1、9/8/2019 12:10 AM,1,第八章 非线性控制系统,一、本章重点1. 相轨迹法及相轨迹的绘制方法；2. 系统描述函数的求取，利用描述函数分析非线性系统稳定性。,二、本章难点1. 绘制系统的相轨迹；2. 求非线性系统描述函数。,三、本章考点1. 绘制系统的相轨迹；2. 非线性环节的合并、实际系统归一化为典型结构；3. 利用描述函数分析非线性系统稳定性，自振荡产生的条件、幅值与频率。,9/8/2019 12:10 AM,2,8.1 概述,1、意义,理想的线性系统不存在；非线性系统千差万别。,对于非线性程度不严重的系统，视为线性系统； 对于非线性程度严重的系统，不能视为线性系统，采用相应
2、的非线性分析方法。,2、特征,非线性系统，不满足叠加原理； 非线性系统稳定性分析复杂； 可能存在自激振荡现象。 频率响应出现畸变,9/8/2019 12:10 AM,3,3、非线性系统分析、设计方法,相平面法； 描述函数法； 逆系统法。,4、典型非线性特性,控制系统中，常见的非线性特性：,1）、饱和特性：控制系统中的放大部件，由于器件性能及电路 参数等的限制，一般都具有输出饱和现象。,9/8/2019 12:10 AM,4,2）、不灵敏区（死区）特性,其中： a 死区宽度； k 线性输出的斜率；,9/8/2019 12:10 AM,5,特点：、可降低系统开环增益提高平稳性减弱动态响应的振荡倾向
3、;、会使系统的稳态误差ess增大.,3)、滞环特性（间隙特性）,其中 2a间隙宽度 k间隙特性斜率 特点：增大系统静差动态响应的振荡加 剧稳定性变坏,9/8/2019 12:10 AM,6,4）、继电器特性,继电器特性的三种特殊情况：,a）、当a=0时，ma=a=0 理想继电器特性 b）、当m=1时，ma=a 含有死区无滞环继电器特 c）、当m=-1时，-ma=a 仅含有滞环继电器特性,9/8/2019 12:10 AM,7,5、非线性系统的特点及分析方法,1）、时域响应：不仅与输入信号的形式有关，而且与其大小、初始条件有关；,2）、稳定性：不仅与系统本身的结构、参数有关，而且与初始条件、输入
4、信号有关；,3）、频率响应：为非正弦周期函数（输出畸变）；,4）、容易产生自振荡；,5）、分析问题和设计方法特殊：,描述函数法 /相平面法 /小偏差线性化 /计算机求解等,8.2 描述函数,1、描述函数法的应用条件,9/8/2019 12:10 AM,8,1）、非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N和一个线性环节部分G（S）串联的闭环结构形式；如下图所示。,2）、非线性环节N的输入输出静特性曲线是奇对称的，即: y（x）=y（-x），以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不包 含直流分量；,3）、系统的线性部分G（S）要具有良好的低通滤波特性。,2、描述函数的定义,9/8/2019
5、12:10 AM,9,设上图中非线性环节N的输入为： x（t）=Asint,则 y（t）一般为周期性非正弦信号，并可以展开为傅氏级数：,若系统满足“条件2）”，则有：,9/8/2019 12:10 AM,10,当n越大时，谐波分量的频率越高，An、Bn越小。,若系统又满足“条件3）”，则高次谐波分量会被充分衰减，因此可以近似地认为非线性环节N的稳态输出就只含有基波分量：,其中:,9/8/2019 12:10 AM,11,1）、描述函数的定义: 非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数。,并用N（A）表示：,2）、描述函数的特点:,A）、描述函数类似于线性系统
6、的频率特性，因此它可以把非线性元件近似处理为线性元件（谐波线性化），并可利用频率法来分析非线性系统。,B）、描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传递能力。,9/8/2019 12:10 AM,12,3、描述函数的求取步骤,1）、由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形y（t）的数学表达式；,2）、利用傅氏级数求出y（t）的基波分量；,3）、将求得的基波分量代入定义式，即得到N（A）。,4、典型非线性特性描述函数的计算,1）、理想继电器特性,输入为x（t）=A sint时， 理想继电器特性的输出波 形如右：,9/8/2019 12:10 AM,13,由于输出的周期方波信
7、号为奇函数，则傅氏级数中的直流分量A0与基波偶函数分量的系数A1均为零：,A0 = A1 = 0,而基波奇函数分量的系数B1为：,故基波分量为：,因此，理想继电器特性的描述函数为：,9/8/2019 12:10 AM,14,2）、饱和特性,输入为x（t）=Asint，且A大于线性区宽度a时，饱和特性的输出波形如下：,由于输出的周期方波信号为奇函数，则傅氏级数中的直流分量A0与基波偶函数分量的系数A1均为零：,A0= A1=0,又因为y（t）具有半波和四分之一波对称性，故基波奇函数分量的系数B1为：,9/8/2019 12:10 AM,15,其中：,因此，饱和特性的描述函数为：,（Aa）,9/8
8、/2019 12:10 AM,16,当输入： x（t）= Asint 时， 则有： y1（t）= N1 Asinty2（t）= N2 Asint,总的输出为：y（t）= y1（t）+ y2（t）=（N1+ N2）Asint,故总的描述函数为： N = N1+ N2,当N1 和N2为复数时上式仍成立。,5、组合非线性特性的描述函数,1）、非线性特性并联时描述函数的求取,设系统中有两个非线性特性并联，且其非线性特性都是单值函数，因此它们的描述函数N1和N2都是实数，见下图:,9/8/2019 12:10 AM,17,例如，下图为一个死区非线性环节和一个具有死区的继电非线性环节相并联的结构：,其等效
9、的描述函数为:,(A),9/8/2019 12:10 AM,18,2）、非线性特性串联时描述函数的求取,当两个非线性环节串联时，其总的描述函数不等于两个非线性环节描述函数的乘积，而是需要通过折算，先求出这两个非线性环节的等效非线性特性，然后再根据等效的非线性特性求出总的描述函数:,比如，下图为一个死区非线性环节与一个饱和非线性环节相串联的结构：,9/8/2019 12:10 AM,19,由于非线性特性对称于原点，故只分析X0或Z0的情况即可。,根据上表可得（c）图中X0部分，同样可得（c）图中X0部分，因此等效后系统的非线性特性入图（c）所示。其等效的非线性环节为一个既有死区又有饱和的非线性特
10、性，故总的描述函数为：,9/8/2019 12:10 AM,20,根据上表可得（c）图中X0部分，同样可得（c）图中X0部分，因此等效后系统的非线性特性入图（c）所示。其等效的非线性环节为一个既有死区又有饱和的非线性特性，故总的描述函数为：,（A1）,注意：如果调换串联的非线性环节之顺序，则等效的非线性特性会发生改变，总的描述函数也不再一样。,8.3 描述函数法,1、非线性系统的稳定性分析,很多非线性系统通过适当的等效简化后，都可以化为由线性部分和非线性部分串联而成的系统，如下图所示。,注意:非线性系统等效简化的原则是“r（t）=0”时的等效。,9/8/2019 12:10 AM,21,系统的
11、闭环频率特性为,系统的闭环特征方程为：,非线性系统满足上式的条件与线性系统中G（j）曲线穿过临界点（-1，j0）的情况相当，故：,就是非线性系统产生自振荡的条件，在复平面上1/N（A）曲线（即负倒特性曲线）是临界线。,9/8/2019 12:10 AM,22,2、非线性系统稳定性判定,推广的奈氏判据：若复平面上已知G（j）曲线和1/N（A）曲线，且G（S）开环稳定，则可根据两条曲线的相对位置来判断非线性系统的稳定性：,1）、若G（j）曲线不包围1/N（A）曲线，则非线性系统稳定，且两者距离越远，稳定程度越高。见右图（a）。,2）、若G（j）曲线包围了1/N（A）曲线，则非线性不系统稳定，当受到
12、扰动后，系统的输出将无限增加，直至发生故障或增至极限位置为止。见右图（b）。,9/8/2019 12:10 AM,23,“自振荡”确定如下：,在复平面上自振荡点的附近，当幅值A增加时，1/N（A）曲线是从不稳定区进入稳定区，则该点为稳定的自振荡（如c图A点）；,3）、若G（j）曲线与1/N（A）曲线相交，则非线性系统中存在着近似正弦的周期运动即自振荡（极限环），此时可以稳定也可以不稳定。见右图（c）。,反之，当幅值A增加时，而1/N（A）曲线是从稳定区进入不稳定区，则该点为不稳定的自振荡（如c图B点）。,9/8/2019 12:10 AM,24,3、自振荡问题分析,自振荡的振幅和频率求取方法：
13、,1）、图解法；,2）、自振荡条件法。通过非线性系统的闭环特征方程式:,即：,|N（A）G（j）| = 1及N（A）G（j）=来求得。,例题1：具有理想继电特性的非线性系统如图（a）所示，,其中非线性特性如图（b）所示，线性部分的传递函数为：,9/8/2019 12:10 AM,25, 试计算该系统的自振荡的振幅和频率。,解：因为理想继电器的描述函数为：,即:,当A=0时，-1/N（A）=0；,当A=时，-1/N（A）= ，因此1/N（A）曲线为整个负实轴区间。而线性部分的频率特性为：,故系统的1/N（A）和G（j）曲线如下：,9/8/2019 12:10 AM,26,要计算系统的自振荡的振幅
14、和频率，就是求取两条曲线的交点处的幅值A及：,令 ImG（j） = 0 得到， =1.414 此时有ReG（j） = 1.66,即 1/N（A）= A/4= -1.66 故 A=2.1, (rad/s),9/8/2019 12:10 AM,27,例题2：试将图（a）和图（b）所示两个非线性系统归一化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型结构。,解：图（a）中，由于G1和G2构成一个内环负反馈，且等效于,故图（a）所示非线性系统可归一化为如下典型结构：,9/8/2019 12:10 AM,28,图（b）中，先将主反馈回路（外环）与G构成闭环回路，即:,9/8/2019 12:10 AM,29,例题3、系统动态框图如图所示。,1) 当,时，,分析系统是否会产生自持振荡。若有自振，求自振的频率和振幅。,2) 当,时，分析分析系统的稳定性。,9/8/2019 12:10 AM,30,解：变换框图如下图所示。线性部分传递函数,即,所以,9/8/2019 12:10 AM,31,由于,故,且,9/8/2019 12:10 AM,32,较大的A值表示自持振荡，故,2) 当,9/8/2019 12:10 AM,33,例题4：教材P418例题8-5；,例题5：参考教材二P296例题7-4；,
