1、第6章 刚体动力学,猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？,上堂课主要内容,质点系动量守恒定律,质点系的总动量,质心运动定理,刚体的平动可归结为质点运动,匀变速直线运动,匀变速转动,特点：加速度为常值,特点：角加速度为常值,6.1 力矩 刚体绕定轴转动微分方程,一. 力矩,力,改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度,力 F 对z 轴的力矩,力矩取决于力的大小、方向和作用点,在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向,质点获得加速度,改变质点的运动状态,？,h,A,(1) 力对点的力矩
2、,O .,(2) 力对定轴力矩的矢量形式,力矩的方向由右螺旋法则确定,(3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴 的力矩,讨论,例,已知棒长 L ,质量 M ，在摩擦系数为 的桌面转动 (如图),解,根据力矩,dx,例如,在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算,求 摩擦力对y轴的力矩,刚体的转动定律,作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和,刚体对 z 轴 的转动惯量,(1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大,(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同,二. 刚体对定轴的转动定律,实验证明,当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动,当存在 M 时
3、， 与 M 成正比，而与J 成反比,(3) 与牛顿定律比较：,讨论,在国际单位中 k = 1,O,理论推证,取一质量元,切线方向,对固定轴的力矩,对所有质元,合内力矩 = 0,合外力矩 M,刚体的转动惯量 J,三. 转动惯量,定义式,质量不连续分布,质量连续分布,计算转动惯量的三个要素:(1)总质量 (2)质量分布 (3)转轴的位置,(1) J 与刚体的总质量有关,例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,dx,M,(2) J 与质量分布有关,例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,O,L,x,dx,M,z,L
4、,O,x,dx,M,四. 平行轴定理,z,L,C,M,z,z,(3) J 与转轴的位置有关,:刚体绕任意轴的转动惯量,:刚体绕通过质心的轴,:两轴间垂直距离,例 均匀细棒的转动惯量,M,L,计算转动惯量的方法,（1）定质量密度,设质量密度均匀,一维质量线密度,二维质量面密度,三维质量体密度,（2）取质量元,（3）计算转动惯量,（4）代回质量密度,(1) 飞轮的角加速度,(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速,解 (1),(2),两者区别,五. 转动定律的应用举例,例,求,一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=
5、0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计， (见图),一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置,求 它由此下摆 角时的 ,O,l,m,C,x,解,取一质元,重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩,dm,例,刚体的平衡条件,沿任意方向分量为零,刚体平衡条件,对任意转轴为零,例 一架均匀的梯子，重为 W ，长为 2L ，上端靠于光滑的 墙上，下端置于粗糙的地面上。梯子与地面的摩擦系数为 m 。有一体重为的 W1 人攀登到距梯子下端 L1 的地方。,求 梯子不滑动的条件。,解,受力分析（五个力）。沿 x、y 方向合力为零,（1）,（
6、2）,选 C 点为转轴,（3）,解,(1) 由于,分析,(2) L1 一定时,质点运动学作业中问题,将作业中错题 必须更正！,二、填空题,积分得：,4.质量为 0.25kg 的质点，受力 (SI) 作用，式中 t 为时间。 t = 0 时该质点以 的速度通过坐标原点，则该质点在任意时刻的位置矢量是,积分得：,三、计算题,1.一质点从静止开始作直线运动，开始加速度为a ，此后加速度随时间均匀增加，经过时间后，加速度为 2a ，经过时间 2后，加速度为 3a ，。求经过时间 n后，该质点的加速度和走过的距离。,加速度随时间均匀增加,定 c,质点动力学作业中问题,二、填空题,1.图中所示的装置中，略
7、去一切摩擦力以及滑轮和绳的质量，且绳不可伸长，则 m1 质量为的物体的加速度,2.倔强系数为k的弹簧，上端固定，下端悬挂重物。当弹簧伸长x0 ，重物在O处达到平衡，现取重物在O处时各种势能均为零，则当弹簧长度为原长时，,弹性势能,总势能,O处平衡,重力势能,上堂课主要内容,刚体的转动定律,转动惯量,棒绕端点轴转动惯量,棒绕中点轴转动惯量,圆环绕中心轴旋转的转动惯量,圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,平行轴定理,刚体的平衡条件,沿任意方向力分量为零,对任意转轴力矩为零,6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理,一. 转动动能,z,O,设系统包括有 N 个质量元,其动能为,各质量元速度不同， 但角速度相同
8、,刚体的总动能,P,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半,结论,取,二. 力矩的功,O,功的定义,力矩作功的微分形式,力的累积过程力矩的空间累积效应,. P,ds=rd,对一有限过程,若 M = C,( 积分形式 ）,(2) 力矩的功就是力的功。,(3) 内力矩作功之和为零。,讨论,(1) 合力矩的功,三. 转动动能定理, 力矩功的效果,对于一有限过程,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理,刚体的机械能,刚体重力势能,刚体的机械能,质心的势能,刚体的机械能守恒,对于包括刚体的系统，功
9、能原理和机械能守恒定律仍成立,例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在 竖直平面内转动，初始时它在水平位置,解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的 ,此题也可用机械能守恒定律方便求解,例 质量为 m1 、m2 的两物体用细绳连接起来，放在固定 的光滑斜面上，细绳跨过半径为 R ，转动惯量为 J 的定滑轮。斜面的倾角为 a 。,解,求 物体 m1 从静止开始下落 h 高度时的速度,受力分析，列方程,h,m1,m2g,R,J,a,m2,a,m1g,T1,T1,T2,T2,N,m1,（1）,m2,（2）,滑轮,（3）,（4）,常数,由,一. 质点动量矩 (角动量)定理和动量矩守恒
10、定律,1. 质点的动量矩(对O点),其大小,特例：质点作圆周运动,6.3 动量矩和动量矩守恒定律,O,S,惯性参照系,(质点动量矩定理的积分形式),(质点动量矩定理的微分形式),质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量,2. 质点的动量矩定理,说明,(1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因,(2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果,3. 质点动量矩守恒定律,当合外力矩为零时,动量矩守恒定律,类比,时,(2) 通常对有心力：,例如 由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律,(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用,讨
11、论,行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积,过O点,M=0,动量矩守恒,二.质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律,质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩,三. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,1. 刚体定轴转动的动量矩,刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩都具有相同的方向,O,(所有质元的动量矩之和),2. 刚体定轴转动的动量矩定理,由转动定律,（动量矩定理积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量,(1) 变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元)转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩,说明,3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律,对定轴转动刚体,当变形体所受合外力矩为
12、零时，变形体的动量矩也守恒,如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等,例 一长为 L ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 自由转动。一质量为 m ，速度为 的子弹射入棒内距支点为 a 处，使棒偏转 30 。,解,求 子弹的初速率,L,a,O,m,m,过程1：子弹射入棒。子弹、棒系统受力矩为零,过程2：棒从 1 2 。子弹、棒、地球 系统,1,2,机械能守恒,选 O 点为势能零点,（1）,（2）,求 相对地面，人和转台各旋转的角度。,解,设,例 质量为 M 、半径为 R 的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。设阻力忽略不计。质量为 m 的人站在台边缘，人沿台边缘奔跑一周。,O,人和转台组成的系统无外力矩，动
13、量矩守恒,台,人,（相对地面）,（人相对地面）,（人相对台）,（正方向）,人跑一周时间,人对地,台对地,上堂课主要内容,转动动能,力矩的功,转动动能定理,刚体的机械能,质点作圆周运动的动量矩,质点的动量矩定理,质点动量矩守恒定律,刚体定轴转动的动量矩,刚体定轴转动的动量矩定理,刚体定轴转动的动量矩守恒定律,刚体定轴转动作业提示,一、选择题,力矩分析：,2.人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为 A 和 B。用 L 和 E k 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有,机械能守恒？,A、B点处哪点势能大？,从动量矩守恒，能否推出结果？,则动能,3.一刚体以每分钟
14、60转绕Z轴作匀速转动( 沿Z轴正方向)，设某时刻刚体上一点 P 的位置矢量为 ，其单位为10-2m；若以 10-2ms-1为速度单位，则该时刻P点的速度为,x,y,z,二、填空题,5.转动着的飞轮的转动惯量J，在 t = 0 时角速度为0。此后飞轮经历制动过程， 阻力矩 M 的大小与角速度 的平方成正比，比例系数为 k ( k 为大于0 的常数)。,当 时，飞轮的角加速度 =,从开始制动到 所经过的时间 t =,积分，注意上下限！,7.半径 20cm 为的主动轮，通过皮带拖动半径为 50cm 的被动轮转动，皮带与轮之间无相对滑动。主动轮从静止开始作匀角加速转动，在 4s 内被动轮的角速度达到 8 rads-1 ，则主动轮在这段时间内转过了_圈。,已知,1,2,三、计算题,分离物体，列方程,2.质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过圆中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量为m，长 l 为的匀质柔软细绳索(如图)。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长之差为 S 时，绳的加速度的大小。,M,四、证明题,刚体上一点 A 与转轴的距离为 r ，当刚体作定轴匀角速转动时，该点的运动方程为：,与转动公式比较,上述方程中 和 0 皆为常数，试证明其中的为刚体定轴转动的角速度。,
