1、考试范围：第一章，第二章，第四章考试题型：6 个小题，5 个大题一、小题例题：例 1、事件 A、B 独立，P(A)=0.3，P(A B)=0.7，求 P(B).【 考点：加法公式，独立性】解：加法公式：P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB)有 A、B 独立，则 P(AB)=P(A)P(B)P(A B)=P(A)+P(B)- P(A)P(B)，即 0.7=0.3+P(B)- 0.3P(B)，则 P(B)= 47例 2、P(A)= ，P(B)= ，P(AB)= ，求 P(B| ).【考点：对立事件，条件概率】13 12 18 解：P(B| )=()()=()()1() =1218113=91
2、6例 3、X 的分布函数为 F(x)= ，求 X 的分布律 .0, 00, 其他 ,=12态分布，指数分布，特殊分布的期望和方差，协方差】解： ，cov(X,Y)=2,=cov(X,Y)()()=cov(X,Y)44=12例 5、袋中有 a 个黑球，b 个白球，每次从中取球一只，取后不放回，从中连续取球两次，求第二次取到白球的概率.【考点：不放回抽样】解：A：第二次取到白球B1：第一次取球为黑球 P(B1)= +B2：第一次取球为白球 P(B2)= +P(A)= + = + +1 +1+1 +二、大题例题：第一章：例 1、袋中有 6 球，4 白 2 红，从袋取球两个，作放回抽样，求以下事件的概
3、率.两个白球两球同颜色至少有一个白球【考点：古典概率（等可能概率） 】解：6 个球按顺序排列，1、2、3 、4、5、6 ，前四个为白球，后两个为红球i：第一次取球号码j：第二次取球号码(ij)：n=6 6j i 1 2 3 4 5 61 11 21 31 41 51 612 12 22 32 42 52 623 13 23 33 43 53 634 14 24 34 44 54 645 15 25 35 45 55 656 16 26 36 46 56 66A：两次取到白球A：包含 k=4 4 个基本事件P(A) =4466=49B：两次取到红球B：包含 k=2 2 个基本事件P(B) =22
4、66=19C：两次取球同色C=A B由有限加性 P(A B)=P(A)+P(B)= 59D：至少取到一个白球D 与 B 互为对立事件，D= ，P(D)=P( ) 由对立事件的性质 P(D)=P( )=1- P(B)= 89例 2、彩票号码 12000，某人从中随机抽取一张，若抽到的号码既不能被 6 整除，也不能被 8 整除，则他中奖，问此人中奖的概率为何？【考点： 加法公式，对偶律】解：A：抽到的号码能被 6 整除B：抽到的号码能被 8 整除C：抽到的号码既不能被 6 整除也不能被 8 整除12000 中能被 6 整除的有 333 个， 20006=333212000 中能被 8 整除的有 2
5、50 个， 20008=25012000 中能被 6 和 8 共同整除的有 83 个， （24 为 6 和 8 的最小公倍数） 200024=838C= ，P(C)=P( )=P( )=1-P( )=1- P(A)+P(B)-P(AB)=1-( )= 3332000+2502000832000 34例 3、某训练班由甲、乙两单位的人员构成，其中甲单位人员占 40%，乙单位人员占60%，若甲单位学员及格率为 75%，乙单位学员及格率为 50%，问全班学员及格率是多少？在全体合格学员中，甲、乙单位人员各占多大的比例？【考点：全概率公式，贝叶斯公式】解：在全体学员中随机抽取 1 人，A：抽到的学员为
6、及格生.B1：抽到的学员为甲单位人员，B 2：抽到的学员为乙单位人员.B1、 B2 为样本空间的一个分割.全概率 P(A)=P(B1)P( B1)+ P(B2)P( B2)=0.4 0.75+0.6 0.5=0.6| | 贝叶斯 P(B1 )= = =|(1)(|1)(1)(|1)+(2)(|2)0.30.612P(B2 )= = =|(2)(|2)(1)(|1)+(2)(|2)0.30.612例 4、I 1、I 2 串联，I 3、I 4 串联，同时 I1 串 I2 与 I3 串 I4 并联，四个电键闭合与否相互独立，又每个电键闭合的概率为 p(0p1)，问系统中电流通过的概率为多大？【考点：
7、加法公式、事件独立性】解：A：系统中电流通过.Ai：第 i 个电键闭合(i=1 、2、3、4).A=A1A2 A3A4， P(A)=P(A1A2 A3A4)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2 A3A4) =P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=p2+p2-p4=2p2-p4第二章：例 1、汽车到达目的地的路上有四个信号灯，各个信号灯亮红灯与否相互独立，且每个信号灯亮红灯的概率为 p(0p1)，X：汽车第一次停下时所经过的信号灯数，求 X 的分布律.解：分析可得，X 可取 0，1，2，3，4 这 5 个值.X 的分布律如下：X 0 1
8、2 3 4pk p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4例 2、共进行了 400 次相互独立的射击，每次中靶的概率皆为 0.02，问至少中靶两次的概率为何？【考点：二项分布，伯努利试验】解：X：400 次射击中中靶的次数， Xb(400,0.02).P(X )=1-P(X2)=2 1(=0)(=1)=1(=0)+(=1)【近似公式】 ，其中 .(k=0，1 ，2， )（泊松公式）(=)=(1)! = 同时，规定 0！=1.式中 .=4000.02=8则 ，则 P(X )=1-9e-8.(=0)=00！ =8 ， (=1)=11！ =88 2例 3、X -1 2 3pk 1
9、4 12 14求 F(x)， P(X )，P( X ).【考点：分布函数 F(x)】12 32 52解：F(x)= P(X )=P .(， )=0， 114， 1234， 231， 3P(X )= F( )= .12 12 14P( X )= F( )- F( )= = .32 52 52 32 341412例 4、XN(1,4)，求 P(0X1.6).【考点：正态分布、标准正态分布及 X 的标准化】解：P(0X1.6)=P(X1.6)-P(X0)=P( 0.3)-P( -0.5)=X12 X12【课本 382 页查表可得结果，考试中会给出相应(0.3)(0.5)=(0.3)1(0.5)参数】
10、例 5、实际温度 XN(d,0.52),（单位） ，若欲 P(X80)0.99，问 d 至少要定在多少度？解：设定在 d，XN(d,0.5 2)0.99P(X80)=1-P(X 80)=1-P(X80)=1-P( )=1- =0.5800.5 (800.5)(800.5)查表得 =0.99，则 .(2.33)800.52.33， 81.164答：至少要定到 81.164.例 6、X 的分布律如下：X -1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.1 0.4又 Y=(X-1)2，求 Y 的分布律. 【考点：随机变量函数的分布】解：Y=(X-1) 2Y 4 1 0 1X -1 0 1 2pk 0.2
11、0.3 0.1 0.4则 Y 的分布律为：Y 0 1 4pk 0.1 0.7 0.2例 7、 ，Y=2X+8 ，求 .()=8,040, 其他 ()解： ()=(2+8)=(82)=(82)=82()()=()=82()=(82 )(82 )=12(82 )=832,8160, 其他 第四章：例 1、到站点时间 8:109:108:309:308:509:50概率 16 12 13旅客 8:00 到站旅客 8:20 到站X：旅客候车时间（分） ，求 E(X).【考点：数学期望 E(X)】解：X 的分布律如下：X 10 30 50pk 16 12 13E(X)=10 +30 +50 =16 12
12、 131003 X 的分布律如下：X 10 30 50 70 90pk 12 13 1616=136 1612=112 1613=118E(X)=10 +30 +50 +70 +90 =12 13 136 112 1182009例 2、景区观光大巴有 20 人，有 10 处景点站，有人下车即停，乘客在各站下车概率相同，均为 ，各个乘客下车概率均相互独立，X：汽车停车总次数，求 E(X). 【考点：数学期望110E(X)】解：定义随机变量 Xi 为汽车在第 i 个车站停车次数(i=1 、2 、 、10)，则 Xi 的分布律为Xi 0 1pk (1- )20110 1-(1- )20110E(Xi)= 1-(1- )20=1-( )20(i=1、2、 、10)110 910 X=X1+X2+ +X10E(X)=E(X1+X2+ +X10)=10 E(Xi)=101-( )20910【考点】书上 379 页几种常用概率分布的期望 E(X)和方差 D(X)：0-1 分布二项分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布【考点】书上 380 页协方差 cov(X,Y)，相关系数 .,
