1、1. 任一n维向量 都是Rn的基本单位向量组,定义: 给定一组向量 , 若存在一组数k1,k2, ,ks,使 ,则称向量 是向量组 的线性组合，或称向量 可由向量组 线性表示。,的线性组合:,复习：,可由,线性表示,(线性方程组)有解,2.,二、线性组合(线性表示),2018/5/12,第三章 向量与线性方程组,2,三、线性相关与线性无关,齐次线性方程组的向量形式:,零向量是任一组同维向量的线性组合,齐次线性方程组必有零解,齐次线性方程组有非零解,存在不全为0的k1, k2, , kn,使,称,定义：给定向量组 , 若存在不全为零的数k1, k2, , ks ,使 ,则称向量组 线性相关；,(
2、“线性无关”定义?),若当,线性相关.,且仅当k1=k2=ks=0时上式成立, 则称 线性无关.,返回,(2)一个向量 线性相关,定理2 线性相关,有非零解,r=r(A) n,(无),(仅有零解),(rn),推论1 n个n维向量线性相关,(无关),推论2 n1个n维向量必线性相关,(方程个数未知量个数,必有非零解),结论:(1) 含有零向量的任一向量组必线性相关。,(3)两个向量线性相关,对应分量成比例,向量个数,向量维数,未知量个数；,方程个数.,(0),返回,例1 基本单位向量组 线性无关,例2.判断,是否线性相关.,r = 2 3 向量个数，,线性相关,解:设,则,重要结论：行变换不改变
3、列向量间的线性关系.,可否由 线性表示,竖排行变换， 放末列.,是否线性相关,竖排行变换.,返回,例3.证明：若 线性无关, 则 线性无关,证:设,(*),则,而 线性无关,方程组只有零解ki = 0,(目标: ki = 0),即只有k1=k2=k3=0时(*)式才成立 .,线性无关,线性无关 线性无关?,(奇数个向量时结论成立),思考：,返回,2018/5/12,第三章 向量与线性方程组,6,定理3 若向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关， 则整个向量组线性相关.,(记：部分相关 整体相关；,注：向量组中向量两两线性无关，整个向量组未必线性无关. 例(1,0), (0,1), (1,1
4、).,定理4 若向量组线性无关，则每个向量在相同位置添加一些分量后所得高维向量组线性无关；若向量组线性相关，则每个向量在相同位置去掉一些分量后所得低维向量组线性相关.,（记：短无关 长无关；长相关 短相关）,逆否命题：整体无关 部分无关),返回,2018/5/12,第三章 向量与线性方程组,7,证:,设,则 :,推论:向量组 线性无关,定理5 向量组 线性相关 其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.,其中任一向量都不能由其余向量线性表示.,四、关于线性组合与线性相关的定理,设kj0，则:,返回,2018/5/12,第三章 向量与线性方程组,8,定理6. 线性无关， 线性相关,证,设,线性相关
5、,存在不全为0的数k, ki ,使,k0 (反证可得),线性无关,线性无关,即 由 线性表示法唯一.,则,可由 唯一线性表示., ki=li(i=1,2,s),返回,2018/5/12,第三章 向量与线性方程组,9,例:任一n维向量 可由Rn的基本单位向量组,唯一地线性表示为：,例5(05考研) 设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a), (4,3,2,1)线性相关且a1，则a,返回,2018/5/12,第三章 向量与线性方程组,10,设向量组 线性相关， 线性无关,问:(1) 能否由 线性表出? 证明你的结论；(2) 能否由 线性表出? 证明你的结论.,解:(1), 线性无关, ,而 线性相关, 能由 唯一线性表出,(2)设,由(1),代入上式整理得,即 可由 表出,从而 线性相关, 不能由 线性表出,线性无关,矛盾!,返回,2018/5/12,第三章 向量与线性方程组,11,作业：,P167 ：3(2)(3)；4(1)(2)；9,认真预习: “3.3、3.4”,2018/5/12,第三章 向量与线性方程组,12,下课,作业(人大)：,P101 ：10(2)；11；14；15,预习: “3.3 向量组的秩”,
