1、运动学,大学物理电子教案,本章首先借助矢量语言对质点的运动给予简洁而完备的描述，然后利用微积分求解质点的运动学方程；最终解决运动学中的两类问题。,1.1 参考系 坐标系 理想模型,一、绝对运动与相对静止的统一,古希腊哲学家克拉底鲁： “人不能同一次踏进同一条河流”,古希腊哲学家赫拉克利特： “人不能两次踏进同一条河”,运动（变化）是绝对的；,运动是绝对的；但承认相对静止。,二 参考系和坐标系,为描述物体运动而选的标准物,1 参考系,2 几种典型的坐标系,1）直角坐标系,X,Y,Z,是常矢量,2）自然坐标系,方向描述：,作相互垂直的单位矢量,切向单位矢量，,沿着质点运动轨道所建立的坐标系,指向物
2、体运动方向,曲率半径：,曲率：,是变矢量,三、理想模型,地球绕太阳公转,研究地球公转,质点：具有全部质量代表物体运动状态的数学点。,刚体：当物体的形变对其运动状态的影响可以忽略不计时，将物体视为一个不发生任何形变的数学几何体。,注意：质点是经过科学抽象而形成的理想物理模型，物体是否可以视为质点是有条件的、相对的，而不是无条件的、绝对的，对一个物体而言，是否可以看作质点，要具体情况具体分析。对于不能视为质点的物体，通常可以看作是由大量质点组成的质点系，弄清这些质点的运动，就可以弄清该物体的运动。因此，研究质点的运动是研究物体运动的基础。,1.2 描述质点运动的物理量,P,1. 位置矢量、运动方程
3、和轨迹方程,在坐标系中，用来确定质点所在位置的矢量，叫做位置矢量，简称位矢。位置矢量是从坐标原点指向质点所在位置的有向线段。,称为运动方程,轨迹方程,例如：已知一质点在XY平面上运动，位置矢量为：,求其轨迹方程,在XY平面上的一条抛物线,例如：已知一质点的位置矢量为：,求其轨迹方程,在Z=2的平面上的一条抛物线,2. 位移和路程,S,位移反映质点位置变化的物理量，从初始位置指向末位置的有向线段。,路程是质点经过实际路径的长度。路程是标量。,注意区分,3. 速度与速率,速度是描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量。,平均速度,平均速率,平均速度是矢量，其方向与位移的方向相同。平均速率是标量。
4、平均速度的大小并不一定等于平均速率。例如质点沿闭合路径运动。,方向:,当 时位移 的极限方向，该位置的切线方向，指向质点前进的一侧。,瞬时速度是矢量，直角坐标系中分量形式：,大小:,4. 加速度,加速度是描述质点速度的大小和方向随时间变化快慢的物理量。,注意区分 、,平均加速度,平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。,加速度,加速度的方向就是时间t趋近于零时，速度增量的极限方向。加速度与速度的方向一般不同。,大小,加速度,判断加速度的可能方向？,加速度与速度的关系,加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动。,加速度与速度的夹角等于90，质点做匀速圆周运动。,自然坐标系下,切向加速度
5、(速度大小变化),法向加速度(速度方向变化),圆周运动的角量描述,角坐标,角位移,角速度,角加速度,角速度和角加速度的方向按照右手螺旋规则判断,线量和角量的关系,A,B,R,d,课堂练习,1、质点作曲线运动，判断下列说法的正误。,一运动质点在某瞬时位于位矢 的端点处，其速度大小为,（A）,（B）,（C）,（D）,讨论,注意,例、已知一质点沿着X轴做直线运动，其运动方程为：,求：（1）第2秒内的平均速度； （2）第2秒末的瞬时速度； （3）第2秒内的平均速率。,课堂练习、已知质点沿着X轴作直线运动，其运动方程为：,求（1）该质点在开始后的4s内的位移大小； （2）质点在该时间内通过的路程； （3
6、）t4s时质点的速度和加速度。,（1）求 时的速度 （2）质点的运动轨迹方程,例 设质点的运动方程为,其中,式中x，y的单位为m(米)，,t 的单位为s(秒)，,解 (1) 由题意可得,时速度为,速度 与 轴之间的夹角,已知：,（2）运动方程,消去参数 可得轨迹方程为,例、质点在XY平面内运动，其运动方程为：,求：第一秒末的加速度、切向加速度和法向加速度、轨道半径。,例.一质点作平面曲线运动，已知其运动方程为：,求：（1）该质点运动的轨迹方程；（2）第2秒内的位移、平均速度和平均加速度；（3）t=2s时的速度和加速度；（4）任意时刻t的切向加速度和法向加速度；,求（1） t =1s 到 t =
7、2s 质点的位移,（3） 轨迹方程,（2） t =2s 时,例：已知一质点运动方程,解,（1）由运动方程得,课堂练习：,（4）任意时刻t的切向加速度和法向加速度。,（2）,（3）,当 t = 2 s 时,轨迹方程为,直角坐标下求切向加速度,例.一质点作半径为R的圆周运动，质点经过的路程与时间的关系为：,其中的b为常数，求:(1)任意时刻t的切向加速度和法向加速度。(2)当加速度为b时，该质点已经沿圆周运行了多少圈。,例题、一质点沿着半径为R=1m的圆周运动，它通过的路程s按规律s=t+2t2的规律变化，问它在2s末的速率、切向加速度和法向加速度。,解 1）,已知,代入初始条件,代入初始条件,已
8、知加速度和初始条件，求, t = 0 时，,求：1） 和,2）,例题、质点沿着直线运动，加速度a=4-t2，如果当t=3s时，x=9m，v2m/s，求该质点的运动方程。,例：在X轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为 ，初始位置为 ,加速度 （其中C为常量）。则其速度与时间的关系为v= ,运动方程为x=。,例、一质点沿X轴运动，其加速度与位置的关系为a=-kx，k为常数，已知t=0时质点静止于x=x0处，求该质点的运动方程。,例：一质点沿X轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为a=2+6x2 (SI)，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。,例 有一个球体在某液体中竖直下落
9、, 其初速度 ，它在液体中的加速度为 ，问：(1)经过多少时间后可以认为小球已停止运动； (2)此球体在停止运动前经历的路程有多长？,解,例题、一石子从空中由静止开始下落，由于空气阻力的作用，石子并非作自由落体运动，现已知a=A-Bv，其中的A、B为已知常数，求石子的速度和运动方程。,解,两边求导得,即,例: 恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的高度为h, 求小船向岸边移动的速度。,解：以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向右, y 轴竖直向下, 如图所示。,设小船到坐标原点的距离为l , 任意时刻小船到岸边的距离x总满足 x 2 = l 2 h 2,两边对时间t 求导数, 得,u为拉
10、动纤绳的速率, 纤绳在缩短,负号表示沿x 轴反方向。,是小船向岸边移动的速率。,x,O,例题、求平抛物体在任意时刻t的切向加速度和法向加速度。,例、如图所示，一抛体从原点以初速度 沿着与OX轴成 角的方向抛出，如忽略空气的阻力，求任意时刻 t 该抛体的切向加速度和法向加速度。,例、一物体作斜抛运动，如图所示，测得在轨道的P点处物体的速度大小为，其方向与水平方向的夹角为300，则该物体在P点处的切向加速度为，P点处轨道的曲率半径为。,300,300,例、一质点沿半径为R的圆周运动，初速度为0，其加速度方向与速度的方向的夹角始终保持恒定，求速度大小与时间的关系。,例.一质点作半径为R=0.1m的圆周运动，用角坐标表示的运动方程为：求：（1）t=2s时，质点的切向加速度和法向加速度； （2）当切向加速度的值等于多少？的大小恰好等于总加速度大小的一半时，的值等于多少？ （3） 质点的切向加速度与法向加速度恰好大小相等时，等于多少？,例.一质点在水平面内从静止开始作半径为R=2m的圆周运动，设计时起点的角位移为0，质点的运动规律表述为：,其中的k为常数。已知质点在第2秒末时的线速度为32m/s，求t=0.5s时质点的线速度、加速度和角位移。,
