1、概率论基础本科填空题（含答案）1 设随机变量 的密度函数为 p(x), 则 p(x) 0; = 1 ；E= 。dxp)(dxp)(考查第三章2 设 A,B,C 为三个事件，则 A,B,C 至少有一个发生可表示为： ；A,C 发生而 B 不发生可表示 CBA；A,B,C 恰有一个发生可表示为： 。CBACBA考查第一章3 设随机变量 ，其概率密度函数为 ，分布函数为 ，则 等于 ， 等)1,0(N)(0x)(0x)(021)0(于 0.5 。考查第三章4 设随机变量 具有分布 P=k= ，k=1,2,3,4,5，则 E= 3 ，D= 2 。51考查第五章5 已知随机变量 X，Y 的相关系数为 ,
2、若 U=aX+b,V=cY+d, 其中 ac0. 则 U，V 的相关系数等于 。XYr XYr考查第五章6 设 ，用车贝晓夫不等式估计：),(2N)|(|kP21考查第五章7 设随机变量 的概率函数为 P= = 则 0 ； = 1 ；E= 。ixip,.21ipip1iipx考查第一章8 设 A,B,C 为三个事件，则 A,B,C 都发生可表示为： ；A 发生而 B,C 不发生可表示为： ；A,B,CBCCBA恰有一个发生可表示为： 。BAC考查第一章9 ， ，则 5 。)4,5(NX)()(cXPc考查第三章10 设随机变量 在1，6 上服从均匀分布，则方程 有实根的概率为 。 012x45
3、考查第三章 较难11 若随机变量 X，Y 的相关系数为 ,U=2X+1,V=5Y+10 则 U，V 的相关系数= 。XYr XYr考查第三章12 若 服从 的均匀分布， ，则 的密度函数 。,22()gy1()2y考查第五章13 设 ， ，若 与 互不相容，则 0.3 ；若 与 相互独立，4.0)(AP7.0)(BAB)(BPAB则 0.5 。B考查第一章14 将数字 1，2，3，4，5 写在 5 张卡片上，任意取出三张排列成三位数，这个数是奇数的概率 P（A）= 。5PC考查第一章15 若 ， 8 ， 1.6 ，最可能值 8 。).0,1(BED0k考查第二、五章16 设随机变量 X 的概率
4、密度为 ，则 = 6 , ()0xef(3)EX=3()Ee16考查第四、五章17 任取三线段分别长为 x,y,z 且均小于等于 a，则 x,y,z 可构成一三角形的概率 12考查第一章（较难）18 设随机变量 X，Y 的相关系数为 1，若 Z=X-0.4,则 Y 与 Z 的相关系数为 1 考查第五章19 若 ， 3 ， 0.16 . (3,0.16)NED考查第五章20. 若 ， 16 ， 8.4 . (,.7)B(9)(23)考查第五章21. 某公司有 A、B 、C 三个生产基地生产同一种产品，产量分别占 20%，45%和 35%三个基地的产品各有30%，20%，25%在北京市场销售则该公
5、司任取此产品一件，它可能在销往北京市场的概率为 0.2475 考查第二章22. 为一维连续型随机变量 的概率密度函数，则有 1 ；若离散型随机变量 具有分布)(xf Xdxf)( Y列 则 1 ,kpyYPk考查第三章23. 若 是相互独立的随机变量，均服从二项分布，参数为 及 ，则 服从参数为 参数为X, pn,1,2YX的二项分布 分布pn,21考查第四章24. 设随机变量 服从参数为 和 的正态分布 ,则 =_0_; =_2_X02)20(NEXDX考查第五章25设 A,B,C 为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为 。ABCCAB考查第一章27若二维随机向量（ ）的联合密度函
6、数,P(x,y)= )()(2)()12exp12 2211 ayaxraxrr 则 E = , D = , E = , D = Cov( )= .a2a2,考查第五章28两人相约 7 点到 8 点在某地会面，先到者等另一个人 20 分钟，过时就可离开，则两人能会面的概率为 5/9 。考查第一三章选择题(含答案)1.一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐” ）内的红球数与黑球数之比为 2：1，另一罐（取名“乙罐” ）内的黑球数与红球数之比为 2：1，今任取一罐并从中依次取出 50 只球，查得其中有 30 只红球和 20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的
7、( D )（A）2 倍 （B）254 倍 （C）798 倍 （D）1024 倍2.在0,1线段上随机投掷两点，两点间距离大于 0.5 的概率为 ( A )（A）0.25 （B）0.5 （C）0.75 （D）13.设独立随机变量 X，Y 分别服从标准正态分布，则 X + Y 服从( C )（A）N(2,0) （B ）自由度为 2 的 分布 （C）N(0,2) （D）不能确定4.设 P（X=n）=a 且 EX=1，则 a 为( B )n,.)1(（A）1 （B） （C） （D）253312155下列论述不正确的是 ( B )（A）若事件 A 与 B 独立则 与 B 独立 （B）事件 A B 不相容
8、则 A 与 B 独立 （C）n 个事件两两独立不一定相互独立 （D）随机变量 和 独立则二者不相关6甲乙两人各投掷 n 枚硬币，理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为( C )（A）0 （B） （C） （D）k0n2)1(n2)1(7.设独立随机变量 X，Y 分别服从标准正态分布，则 X + Y 服从( C ) （A）二项分布 （B） 分布 （C）N(0,2) （D）不能确定28.对于任意事件 与 ，有 （ C ） 。)(AP（A） （B） )(P )()(ABP（C） （D）9.在0, 线段上随机投掷两点，两点间距离大于 的概率为( D )a2a（A）1 （B）0.75 （C）0.5 （D
9、）0.2510.设 P（X=n）=a ，其中 a 为 ，则 EX= ( B )n,.)21(53（A） （B） 1 （C）0.5 （D） 3511下列论述不正确的是 ( C )（A）n 个事件两两独立不一定相互独立 （B）若事件 A 与 B 独立则 与 B 独立 （C）事件 A B 不相容则 A 与 B 独立 （D）随机变量 和 独立则二者不相关12掷 n 枚硬币，出现正面的概率为 ，至少出现一次正面的概率为( A )p（A） （B） （C） 1 （D）1()np11nnC 1p13.设 A，B 为两个互斥事件，且 P（A）0，P(B)0，则下列结论正确的是（ C ） 。（A） P(B|A)0
10、, （B） P(A|B)=P(A) （C） P(A|B)=0 （D ） P(AB)=P(A)P(B)考查 第二章14.事件 A，B 相互独立， ，P（A）=（ D ） 。)()(,91)(B（A） （B） （C）0 （D）1323215.随机变量 服从（ D ）分布时， 。XEX（A）正态 （ B）指数（C）二项 （ D）泊松（Poisson）16.设 ，记 ，则（ A ） 。)5,(),4(22NYX )5(),4(21 YPpXPp（A）对任何实数 ，都有 （B ）对任何实数 ，都有 21 21p（C）只对 的个别值，才有 （D ）对任何实数 ，都有 17若有十道选择题，每题有 A、B、C
11、、D 四个答案，只有一个正确答案，求随机作答恰好答对六道的概率为（ B ）（A） （B）3564103()（C） （ D）61()4!e18某课程考试成绩 , 已知 96 分以上占 2.3%，则 6084 分所占比例为（A ）)72(NX（已知 ）20.9（A） （B）(1)1(2)（C） （D） 0.519. 设独立随机变量 X，Y 分别服从标准正态分布，则 X Y 服从( C ) （A）泊松分布 （B） 分布 （C）N(0,2) （D）不能确定220.对于任意事件 ，有 （ A ） 。A)(BP（A） （B）0 )(P（C）1 （D） ()21. 设随机变量 的密度函数为其 它02cos)
12、( xxap则常数 为（ B ）a（A） （B） （C）0 （D）1312122下列陈述不正确的是（D ）（A）两两独立不一定相互独立 （B）若事件 A 与 B 独立则 与 B 独立 （C）事件 A B 独立则 （D ）随机变量二者不相关则 和 独立(|)(PA23. 下列数列可以构成分布列的是（C）（A） （B） （C） 0 （D）1(),2.3n1,2.n1(),2.n1,2.n24下列陈述不正确的是（B）（A） 和 不相关则 （B）随机变量二者不相关则 和 独立 ()()D（C） 和 不相关则 （D）随机变量二者不相关则cov,0()E25事件 中， 发生且 与 不发生的事件为：( C
13、) B,A（A） ； （B） ；（C） ； （D）ABB.CBA26设 为相互独立的两事件，则下列式子中不正确的是：（ A ） ,(A) ； （B） ；)()(PAP)()(P（C） ； （D ）|B .B27工厂每天从产品中随机地抽查 50 件产品，已知这种产品的次品率为 0.1%， ，则在这一年内平均每天抽查到的次品数为：（ A ） （A）0.05; （B）5.01 ;（C）5; （D）0.5 .28 则 服从分布：（ C ）,23),10(XYUX（A） （B） （C） （D）;2);1();1,2(U).0,1(29设随机变量 的联合概率密度为 则：（ B ）, ).)2( yxeyx
14、fyx（A） 不相关； （B） 相互独立； （C ） 相关； （D） 不相互独立YXYX, YX, YX,30事件 A，B 互不相容，是指（ B ）(A) P (AB)= P (A) P (B) (B) A B= (C) A B= (D) A =B计算题（含答案）一 设随机变量 只取非负整数值，其概率为 P ，a0 是常数，试求 E 及 D 1)(ka解：记 t= 1a1= = = =E11)(kk112)()(kka12)(kt12)(kta= = =2)(ta2)(ta= = + =2E11)(kk1)(ka1)(kaatk132)(= = ata32)(2=22ED二炮战中，在距离目标
15、250 米，200 米，150 米处射击的概率分别为 0.1, 0.7, 0.2, 而在各处射击时命中目标的概率分别为 0.05, 0.1, 0.2。 任射一发炮弹，求目标被击中的概率。若已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标 250 米处射出的概率。解：1） 设 分别表示炮弹从 250 米，200 米，150 米处射击的事件,321,AB 表示目标被击中。则由全概率公式 )|()|()|()( 332211 ABPBPP= 15.0.07.5.02) 由 Bayes 公式 )|()|()|()|( 332211 111 ABPABPABPA 5.004.三某单位招聘 2 500 人，按考
16、试成绩从高分到低分依次录用，共有 10 000 人报名，假设报名者的成绩 X 服从分布 N 已知 90 分以上有 359 人，60 分以下有 1151 人，问被录用者中最低分为多少？),(X 的分布函数为 2)(1(xexf15.0)60(96439 10359)(100),(),(2XPN标准正态分布表可得到 =72 和 =100 的值，然后令录取的最低分为 ，则20x1025)(000 xxXPx从而得到 即录取的最低分为 79 分。,790四从 1 到 2000 这 2000 个数字中任取一数，求1）该数能被 6 整除的概率；2）该数能被 8 整除的概率；3）该数能被 6 和 8 整除的
17、概率；4）该数能被 6 或 8 整除的概率。解：利用古典概型的公式()mAPn所 含 样 本 点 数样 本 点 总 数有 利 于 的 场 合 数样 本 点 总 数1） ；2） ；3） ；305018204）()()( )201PPP能 被 整 除 能 被 6整 除 既 能 被 6整 除 又 能 被 8整 除五空战中，从 ， ， 处射击的概率分别为 0.2, 0.7, 0.1, 而在各处射击时命中敌机的概率分别为 0.2, 0.1, 1A230.05。 任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由 处射出的概率。3A解：1） 设 B 表示目标被击中。则由全概率公式 )
18、|()|()|()( 332211 BPBPAP= 15.0072.02) 由 Bayes 公式 )|()|()|()|( 332211 333 ABPABPABPA 5.004.六一地区农民年均收入服从 元， 元的正态分布，求：该地区农民年均收入在 500 元520 元间的人数的百分比；如果要使农民的年均收入在 内的概率不小于 0.95，则 至少为多大？),(aa3 个农民中至少有一个年均收入在 500 元520 元间的概率。20,5N解：（1）（2）0000551.84130.541322P，9.a，20.5295.010可得， ，96.1a.3（3）考虑反面没有一个年收入在范围中的情形，
19、其概率为： ，03311()Cp3003)41.().(1C七设随机变量 （i=1,2）,且满足 ，则求概率 。042iX:120PX12PX解：由 ，得 ，即120P1P,X2,12,12,10再根据联合分布与边际分布的关系可以求得 和 的联合分布。X211 0 1 1iiPXxp1 0 140 40 140 14121 0 140 42ijPXyp14214所以 0.12八、有一袋麦种，其中一等的占 80%，二等的占 18%，三等的占 2%，已知一、二、三等麦种的发芽率分别为0.8，0.2，0.1，现从袋中任取一粒麦种：试求它发芽的概率；若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少？
20、解：设事件 “取出来的种子是一等种子” “取出来的种子是二等种子”1A2A“取出来的种子是三等种子” 3“取出的种子发芽” “取出的种子未发芽” BB由题： %2)(18)(%80)( 321 PAP1.0|.0|.| AB9)|()|()|( 321BB（1）全概率公式 )|()|(| 332211 ABPPPA=67.8%（2）贝叶斯公式 )|()|()|()|( 332211 111 ABPABPABPAP=0.497九、 设随机变量 的分布列为 202P 0.2 0.3 0.3 0.2求 的分布列。1解： 21)(201)2(2p 0.2 0.3 0.3 0.2整理得 的分布列十、某师
21、院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占 20%，65% ，15%. 毕业后十年，这三类学生能成为优秀教师的概率各为 80%，70%，55%. 求该学院毕业的学生十年后成为优秀教师的概率。解：记 B=成为优秀教师112233()(|)(|)(|)8027656975001PBAPABPAB十一、将一颗均匀的骰子连掷两次，以 表示两次所得点数之和。求 1） 的分布列；2）E。解：1） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12ip6633564363162）12kEP13.636 57十二、设二维离散型随机向量（，）的联合分布列为：0 1 21 C010C1 4221P 0.3 0.5
22、0.22 0 210C2103 2101） 求常数 C;2） 求 ， 的边缘分布列；3） 求 2 的条件下， 的条件分布列；4） 判断 与 是否相互独立。解：1）C=1;2)0 1 2 ip:1 0.1 0.1 0.1 0.32 0 0.2 0.2 0.43 0.2 0 0.1 0.3jp:0.3 0.3 0.4和 的边沿分布列为：1 2 3P 0.3 0.4 0.30 1 2P 0.3 0.3 0.43) 2|0 1 2P 0 0.5 0.5整理得： 2|1 2P 0.5 0.54）因为 ,0.40320P所以 与 不相互独立十三、一个篮球运动员的投篮命中率为 0.6，以 表示他首次命中时累
23、计的投篮次数。写出 的分布律XX解：分布律为 ,21)6.0(4.1kkXPk十四、已知连续型随机变量 有密度函数 其 他02(xxp求系数 k 及分布函数，并计算 P1.52.5解：由密度函数的性质 20220)()1()(1 kxkdkxdp2kxtpF)(当 时， , 0x)tp0当 时，2x xtdt0 22410)()21(当 时，x)(F2104)(2x 0625.).1(45.).1(5.(.5. 2FP十五、设随机变量 的联合分布为YX,1 2 3 40 0.00 0.03 0.05 0.021 0.12 0.05 0.07 0.012 0.08 0.03 0.08 0.113
24、 0.05 0.04 x 0.06求 x, 及 的边际分布（直接填写在表中） ，给出 在 的条件下的条件分布YXX2Y解：x =0.2在 的条件下的条件分布为2X| 1 2 3 45410154301十六、设二元连续型随机向量 的联合密度函数为),(YX.,0,|,11),(其 它 xyyxf求 的数学期望、方差和相关系数YX,解：当 0x1 时， 而 或 时，xdyxP21)( ,1x0)(xP当-1y0 时， y当 而dxy1)(,10 )(,y， ，3221010xdxE 0)1()1(00 dydyE832)(212dD260)1(),(0dxyECovx),(Dvr综合应用题（含答案
25、）1.设二维连续型随机向量（ ）的联合密度函数为,其 它020,13),(2yxAyxyp其中 为常数，求：A1） 常数 ;2） 的边沿密度函数, );(,21yx3） 的条件密度函数 p4） 判断 与 是否相互独立；解：1）由密度函数的性质： 1020221063),(dyAxyddxyxp32210x所以 3A2）由边沿密度的计算公式，及 的直观图形：0),(yxpdyxp),()(1当 或 时 所以0x1,0),(yxp1当 时，2xy11 0),(yxpxxydyxp326)( 20021所以 其 它01)(21 xpdypy),(2当 或 时， ，此时 ；0y20),(yxp)(当
26、时631631)( 102022yyxdxp所以： 其 它02)(1yxp3）由条件密度的计算公式：当 时 ，此时条件密度存在，且20y0)(yp其 它 其 它01261063)(,)(22xyxxyxyp当 时， ，此时条件密度存在，且10x0)(1xp其 它其 它 其 它026302032)(,)(21yxxyxypx4）显然： )(),(21ypxyp所以 与 不独立。2.设 (X,Y) 服从单位圆上的均匀分布，概率密度为：21,1(,)0xyfxy其 它试求 ，并讨论 X，Y 的独立性。|()YXf解： (X,Y) 关于 X 的边际密度为： 21,|()(,)0,X xfxfyd当 |
27、 x | 1 时,有| ()()YXXfxyfy21()x2,1221yx即 当 | x| 1 时, 有|()YXfyx222,0xyxx取 其 它 值， | (,)()(YXYXfyffxX，Y 不独立。3.设二维随机变量 的概率密度为(,)221(,)0Axyfy其 它（1） 求常数 ；（2） 求 和 的边际密度； XY（3） 和 是否相互独立？（4） 求概率 。()P解: (1) 21161,()5xfxydAydxA所以 。56A（2） 215()1()(,)60xX ydxfxfyd 其 它2415(3)1()0Xxxfx其 它25()01()(,)16yY xdyfxfdx 其 它
28、32()(,)0Yyfxfx其 它（3） 和 不相互独立。X（4） 7()(,)64xyPfdy4 某人有 10 万元资金决定进行投资，现有两个投资项目可供选择，设投资项目 1 的收益为 （万元） ，投资项目 2 的收益为 （万元） ，其分布列为分别为-2 1 4P0.2 0.3 0.4-4 1 50.2 0.3 0.5若同期银行利率为 5%，问应如何选择投资项目？解：10 万元存入银行的无风险收益为（万元）5.0.1若投资项目 1，则平均收益和方差为（万元）9.1432E 49.50)()9.(.)9.( 22 D若投资项目 2，则平均收益和方左为（万元）5.01041.)(3)(.)2( 22因为两个投资项目的平均收益都大于 0.5（万元） ，所以两个投资项目都是可取的选择，由计算结果，对于赌徒可选择投资项目 2，对保守者可选择投资项目 1，对理智的投资者来说，因为 4.012597.04. 应选择投资项目 15 . 设二元连续型随机向量 的联合概率密度函数为),(YX.,0,1/1),(2其 它 yxyxf证明： 不相关但 不相互独立YX,证明： 1|121),()( 21 xdydyxpx 1|2),( 212 ydpy所以 )(,2px即 与 不独立。但 01)(21 dxxdxpE同理 0E 0),(221dyxxyEyx从而得 与 的相关系数为 0。
