1、第四册,波动与光学,绪论 Introduction,1.11 相互垂直的简谐振动的合成,第一章 振动,1.1、3简谐振动的描述（运动学和动力学）,1.2 旋转矢量,1.4 简谐运动实例,1.5 简谐运动的能量,1.8 同一直线上同频率的简谐振动的合成,1.9 同一直线上不同频率的简谐振动的合成,1.10 谐振分析,振动有各种不同的形式：机械振动、电磁振动等,广义振动：任一物理量(如位移、电流等) 随时间周期性地变化。,1.1、3 简谐振动的描述,1、 简谐振动,位移：,x(t)=A cos(wt+j),弹簧振子,2、谐振动参量,1）、振幅 A,2)、周期 T,3)、频率 ,4)、相位,时,为初
2、相位,由初始条件t=0时，,解方程组可得,t+T状态不变,相位概念：,1.描述振动系统形象状态的物理量。,A,0,-A,0,A,2.描述振动系统状态的变化趋势。,3.描述频率相同的两振动系统的振动变化步调。,相位超前,相位落后,3、振动曲线,a .振动曲线的画法,用平移X轴法,例如：,根据初相的正负确定X轴的移向,原则：,方法：,当0时，将X轴向右移动,当0时，将X轴向左移动,X轴右移,X轴左移,例：由振动方程画振动曲线,1）、,2）、,X轴向右平移：,X轴向右平移,3）、,X轴向右平移：,4）、,X轴向左平移：,两振动的相差为：,4、 相位差(振动曲线表示）,设有两个同频率的谐振动，表达式分
3、别为：,1) 当Dj = 2kp , ( k =0,1,2,)时,用两个谐振动的相位差可比较其振动步调上的差异,两振动步调相同,称同相。,T,任意时刻的相差都等于初相之差。,2) 当Dj = (2k+1)p , ( k =0,1,2,)时,两振动步调相反 , 称反相。,3) 当0时,称第二个振动超前第一个振动,x1,T,x2,T,x1,x2,超前、落后以 的相差来判断,4) 当0时,称第二个振动落后第一个振动,相位差也可以用来比较不同物理量变化的步调,简谐振动中速度比位移超前/2，加速度比位移超前。,1.2 旋转矢量法（相量图法）,长度等于振幅A的一个矢量。,1、 旋转矢量,在纸平面内绕端点O
4、点沿逆时针方向旋转,旋转矢量端点在x轴上投影点的运动满足,旋转矢量本身并不做简谐振动。,注意：,t=o,t时刻,采用旋转矢量法，可直观地领会简谐振动表达式中各个物理量的意义。,的长度,振幅A,旋转的角速度,振动角频率,与x轴的夹角,表示振动的相位,的端点在x 轴的投影点的运动规律：,时,时,表示振动的初位,相位差等于初相之差！,3、两个同频率的简谐振动在同一时刻的相位差,2、同一简谐振动在不同时刻的相位差,例：用旋转矢量表示振动状态。,1）.,2）.,t=0,4）.,3）.,t=0,t=0,5）.,6）.,7）.,8）.,例：由振动曲线和旋转矢量求振动周期,解：,质点由A/2到平衡位置的时间为
5、1s,即：,另解：,质点由A/2到A，旋转矢量转过的角度为/3,即质点在A/2和A两个状态下的相位差,例1.1 一物体沿X 轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s。 当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向X轴正向运动。求:1、简谐振动表达式；2、 t =T/4时物体的位置、速度和加速度；3、物体从x =-0.06m向X轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。,取平衡位置为坐标原点,则振动方程为：,解:,A=0.12m,1),T=2s,x0=0.06m,初始条件：,t = 0时,所以,振动方程为：,2),设t1时刻,物体位于x = -0.06m处,3）,解法一：直接用相量图求解,其
6、相位为：,物体在t2时刻第一次回到平衡位置,其相位为：,因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间：,从t1时刻到t2时刻所对应的相位差为,解法二：,由：,1.4 简谐振动实例,1、单摆,很小时(小于 )，可取,规定逆时针方向为角位移的正方向,令,单摆的周期性：,-动力学方程,-振动方程,2、竖直弹簧振子,平衡位置处：,任意位置处：,而,由以上三式可得,即：,与水平弹簧振子相同，只改变平衡位置。,-动力学方程,求：振动方程,（振动表达式）,解：,由图可知,初始条件：,对吗？,初始条件v00,练习题,(cm),v0,例：水平弹簧振子弹簧倔强系数 k = 10 N/m ,物体质量 m =
7、 0.3 kg, 初始位移和初始速度分别为：x0 = 0.1m, v0 = -1 m/s, 写出弹簧振子的振动方程。,解：,由于,例：两个谐振子做同频率，同振幅的简谐振动。第一个振子的振动表达式为x1=Acos(w t+j)，当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰在正方向位移的端点。 1、求第二个振子的振动表达式和二者的相差； 2、若t=0时，x1=-A/2，并向x负方向运动，画出两者的x-t曲线及相量图。,解：,设,第一个谐振子由振动正方向回到平衡位置时,1、,此时第二个谐振子正在+A处,所以：,2、,则：,相量图,振动曲线,x1,x2,1.5 简谐振动的能量,动能：,势能：
8、,以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。,系统总的机械能：,能量平均值,对任一谐振系统均成立。,因为,表明简谐振动的机械能守恒。,谐振动的判据：,1、动力学判据,受正比而反向的恢复力作用,即,2、 能量判据,振动系统机械能守恒,积分,3. 运动学判据,相对平衡位置的位移随时间按正余弦规律变化,1.8 同一直线上同频率简谐振动的合成,合矢量沿x轴的投影表示了合运动的规律。,同相迭加，两分振动相互加强，合振幅最大。,1、,T,x1,x2,x,反相迭加，两分振动相互减弱，合振幅最小。,2、,当A1=A2 时，A=0。,质点处于静止.,x1,x2,x,合振幅介于 和 之间。,分振动的相差对合振动起着重要的作用。,为其它值时，,3、,特例：同一直线上的n个同频率的简谐运动的合成,两式相除,讨论：,1）,主极大,2）,极小,3） 一般情况,次极大,1.9 同一直线上不同频率简谐振动的合成,当,准谐振动,（振幅相同初相为零）,合成振幅,频率都较大但两者相差很小的两个同方向简谐振动， 合成时所产生的这种合振幅时而加强时而减弱的现象。,拍:,拍频：单位时间加强或减弱的次数,合成振幅, 1.3 1.5 1.6 1.8,第一章,作业,
