写为：由于 m0 = 1 ，n = 2，所以后 2 1 个海塞加边主子式就是 。计算可得 = 72 0，与 (1)2 同号。所以，(3, 6) 是目标函数的一个极大值点。,5.5 库恩塔
37、克条件的充分性,二、库恩塔克充分性定理：凹规划在某些情况下，库恩塔克条件可以被用作极大化问题的充分条件。考虑如下极大化问题：max y = f(x)s.t. gj(x) bj ，j = 1, 2, , mxi 0 ， i = 1, 2, , n,5.5 库恩塔克条件的充分性,如果满足以下条件： 目标函数 f(x) 为凹函数且可微； 每个约束函数 gj(x) 为凸函数且可微； 点 x* 满足库恩塔克极大化条件。则点 x* 为目标函数 y = f(x) 的整体极大值点。这表明，在满足约束规格即满足条件 亦即满足库恩塔克条件是必要条件以及条件 和条件 后，库恩塔克条件为极大化问题的充分必要条件。,5
38、.5 库恩塔克条件的充分性,证明：构造 Lagrange 函数：此处赋予 Lagrange 乘子具体值j*，从而使 L 仅为 xi (i = 1, 2, , n) 的函数。假设 f(x) 为凹函数，每个约束函数 gj(x) 为凸函数（即每一个 gj(x) 为凹函数），因此有 L(x) 为凹函数这与条件 和条件 相一致。,x,x,x,5.5 库恩塔克条件的充分性,令 x* 为定义域内的某个确定点。由于 L(x) 为凹函数，则根据凹函数性质可知， L(x) 为凹函数的充分必要条件为 对于定义域内任意 x 和 x* ，有：L(x) L(x*) L(x*)(x x*) = 我们在此就假设所选择的 x*
39、 和* 即为满足库恩塔克条件的值与条件 相一致。上式可变为： L(x) L(x*) +,x*,x*,5.5 库恩塔克条件的充分性,对于任意的 x ，求和号内部分可以拆分为两部分：由库恩塔克条件可知： 。所以，T2 = 0 ；又由于 xi 0 ，所以，T1 0 ；所以，T1 + T2 0 ，所以，L(x) L(x*) T1 + T2 0 ，即：L(x) L(x*) 。,x*,x*,x*,x*,5.5 库恩塔克条件的充分性,亦即，对于任意的 x ，有：可写为：根据约束条件j* 0、bj gj(x) 0 ，有：,x*,x*,x,x,x,x*,x*,x,x,5.5 库恩塔克条件的充分性,由库恩塔克条件
40、可知：所以， 。所以，f(x) f(x*) 0 ，即 f(x) f(x*) 。即表明：f(x*) 是 f(x) 的极大值。,x*,x*,x*,x*,5.5 库恩塔克条件的充分性,举个例子：考虑下面最优化问题max y = lnx1 + ln(2x2 + 3)s.t. x1 + x2 1 0 x1 0, x2 0解：由于对数函数是凹函数，而且目标函数为两对数函数的和，所以目标函数是凹函数，而且在定义域内是可微的，故满足条件 。约束函数是线性函数，是凸函数，满足条件 。,5.5 库恩塔克条件的充分性,由于约束函数是线性的，满足约束规范，故库恩塔克条件为必要条件。于是构造拉格朗日函数：L(x1, x
41、2,) = lnx1 + ln(2x2 + 3) +(1 x1 x2)库恩塔 克条件为：,5.5 库恩塔克条件的充分性,当* = 0 时，L/x1 0 不成立；当* 0 时，1 x1* x2* = 0，有 x2* = 1 x1*；由于 x1* 0 ，所以* = 1/x1* ；如果 x2* 0，则：求得 x1* = 5/3、 x2* = 2/3 ，矛盾。如果 x2* = 0 ，则 x1* = 1，各项据满足（不存在矛盾情形），因此均衡解为 (x1*, x2*,*) = (1, 0, 1) 。,5.5 库恩塔克条件的充分性, 为什么称这样的极大化问题为凹规划呢？首先来说，目标函数是凹函数；再一个就
42、是，库恩和塔克二人在最初讨论这一问题时，约束条件用的是“ ”而不是我们标准型中的“ ”，这样的话，所有的约束函数也都是凹函数了。,5.5 库恩塔克条件的充分性,三、阿罗恩索文充分性定理：拟凹规划应该说，应用库恩塔克充分性定理（凹规划）必须满足目标函数为凹函数、约束函数为凸函数的要求，而事实上，这是非常严格的要求。1961年，阿罗和恩索文提出了另外一个充分性定理 阿罗恩索文充分性定理（也称拟凹规划），弱化了上述比较严格的要求。Kenneth, J. Arrow, and Alain, C. Enthoven. Quasi - concave Programming. Econometrica,
43、1961(Oct.) : 779-800.,5.5 库恩塔克条件的充分性,对于极大化问题： max y = f(x)s.t. gj(x) bj ，j = 1, 2, , mxi 0 ， i = 1, 2, , n如果满足如下条件： 目标函数 f(x) 为拟凹函数且可微； 每个约束函数 gj(x) 为拟凸函数且可微； 点 x* 满足库恩塔克极大化条件； 满足下列诸条件中任意一个：,5.5 库恩塔克条件的充分性, 至少对某个变量 xi ，有 f(x*)/xi 0； 对某个可取正值而不违背约束的变量 xi ，有 f(x*)/xi 0； n 个偏导数 f(x*)/xi (i = 1, 2, , n)
44、不全为零， f(x) 在 x* 的邻域二阶可微，即在 x* 的邻域内 f(x) 的所有二阶偏导数都存在； 函数 f(x) 为凹函数。则点 x* 为目标函数 y = f(x) 的整体极大值点。,5.5 库恩塔克条件的充分性,举个例子：假设厂商的生产函数为柯布道格拉斯生产函数 Q = KaLb（ 0 0、pL 0 ，且为外生变量。求下列极小值问题：min C = pKK + pLL s.t. Q0 KaLb 0 ， Q0 0K 0, L 0,5.5 库恩塔克条件的充分性,解：将该问题转化为极大值问题：max C = pKK pLL s.t. Q0 KaLb 0 ， Q0 0K 0, L 0由于目标函数 pKK pLL 是线性函数，所以它是拟凹函数（当然也是拟凸函数、凹函数、凸函数）。我们再来看约束函数 g1(K, L) = Q0 KaLb 是否为拟凸函数，也即看函数 KaLb 是不是拟凹函数。,
