1、第25节 点、线与圆的位置关系,考 点 突 破,课 前 预 习,考 点 梳 理,考 点 梳 理,考 点 梳 理,切线长,平分,考 点 梳 理,考 点 梳 理,角平分线,考 点 梳 理,垂直平分线,考 点 梳 理,课 前 预 习,1. 已知O的直径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（）A在O外B在O上C在O内D不能确定,解析：根据O的直径为3cm，半径为1.5cm，点P到圆心O的距离OP=2cm1.5cm，所以点P在O外,A,2. （2014白银）已知O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与O的位置关系是（）A相交B相切C相离D无法判断,解析：设圆的半径为
2、r，点O到直线l的距离为d，d=5，r=6，dr，直线l与圆相交,A,课 前 预 习,3. （2014湘潭）如图，O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切O于A点，则PA= ,解析：PA切O于A点，OAPA，在RtOPA中，OP=5，OA=3，,4,课 前 预 习,4.（2014哈尔滨）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，连接OC交O于点D，连接BD，C=40则ABD的度数是（）A30 B25 C20 D15,解析：AC是O的切线，OAC=90，C=40，AOC=50，OB=OD，ABD=BDO，ABD+BDO=AOC，ABD=25，,B,课 前 预 习,5.（2014青岛）如图
3、，AB是O的直径，BD，CD分别是过O上点B，C的切线，且BDC=110连接AC，则A的度数是 ,解析：连接OC，BD，CD分别是过O上点B，C的切线，OCCD，OBBD，OCD=OBD=90，BDC=110，BOC=360-OCD-BDC-OBD=70，A= BOC=35,35,课 前 预 习,6. 如图，A、B是O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果AOB=120，那么当CAB的度数等于 度时，AC才能成为O的切线,解析：AOB中，OA=OB，AOB=120，OAB=30，当CAB的度数等于60时，OAAC，AC才能成为O的切线,60,考点1 点、直线与圆的位置关系,考 点 突 破,1.
4、 （201梅州） 已知圆的半径为6.5cm，如果一条直线和圆心的距离为6.5cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）A相交B相切C外切D外离,解析：因为直线和圆心的距离为6.5cm，圆的半径也为6.5cm，所以这条直线和这个圆的位置关系是相切,B,考 点 突 破,2. (2008湛江)O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与O的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定,解析：圆心O到直线l的距离d=3，而O的半径R=4.又因为dR，则直线和圆相交.,A,考 点 突 破,3. 在平面内，O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为7cm，则点P与O的位置关系是 ,解析：
5、O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为7cm，dr，点P与O的位置关系是：点P在O外,点P在O外,考 点 突 破,4.已知圆的半径为6.5cm，如果一条直线和圆心的距离为6.5cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.外切 D.外离,解析：因为直线和圆心的距离为6.5cm，圆的半径也为6.5cm，所以这条直线和这个圆的位置关系是相切.,B,考 点 突 破,考点归纳：本考点近些年广东省中考均未考查，但本考点是初中数学的重要内容，2015年备考时应注意.本考点一般出题考查难度不大，为基础题，解答的关键是掌握点、直线与圆的关系. 要确定一个点与圆的位置关系，就要计算该点到
6、圆心的距离，并与圆的半径比较；确定直线与圆的位置关系，需要计算圆心到直线的距离，并与圆的半径进行比较.,考点2 切线的判定与性质,考 点 突 破,1. （2011广东）如图，AB与O相切于点B，AO的延长线交O于点C，连接BC，若A=40，则C= ,解析：如图，连接OB，AB与O相切于点B，OBA=90，A=40，AOB=50，OB=OC，C=OBC，AOB=C+OBC=2C，C=25,25,规律总结：遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题,考 点 突 破,2.（2010广东）如图，PA与O相切于A点，弦ABOP，垂足为C，OP与O相
7、交于D点，已知OA=2，OP=4（1）求POA的度数；（2）计算弦AB的长,解析：（1）根据PA与O相切于A点可知，OAAP，再依据锐角三角函数的定义即可求出；（2）根据直角三角形中AOC=60，OA=2可求出AC的长，再根据垂径定理即可求出弦AB的长,考 点 突 破,答案：解：（1）PA与O相切于A点，OAP是直角三角形，OA=2，OP=4，cosPOA= = ，POA=60 （2）直角三角形OCA中AOC=60，OA=2，AC=OAsin60=2 = ABOP，AB=2AC=2 ,考 点 突 破,3.（2013广东）如图，O是RtABC的外接圆，ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC
8、=5，BEDC交DC的延长线于点E（1）求证：BCA=BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是O的切线,解析：（1）根据BD=BA得出BDA=BAD，再由BCA=BDA即可得出结论；（2）判断BEDCBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度（3）连接OB，OD，证明ABODBO，推出OBDE，继而判断OBBE，可得出结论,考 点 突 破,答案：（1）证明：BD=BA，BDA=BAD，BCA=BDA（圆周角定理），BCA=BAD,（2）解：BDE=CAB（圆周角定理）且BED=CBA=90，BEDCBA， = ，即 = ，解得：DE= ,考 点 突 破,（3）证明：连结OB，OD，在AB
9、O和DBO中，ABODBO，DBO=ABO，ABO=OAB=BDC，DBO=BDC，OBED，BEED，EBBO，OB是O的半径，BE是O的切线,考 点 突 破,4.（2014广东）如图，O是ABC的外接圆，AC是直径，过点O作ODAB于点D，延长DO交O于点P，过点P作PEAC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF（1）求证：OD=OE；（2）求证：PF是O的切线,解析：（1）证明POEADO可得DO=EO；（2）连接PC，证出PCBF，再利用PCEPEC证出PFC=PFC=90，即可求证OPPF.,考 点 突 破,答案：（1）证明：PEAC，ODAB，PEA=90，ADO=90在
10、ADO和PEO中，POEAOD（AAS），OD=EO；,考 点 突 破,（2）连接PC，由AC是直径知BCAB，又ODAB， PDBF，OPC=PCF，ODE=CFE，由（1）知OD=OE，则ODE=OED，又OED=FEC，FEC=CFE， EC=FC，由OP=OC知OPC=OCP， PCE =PCF，在PCE和PFC中，PCEPFC，PFC=PEC=90，由PDB=B=90可知OPF=90即OPPF，PF是O的切线.,考 点 突 破,5. 如图，AB切O于B，割线ACD经过圆心O，若BCD=70，则A的度数为（）A20 B50 C40 D80,解析：OB=OC，BCD=70，OBC=BCD
11、=70，BOC=180-BCD-OBC=40，AB切O于B，OBAB，ABO=90，A=90-BOC=50,B,考 点 突 破,6.已知直线PD垂直平分O的半径OA于点B，PD交O于点C、D，PE是O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F（1）若O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA= ，求EF的长,考 点 突 破,解析：（1）首先连接OD，由直线PD垂直平分O的半径OA于点B，O的半径为8，可求得OB的长，又由勾股定理，可求得BD的长，然后由垂径定理，求得CD的长；（2）由PE是O的切线，易证得PEF=90-AEO，PFE=AFB=90-A，继而可证
12、得PEF=PFE，根据等角对等边的性质，可得PE=PF；（3）首先过点P作PGEF于点G，易得FPG=A，即可得FG=PFsinA=13 =5，又由等腰三角形的性质，求得答案,考 点 突 破,答案：（1）解：连接OD，直线PD垂直平分O的半径OA于点B，O的半径为8，OB= OA=4，BC=BD= CD，,（2）证明：PE是O的切线，PEO=90，PEF=90-AEO，PFE=AFB=90-A，OE=OA，A=AEO，PEF=PFE，PE=PF；,考 点 突 破,（3）解：过点P作PGEF于点G，PGF=ABF=90，PFG=AFB，FPG=A，FG=PFsinA=13 =5，PE=PF，EF
13、=2FG=10,考 点 突 破,7.如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，CDA=CBD（1）求证：CD是O的切线；（2）过点B作O的切线交CD的延长线于点E，若BC=4，tanABD= ，求BE的长,解析：（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到ADO+1=90，而CDA=CBD，CBD=1，于是CDA+ADO=90；（2）根据切线的性质得到ED=EB，OEBD，则ABD=OEB，得到tanCDA=tanOEB= ，易证RtCDORtCBE，得到 ，求得CD，然后在RtCBE中，运用勾股定理可计算出BE的长,考 点 突 破,答案：（1）证明：连OD，OE，如图，AB为直径，ADB=90
14、，即ADO+1=90，又CDA=CBD，而CBD=1，1=CDA，CDA+ADO=90，即CDO=90，CD是O的切线；,考 点 突 破,（2）解：EB为O的切线，ED=EB，OEDB，ABD+DBE=90，OEB+DBE=90，ABD=OEB，CDA=OEB而tanCDA= ，tanOEB= ，CDO=CBE=90，C=C, RtCDORtCBE， ，CD= 4=2，在RtCBE中，设BE=x，（x+2）2=x2+42，解得x=3即BE的长为3,考 点 突 破,8.如图，AB是O的弦，OPAB交O于C，OC=2，ABC=30（1）求AB的长；（2）若C是OP的中点，求证：PB是O的切线,解析
15、：（1）连接OA、OB，根据圆周角定理得到AOC=2ABC=60，则OAD=30，所以OD= OA=1，AD= OD= ，再根据垂径定理得AD=BD，所以AB=2 ；,（2）由（1）BOC=60，则OCB为等边三角形，所以BC=OB=OC，OBC=OCB=60，而CP=CO=CB，则CBP=P，可计算出CBP=30，所以OBP=OBC+CBP=90，于是根据切线的判定定理得PB是O的切线,考 点 突 破,答案：（1）解：连接OA、OB，如图，ABC=30，OPAB，AOC=60，OAD=30，OD= OA= 2=1，AD= OD= ，又OPAB，AD=BD，AB=2 ；,考 点 突 破,（2）
16、证明：由（1）BOC=60，而OC=OB，OCB为等边三角形，BC=OB=OC，OBC=OCB=60，C是OP的中点，CP=CO=CB，CBP=P，而OCB=CBP+P，CBP=30，OBP=OBC+CBP=90，OBBP，PB是O的切线,考 点 突 破,考点归纳：本考点曾在20102011、20132014年广东省考试中考查，高频考点.考查难度中等偏难，解答的关键是掌握切线的性质.本考点应注意掌握的知识点：圆的切线判定的两个条件：（1）过半径外端；（2）垂直于这条半径，二者缺一不可.证明直线与圆相切，一般有两种情况：（1）已知直线与圆有公共点，这时连结圆心与公共点的半径，证明该半径与已知直线垂直；（2）不知道直线与圆有公共点，这时过圆心作已知直线垂直的线段，证明此垂线段的长与半径相等.,谢谢！,
