1、 结构动力学基础 宋一凡 编写 长安大学桥梁研究所 2014-02-20 2 课程简介 随着现代工程技术和物理学的发展，结构动力分析已经发展成为具有工程应用价值的新兴学科。本课程作为桥梁结构动力分析与抗震的基础，系统地介绍了结构动力学的基本理论、基本原理和分析方法。主要内容有：经典动力学原理，单、双自由度体系的振动理论，非线性结构响应数值分析原理等。 目 录 第一章 结构动力学简述.1 第二章 动力学原理.3 2-1 约束3 2-1-1 完整约束错误！未定义书签。 2-1-2 非完整约束错误！未定义书签。 2-2 广义力3 2-3 达朗贝（DALEMBERT）原理.4 2-4 拉格朗日（LAG
2、RANGE）方程4 2-4-1 动能4 2-4-2 拉格朗日方程5 2-5 哈密尔顿（HAMILTON）原理.8 第三章 单自由度体系振动.10 3-1 单自由度体系的力学模型及其运动方程10 3-1-1 单自由度运动方程10 3-1-2 示例11 3-2 单自由度体系的自由振动12 3-2-1 无阻尼自由振动（ 0c ）.12 3-2-2 有阻尼的自由振动（ 0c ）13 3-3 单自由度体系在简谐荷载下的响应16 3-3-1 无阻尼单自由度体系在简谐荷载下的响应16 3-2-2 有阻尼单自由度体系在简谐荷载下的响应18 3-4 利用共振峰求阻尼比的方法21 3-5 单自由度体系在冲击荷载作
3、用下的响应22 3-5-1 冲击荷载的特性22 3-5-2 正弦波脉冲22 3-5-3 矩形冲击荷载24 3-5-4 三角形冲击荷载25 3-5-5 冲击荷载作用下的结构响应26 3-5-6 一般激振力作用下的结构响应27 第四章 双自由度体系的振动.29 4-1 双自由度体系的一般振动方程29 4-2 双自由度体系的无阻尼振动30 4-2-1 无阻尼时的运动方程30 4-3 双自由度体系的无阻尼振动39 4-4 拍的现象40 4-5 动力消耗42 4-5-1 动力消振原理42 4-5-2 消振器在高耸结构上的应用45 第五章 非线性结构响应的数值分析原理.46 5-1 线性加速度法46 5-
4、2 WILSON- 法49 5-3 关于数值积分的精度问题50 1 第一章 结构动力学简述 近几十年来，对工程结构进行动力分析的要求日益迫切。这是由于： 1）各种工程结构尺寸的增大、薄壁轻型结构和高耸结构的出现，使风荷载对结构强度及稳定性产生了举足轻重的影响。1940年秋，美国Tacoma悬索桥由于风致振动而破坏，这一严重故事震惊了当时的桥梁工程界。从此，对风致振动的研究得到了足够的重视。研究表明，对于象悬索桥这种大跨度的柔性桥梁结构，在设计时必须考虑风振的影响。大跨径连续梁及高墩连续刚构等桥梁的动力学行为已列为国家西部攻关课题进行专项研究。此外，还有运行车辆对桥梁结构的振动影响也是人们正在研
5、究的课题。 2）在世界各地每年都有强烈地震发生，为了减少或避免地震对工程结构物的破坏，目前人们正在努力研究抗震设计问题、寻找在役工程结构抗震性能评估方法。 3）离岸结构海洋平台的出现。海洋平台结构承受的荷载是风、浪、流、冰及地震海啸等动力环境荷载，特别是对深水域的海洋平台，在设计时必须对结构进行动力分析。 4）建筑物的抗爆，桥梁结构抗撞击。 5）在厂房中由于桁吊运动引起的振动。 6）动力设备基础结构的振动分析。 除了上述情况外，还有其他需要考虑对工程结构进行动力分析，等等。 对工程结构进行动力分析的目的是保证工程结构在整个使用期间，在可能发生的动力荷载作用下能够正常地工作，并确保它安全、可靠。
6、这就要求寻求结构在任意动力荷载作用下随时间而变化的响应（响应包括位移、应变和应力等）。寻求结构响应可以用分析的和试验的方法。对于很复杂的问题往往两种方法同时并用。本课程仅讨论分析的方法。 动力荷载是指荷载的大小、方向或位置是随时间而变化的荷载。如果荷载随时间变化得十分缓慢以致动力影响微乎其微，这时可以把荷载看成是静载。因此，荷载究竟当作动力荷载还是当作静力荷载是相对的。 结构动力问题不同于静力问题表现在二个重要方面：第一，动力问题具有随时间而变化的性质。由于荷载和响应因时而异，故动力分析要比静力分析更为复杂且费时间。第二，更为重要的是在动力问题中位移加速度起了很大的作用（即惯性力作用），这就是
7、结构动力学问题的一个很主要的特征。一般来说，如果惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载中的一个重要部分，则必须按动力分析方法求解。反之，如果荷载随时间变化十分缓慢，从而运动也缓慢到致使惯性力小到可以忽略不计的程度，那么，即使荷载和响应随时间而变化，但对任何瞬时的分析，仍可用静力分析的方法来解决问题。 计算结构在动力荷载作用下的响应基本上有两种不同的方法：确定性和非确定性的（或称概率性的也有叫做随机性的）。在具体情况下，究竟选用哪一种方法将取决于荷载、结构系统的参数以及初始条件是如何规定的。严格言之，如果前述三个方面（荷载、参数、初始条件）是完全确定已知时，则用确定性分析方法。在通常所遇到的多数
8、问题中，为了使问题简化而又不致影响分析结果的精度，都假定结构参数及初始条件是完全确定、已知的。因此，2 在这种情况下，如何规定荷载，将直接决定分析方法的选用。这时，如果荷载随时间的变化可用时间的定函数形式表示时，那么，尽管它是高度变化不定的或者其性质是不规则变化的，我们仍把它叫做确定性荷载，相应的结构响应分析也被定义为确定性分析方法。反之，如果荷载随时间的变化不是完全确定、已知的，但可以用统计特征来进行描述的话，则这种荷载叫做随机荷载，而非确定性（概率性或随机性）分析方法是对应于随机荷载下的响应分析。当然，分析的结果也只能用统计特征来进行描述。 用确定性方法对结构进行动力分析时，首先要求出结构
9、在动力荷载作用下其位移随时间变化的情况，即要求出结构在某种荷载-时间历程作用下，相应的位移-时间历程；然后即可求出结构的其他响应，如应力、内力等的时间历程。本课程仅讨论确定性结构动力分析方法。 用非确定性方法分析时，不能采用上述确定性分析方法的那一套程序，因为在非确定性分析中所求得的位移仅仅是某种统计特征值，而其他响应（比如应力）的统计特征值和位移统计特征值之间没有象确定性分析时位移和应力之间的那种简单关系。因此，如果要求应力统计特征值的话，还得用特定的非确定性分析方法直接计算，而不是由所得的位移统计特征值来计算。非确定性动力分析方法可参考其它相关文献，这里不作叙述。 图1-1 各种解法示意
10、解 的 方 法 解析解或封闭解 数值解 根据经验的经验近似控制微分方程的 边界积分方程法 有限元（包括边界元）法 数值积分 差分法 加权余量伽辽金 配点 子域 最小二乘变分法与瑞莱李兹法 3 第二章 分析力学原理 分析力学（analytical mechanics）是理论力学的一个分支，是对经典力学的高度数学化的表达。可以认为1788年拉格朗日（法国籍意大利裔数学家和天文学家）发表的奠基之作分析力学（Mcanique analytique）是此分支的开始。 经典力学最初的表达形式由牛顿给出，大量运用几何方法和矢量作为研究工具，因此它又被称为矢量力学（有时也叫“牛顿力学”）。拉格朗日、哈密顿、雅
11、可比等人使用广义坐标和变分法，建立了一套同矢量力学等效的力学表述方法。同矢量力学相比，分析力学的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力学中极为复杂的问题，运用分析力学可以较为简便的解决。分析力学的方法可以推广到量子力学系统和复杂动力学系统中，在量子力学和非线性动力学中都有重要应用。 分析力学又分为拉格朗日力学和哈密顿力学。前者以拉格朗日量刻画力学系统，运动方程称为拉格朗日方程，后者以哈密顿量刻画力学系统，运动方程为哈密顿正则方程（Hamilton Canonical Equation）。 2-1 广义力概念 设若给定作用于具有N个质点的系统上的一组力 1 1 1, , , , , ,x y z
12、 xN yN zNF F F F F F ，则这些力的虚功为 1( )Nxj j yj j zj jjW F x F y F z （2-1） 现在假定N个质点对应有N个通常的直角坐标 1 1 1, , , , , ,N N Nx y z x y z ，经式 1 21 21 2( , , , , )( , , , , )( , , , , )i i ni i ni i nx x q q q ty y q q q tz z q q q t的变换，使其与n个广义坐标 nqqq , 21 相联系，则有 111njj ii injj ii injj ii ixx qqyy qqzz qq （ j=1,2
13、, ，N ） （2-2） 一般说来，上式中的偏导数 j j ji i ix y zq q q ， ， 均为 , ,.,1 2 nq q q 和t的函数。 则虚功为 4 1 1 1 11 11 11( )( )+ + += + +N n n nj j jjx i jy jz ij i i ii i iN n j j jjx jy jz ij i i i in N j j jjx jy jz ii j i i ini iix y zW F q F F qq q qx y zF F F qq q qx y zF F F qq q qQ q （2-3） 式中 1( )+ +N j j ji jx jy
14、 jzj i i ix y zQ F F Fq q q （2-4） 因此， iQ 和 iq 分别叫作相应于广义坐标 iq 的广义力和广义位移 广义力的量纲取决于广义坐标的量纲，乘积 ii qQ 必须是功或能的量纲，换言之， iQ 与iq 在能量的意义上共轭。 在分析力学原理中，广义力的概念非常有用。 2-2 达朗贝（DAlembert）原理 再来考察具有N 个质点的系统，对于每个质点写出牛顿第二定律 iii rmRF （2-5a） 或 0 iii rmRF （2-5b） 式中：iF和iR分别为作用在第i个质点上的主动力和约束力； iirm 具有力的量纲，叫做作用于第i个质点上的惯性力。 其中：
15、 im 是常质量； ir是相对于惯性参考系的加速度矢量。 与惯性力不同，习惯上把 iF和 iR 叫做真实力或实际力。因此，式（2-5b）表示作用于系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之矢量和等于零。这样就把一个动力学问题转化成一个静力学问题，也就是通常所说的动静法。 2-3 拉格朗日（Lagrange）方程 2-3-1 动能 考察一个具有 N 个质点的系统，各质点相对于惯性参考系的直角坐标为1 1 1, , , , , ,N N Nx y z x y z 。系统的动能T 可表成 2 2 211 ( )2Nk k k kkT m x y z （2-6） 5 现用广义坐标 nqqq , 21 来表
16、示功能。设 1 1 1, , , , , ,N N Nx y z x y z 与 , ,.,1 2 nq q q 之间有如下的变换式： 1 21 21 2( , , , , )( , , , , )( , , , , )k k nk k nk k nx x q q q ty y q q q tz z q q q t( (1,2,3, , )k N （2-7） 此外假定这些函数对于q和t是二次可微的。于是有关于对时间的导数： 111nk kk ii ink kk ii ink kk ii ix xx qq ty yy qq tz zz qq t （2-8） 一般情况下，上式中 , ,k k kx
17、 y z 对于 , ,.,1 2 nq q q 是线性的，而 k k ki i ix y zq q q ， ， 和k k kx y zt t t ， ， 都是 , ,.,1 2 nq q q 和t的函数。将式（2-8）代入式（2-6），则有 012),( TTTtqqT （2-9） 式中 ninjjiij qqmT1 12 21 （2-10） niiiqaT11 （2-11） 2 2 20112 + +Nk k kkkx y zT mt t t （2-12） 其中 1+Nk k k k k kij ji kk i j i j i jx x y y z zm m mq q q q q q 广义量
18、； 1+ +Nk k k k k ki kk i i ix x y y z za mq t q t q t 从式（2-10）、（2-11）和式（2-12）可看出 2T 是各q的齐次二次函数， 1T 是各q的齐次一次函数，而 0T 则是各q和t的函数。需要指出，系数 ijm 和 ia 也都是各q和t的函数。 2-3-2 拉格朗日方程 现在假设系统是完整的，并且系统的位形由一组独立的广义坐标诸q来描述。如果各 q都是独立的，则有 iiiQqTqTdtd （ ni ,2,1 ） （2-13） 式（2-13）就叫做拉格朗日方程。 如假定所有的广义力都是有势力，即可由位能函数 );,( 1 tqqV n
19、 导出，即定义 6 ii qVQ （2-14） 将式（2-14）代入式（2-13），则可得： 0iii qVqTqTdtd （ ni ,2,1 ） （2-15） 再定义一个函数 ),(),(),( tqVtqqTtqqL （2-16） 叫做拉格朗日函数（也叫做动势），则式（2-15）又可写成： 0ii qLqLdtd （ ni ,2,1 ） （2-17） 式（2-17）就是完整系统拉格朗日方程的标准形式。 如果广义力中有一部分可由位能函数导出，而另一部分不能由位能函数导出，即 *iii QqVQ （ ni ,2,1 ） （2-19） 则由式（2-15）、（2-17）可得： *iiiQqLqLd
20、td （ ni ,2,1 ） （2-20） 式中 *iQ 是不能由位能函数导出的广义力，例如摩擦力就是一个典型的例子。 2-3-3 示例分析 例21：两质点 1m 及 2m 由无质量杆悬挂而构成双摆，如图2-1所示。假定全部运动发生在铅直平面（ yx,0 ）内，试求运动微分方程。再假设运动为微小运动，试将这些方程 线性化。 图2-1 双摆 几何约束条件： 0)()(022212212212121lyyxxlyx （a） 四个直角坐标，二个约束条件，故体系只有二个自由度。现取 1 及 2 作为二个独立广义坐标。 111 sinlx ， 111 cosly ， 22112 sinsin llx ，
21、 22112 coscos lly ， 1111 cos lx ， 1111 sin ly ， 7 2221112 coscos llx ，2221112 sinsin lly ， 212112222221211 21)(21)(21 lmyxmyxmT )cos(221 211221222221212 llllm ， )cos1()cos1()( 2221121 glmglmmV 把 1 看成 1q ， 2 看成 2q ，并将T 及V 的表达式代入拉格朗日方程，则可得： 0sin )sin()()cos(0sin)()sin()( )cos()(22212211212222212121211
22、211212221212221212121glmllmlmllmglmmllmllmlmm（ b） 方程（b）为非线性，不易求解。现在就微小运动的情况把方程（b）线性化，即假定 2 、1 以及它们对时间的导数都远小于1。因此可近似地取 1)cos( 12 ， 1212 )sin( 方程（b）此时变成 00)()(222222212121121221212121glmlmllmglmmllmlmm（c） 这里已略去诸微量的高次项。式（c）写成矩阵形式为： 00 0)()(2122121212222122122121 glmglmmlmllmllmlmm（d） 对应于上式的惯性矩阵为m，其元素为
23、212111 )( lmmm ， 22222 lmm ， 2122112 llmmm ，动能T 的正定性条件为： 011 m ， 022 m ， 022211211 mmmm ，即 0222121 llmm 可见T 的正定条件是满足的，因此T 是正定的。因惯性矩阵 m不是对角阵，因此方程（c）是动耦合，又因刚度矩阵 k 是对角阵，因此方程（c）静不耦合。 例22：图 2-2 表示两自由度体系，弹簧k 为线性弹簧，小质量m通过一根无质量刚杆（长度为l）可绕大质块M 的中心摆动，F为作用在m上的力，试推导这个系统的方程。 图22 惯性摆 求解步骤如下： 把x和 作为二个广义坐标，m的直角坐标为：
24、sinlxxm ， coslym 8 m的直角坐标系中的速度分量为： cos lxxm ， sin lym )cos1(2121cos)(212222mglkxVmlxmlxmMT （a） 现在再来求相应于x和 的广义为X 和。利用虚功条件（在两个坐标系中主动力所作的虚功应相等）即可求得： cos)cos( FlxFlxFxFW m xX 由上式可知相应于广义坐标x的广义为 FX ，相应于广义坐标 的广义为 cosFl 。在式（a）中将 1qx ， 2q ，则相应的 FXQ 11 ， cos2 FlQ （b） 将式（a）和（b）代入拉格朗日方程，可得 cossinsincos)sincos()
25、(22FlmglxmlxmlmlFkxmlxmM（c） 假设运动为微小运动，如例1，式（c）可简化为 FlmglmlxmlFkxmlxmM2)( （d） 或写成矩阵形式： FlFxmglkxmlmlmlmM 002 （e） 由式（e）可看出，体系的动能T是正定的。式（e）也是动耦合、静不耦合。 2-4 哈密尔顿（Hamilton）原理 在上面各节中，运动方程是以微分形式来表示。这种方法着重考察系统随时间而演变的情况。另一方面，可以用变分原理作为描述动力学系统的依据。这种方法是从整体上来观察系统的运动，并且要求在位形空间中找出一条路径，使某一积分具有驻值。在经典动力学中一个十分重要的变分原理就是
26、哈密尔顿原理，这个原理首次发表于1934年。 设有一个由N个质点构成的系统，该系统相对于惯性参考系的位形由矢量 Nrrr , 21 给出。应用达朗贝原理，有 Niiiii rrmF10 )( （2-21） 式中 iF是作用在第i个质点上的主动力。现假定各虚位移 r 是可逆的并与瞬时约束相一致，而这些约束都看成是无功约束。 现对系统的动能写出其变分的表达式 9 NiiiiNii rrmrrmT1121 （2-22） 但 1 1 1 1N N N Ni i i i i i i i i ii i i id mr r mr r mr r mr r Tdt （2-23） 式（2-23）中的第二项是由 i
27、ii rdtrdrdtd ) ( 而得到的。由式（2-21）、（2-22）及（2-23）可得 NiiiiNiii rrmdtdrFT11 （2-24） 现将上式在积分限 0t 和 1t 之间对时间进行积分，并用 Niii rFW1 代表主动力的虚功，则有 1010 1) (ttNiiiittrrmdtWT （2-25） 另外，假定在时刻 0t 和 1t 时系统的位形已被规定，即变分 ir 在时刻 0t 和 1t 上都是零。 于是有 0) (10ttdtWT （2-26） 显然，上式中的 T 和 W 的值是与坐标无关的。现在把表达式改用广义坐标来表示，则动能T便成为诸q、q和t的函数，而虚功 W
28、 为： niii qQW1 （2-27） 式中诸Q是主动的广义力。 于是式（2-26）可以写成： 0 10 1 ttniii dtqQT （2-28） 其中诸 q 在时刻 0t 和 1t 都等于零。对于受约束的系统，还需要各 q 必须与瞬时约束相一致。 式（2-26）或式（2-28）往往被当作哈密尔顿原理的广义形式。实质上，从推导的过程可以看出，它是式（2-21）所示的达朗贝原理的积分形式，并且适用于同样广泛的各种力学系统。 10 第三章 单自由度体系振动 3-1 单自由度体系的力学模型及其运动方程 3-1-1 单自由度运动方程 单自由度体系的总惯性可用图3-1a中的刚块来表示，并用m来度量这
29、个总惯性的大小。由于滚筒的约束，这个刚块仅能作水平运动，故用一个位移坐标x就完全确定它的位置（位形）。抵抗位移的弹性抗力由无质量的水平弹簧来提供，它的刚度（或叫弹簧系数）用k 来表示。耗散能量的机理用一个阻尼器c来表示。在更广泛的意义上， )(tP 也代表产生体系动力响应的外部因素。 这个体系的运动方程可用第二章中所介绍过的各种力学定律、或原理来推导。很明显，作用在刚块上有三个外加的真实力即外加荷载 )(tP ，以及由于运动引起的弹性抗力 sf 和阻尼力 Df ，除此以外，还有一个虚拟的惯性为 If 。 根据达朗贝原理（即所谓动静法），以上这四个力构成一个平衡力系（图 3-1b），于是有矢量形
30、式 0)( tPfff SDI （3-1） 图3-1 单自由度体系的典型力学模型 位移x的坐标原点取在弹簧放松时的静平衡位置上（即 0x 时，没有弹性抗力）。 首先来讨论惯性力，在x正方向投影，显然有 If mx （3-2a） 弹簧抗力的大小等于弹簧簧刚度k 与位移x的乘积，但方向与x的正向相反，故有 sf kx （3-2b） 假定阻尼机理为粘滞阻尼（W.Voight阻尼），但方向与x的正向相反，则阻尼力为 Df cx （3-2c） 外力 ( )P t 为x的正方向。 将式（3-2）代入式（3-1）可得： 或 2( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) ( )mx t cx t
31、 kx t P tx t x t x t a t （3-3） 11 式中： 2cm ； (2 ) (2 )c cm mk 叫做阻尼比； mk 叫做无阻尼的自振圆频率； mtPta )()( 为激励加速度。 式（3-3）就是线性单自由度体系的典型控制方程，常称作运动方程。 3-1-2 示例 例3-1 简支梁的振动问题。图3-2表示一根简支梁，它的单位长度上的质量为m，并设m是一个常量。梁的抗弯刚度 EI 也假定是常量。在梁的跨中有一个大的集中质量M ，并且还有一个在竖直方向作用的周期激振力 tPtP sin)( 0 。假定 )(tP 的频率比较低，且小于梁的基频。此外，暂不考虑阻尼及梁的剪切变形
32、的影响。试分析梁的竖向振动。 图3-2 简支梁振动示意 把梁两等分，梁的一半质量堆聚在梁的中点，其余二个四之一各堆聚在支座上。在梁的中点处共有质量为 Mlm 2 。这时梁变成了一个单自由度体系，其力学模型示于图3-3。 图3-3 简支梁集中质量振动示意 其中， )(t 取弹簧质量系统静平衡位置作为座标原点，即从在静载 gMlm 2 作用下弹簧已经受到压缩的情况下才开始度量的。 由于 )(t 实际上是代表梁跨中点的动挠度，所以图3-3中的弹簧系数k 可由在梁跨中点作用一个单位力所发生的静挠度的倒数来求得即柔度法。由材料力学可知， 348lEIk 。于是运动方程为： 12 tPlEIMlm sin
33、482 03 （a） 3-2 单自由度体系的自由振动 为了获得式（3-3）的解，首先考虑齐次解，即当式（3-3）右边为零时的解。在 )(tP 为零的情况下体系的振动叫做自由振动。 现分两种情况加以讨论： 3-2-1 无阻尼自由振动（ 0c ） 这时的运动方程为 0 kxxm （3-4a） 或 02 xx （3-4b） 式中 mk / srad （3-5） 式（3-4b）的通解为 tAtAtx cossin)( 21 （3-6） 由上式可看出，当时间t增加一个 2T 时，式（3-6）不变，即 )(2)( txtxTtx （3-7） 所以 T 叫做自由振动的周期，它的倒数 Tf 1 Hz 叫做自振
34、频率， f 2 叫做自振圆频率或角频率。 式（3-6）中的二个常数 1A 和 2A 由初始条件确定。 设 0t 时，初始位移为 )0(x ，初始速度为 )0(x ，则可求得 )0(1 xA ， )0(2 xA ，于是有 txtxtx sin)0(cos)0()( （3-8） 或 )sin()( tAtx （3-9） 式（3-9）是简谐振动的标准形式，A叫做振幅， 叫做初相角。 由式（3-8）和式（3-9）可得 )0()0()0()0()0()0( 22xxarctgxxtgxxA或（3-10） 式（3-9）所示的简谐振动的时间历程如图3-4所示。 由于 mkf 2 仅与体系的参数m和k 有关，
35、也即 仅与体系本身的固有性质有关，而与初始干扰无关，故 f （或 ）也叫做固有频率（或固有圆频率）。而自由振动的振13 幅A和它的初相角 则取决于初始条件 )0(x 和 )0(x 。 图3-4 无阻尼简谐自由振动时程 3-2-2 有阻尼的自由振动（ 0c ） 当有阻尼存在时，与式（3-3）对应的齐次方程为 或写成 2 02 0mx cx kxx x x （3-11a,b） 式中2 2 = cm ， = 叫做衰减系数。 令 rtex ，并代入式（3-11b）得特征方程为 2 22 0r r （3-12） 它的二个根为 21,2 ( 1)r （3-13） 于是式（3-11b）的通解为 trtr e
36、CeCtx 2121)( （3-14） 其中 1C 及 2C 为两个任意常数，由初始条件决定。 有阻尼自由振动的特性与式（3-13）中根式内 2( 1) 的符号有关，现讨论如下： 首先引入“临界阻尼”的概念。所谓临界阻尼 crc 或“临界阻尼比” cr 就是指使式（3-13）中根式为零的那个 ，即 1cr （3-15） 下面分三种情况加以分析： （1）当 1 时，即体系的阻尼小于临界阻尼时，叫做低阻尼体系。 特征根为复数 21,2 ( 1 )r i 通解式（3-14）可写成 2 21 2( ) exp( ) exp( 1 ) exp( 1 )x t t C i t C i t （3-16） 根
37、据欧拉公式，上式也可写成 1 2( ) exp( )( cos sin )d dx t t C t C t exp( )sin( )dA t t （3-17） 式中 21d 叫做有阻尼时的圆频率； 1C 及 2C 或A及 也是由初始条件决定的常数。 将式（3-17）对t求导，得 14 1 2( ) exp( )( cos sin )d dx t t C t C t 1 2exp( )( sin cos )d d d dt C t C t （3-18） 设当 0t 时， )0(xx ； )0(xx 。将其代入式（3-17）和式（3-18）得： 12(0)(0) (0)dC xx xC 将此二个常
38、数代回式（3-17），得 1( ) exp( ) (0)cos ( (0) (0)sind ddx t t x t x x t （3-19） 上式也可写成 ( ) exp( )sin( )exp( )( sin cos cos sin )dd dx t A t tt A t A t （3-20） 比较式（3-19）和式（3-20），可得 sin (0)1cos ( (0) (0)dA xA x x 即 2 221 (0) (0) (0)(0)(0) (0)ddA x x xxtgx x （3-21） 式（3-20）表示衰减的简谐运动，如图3-5所示。从图中可看出衰减系数 = 的命名由来。与无阻
39、尼的自由振动相比，振幅按指数规律随时间t的增大而衰减，但有阻尼的振动周期dT 2 在振动过程中是不变的。同时，任意二个相继周波的振幅之比为一常数。工程上在大多数情况下， 值比1小得多，所以 TTdd , 。 图3-5 低阻尼单自由度体系自由振动的时程曲线 （2）当 1 时，即体系的阻尼大于临界阻尼时，叫做超阻尼体系。 特征根为实数： 21,2 ( 1)r 15 由式（3-14）通解可写成 2 21 2( ) exp( )( exp( 1 ) exp( 1 )x t t C t C t （3-22） 2 21 2( ) exp( )( exp( 1 ) exp( 1 )x t t C t C t
40、 2 21exp( )( 1exp( 1 )t C t 2 22 1exp( 1 )C t （3-23） 设当 0t 时， )0(xx ， )0(xx 。将其代入式（3-22）及式（3-23）可得 21)0( CCx （a） 21 2 1 2(0) ( ) 1( )x C C C C （b） 将（a）代入式（b）可得 1 22(0) (0)1x x C C （c） 由式（a）及式（c）可得 1 22 21 (0) (0)(0)2 11 (0) (0)(0)2 1x xC xx xC x （d） 将式（d）代入式（3-24），得 * *(0) (0)( ) exp( ) (0)cosh sinh
41、x xx t t x t t （3-24） 式中 * 2 1 。 此时运动不再呈振动形式，而是按指数规律随时间t的增大而逐渐衰减以致消失。 （3）当 1时，即体系的阻尼等于临界阻尼。 临界阻尼条件的一个有用定义是，在自由振动响应中不出现振荡所需的最小阻尼值。此时通解为： tetCCtx )()(21 （3-25） tt etCCeCtx )(0(212 （3-26） 设当 0t 时， )0()( xtx ， )0()( xtx 。则由式（3-27）及（3-28）可得： )0()0()0(21xxCxC 将 1C 、 2C 代入式（3-27），得 tetxxxtx )0()0()0()( （3-27） 上式表示体系运动也不呈振动形式，也按指数规律随时间t的增大而逐渐衰减以致消失。图3-6表示
