1、结构动力学基础,哈尔滨建筑大学 建筑工程学院 结构力学 王焕定教授编制 1998年8月,结构动力学基础目录,绪论 体系的运动方程建立 单自由度体系的振动 多自由度体系的振动 频率和振型的实用计算方法 随机振动初步 结构地震反应分析 结构的振动控制,一、绪论,1.1 阪神地震录像 1.2 动力荷载及其分类 1.3 结构动力学的研究内容和任务 1.4 结构动力分析中体系的自由度 1.5 结构的动力特性 1.6 建立结构运动方程的一般方法,一、绪论 1.1 阪神地震,首先请大家看日本阪神地震录像，希望能从中体会到学习结构动力学的重要性。更希望大家能学好结构动力学！,1.2 动荷载及其分类,所谓动荷载
2、是指：随时间变化（三要素），且作用结果使受荷物体质量的加速度（惯性力与外荷比）不可忽视，这种荷载称动力荷载，简称动荷。自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。,1.2 动荷载及其分类,动荷载可有多种分类方法，常见的是：,动荷载,确定,不确定,风荷载,地震荷载,其他无法确定变化规律的荷载,周期,非周期,简谐荷载,非简谐荷载,冲击荷载,突加荷载,其他确定规律的动荷载,1.3结构动力学的研究内容和任务,结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。,1.3.1 结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示,输入
3、（动力荷载）,结构 （系统）,输出 （动力反应）,控制系统 （装置、能量）,第一类问题：反应分析正问题,1.3结构动力学的研究内容和任务,结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。,1.3.1 结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示,控制系统 （装置、能量）,输入 （动力荷载）,结构 （系统）,输出 （动力反应）,第二类问题：参数（或称系统）识别,1.3结构动力学的研究内容和任务,结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。,1.3.1 结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示,控制系统 （装置、能量）,输入 （动力荷载）,结构 （系统）,输出
4、（动力反应）,第三类问题：荷载识别。二、三为反问题,1.3结构动力学的研究内容和任务,结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。,1.3.1 结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示,输入 （动力荷载）,结构 （系统）,输出 （动力反应）,控制系统 （装置、能量）,第四类问题：控制问题,1.3结构动力学的研究内容和任务,1.3.2 结构动力学的任务结构动力学的任务是:讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。,1.3.3 与其它课程间
5、的关系首先，结构动力学要求较熟练掌握已学过的力学知识。其次，要求较好地掌握已学的数学知识（数学中未学的，在学习过程中将会介绍）。结构动力学为工程结构的抗震、抗风设计等提供依据。结构动力学基本原理、方法适用于一切工程。,1.4 结构动力分析中的自由度,1.4.1 自由度的定义确定体系中质量位置的独立坐标数，称作体系的自由度数。应注意：自由度数和质量点个数有关，但没有确定关系。,1.4.2 实际结构自由度的简化方法实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程角度也没必要。常用简化方法有： 1) 集中质量法将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几何点上，除这些点之外物体是无质量的
6、。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。,1.4 结构动力分析中的自由度,2) 广义坐标法以简支梁无限自由度体系为例，设梁上任意一点的位移可分离变量成 y(x,t)=Y(x)T(t) ，而Y(x)和里兹法一样可用满足位移边界条件的“基函数”（例如正弦级数）线性组合来逼近，组合系数就是广义坐标，从而将无限自由度系统变成有限个广义坐标的系统。因此，简化系统的自由度就是广义坐标数。,如果不考虑轴向变形，则图示平面集中质量系统的自由度分别为：,如果不考虑轴向变形，则图示空间集中质量系统的自由度分别为：,请考虑计轴向变形结果如何？,2,2,2,3,3,4,6,4,1.4 结构动力分析中的自由度,3
7、) 有限单元法和静力问题一样，可通过将实际结构离散化为有限个单元的集合，将无限自由度问题化为有限自由度来解决。由于将专门介绍，这里不再赘述。,虽将简单介绍有限单元法，但本部分主要讨论集中质量法。对集中质量而言，自由度并不难理解，但如果错误判断了自由度个数，象超静定问题基本未知量个数一样，由于它的错误，后面再算是无意义的。因此，必须熟练地掌握自由度的确定。,1.5 结构的动力特性,结构受动荷载作用，它的反应不仅和动荷载有关，而且还和结构本身固有的特性（包括结构阻尼、频率谱和振型等）有关。设有单自由度的刚架和桁架，如果它们具有相同的阻尼、频率，在相同动荷载下将具有相同的反应。可见结构的固有特性能确
8、定动荷下的反应程度，因此将他们称作结构的动力特性。,1.5.1 自振频率和频率谱外界干扰消除後，系统在平衡位置附近所产生的振动，称作自由振动（无外荷作用的振动）。自由振动的频率称自振频率，简称自频。,1.5 结构的动力特性,实际结构有小于等于（一般等于）自由度数的自振频率，将其按从小到达依次排列，此排列称作频率谱。频率谱中最小的频率称作基本频率，简称基频。其后依次称为第二、三等等频率。他们可以通过计算和试验得到。不同结构频率谱的分布是不同的。象单跨梁、不计扭转振动的房屋等，相邻两频率间隔较大，这样的频谱称稀疏型的。对于空间结构、考虑扭转振动的房屋等，频谱中存在密集区，这样的频谱称密集型的。结构
9、的动力反应和它的频谱有密切关系。,1.5 结构的动力特性,1.5.2 结构的振型当在一定条件下结构按频谱中某一频率振动时，在任意时刻各质量的位移都保持同一比例，也即变形形状是固定的。这一变形形式称作此频率对应的振型。与基频对应的振型称第一振型或基本振型，其他依次称第二、第三振型等等。振型也可通过计算或实验得到，在多自由度体系分析时，它是重要的工具。,1.5.3 结构的阻尼实际结构的自由振动都是衰减的，经一定时间后将仍处于平衡。这说明振动过程有能量耗散，这种能量耗散作用称作阻尼。,1.5 结构的动力特性,产生能量耗散的原因很多，如材料的内摩擦、周围介质对能量的吸收等等。至今为止，对阻尼机理仍然是
10、没有解决的问题。为了在动力分析中考虑阻尼的影响，使分析更符合实际，人们提出了种种关于阻尼的假定。这些假定统称作阻尼理论。限于学时，这里只介绍一种常用的“等效粘滞”阻尼理论。所谓等效粘滞阻尼是假设：导致能量耗散是由于存在阻尼力，它和运动的速度成正比，方向和速度方向相反。这比例系数称阻尼系数，其数值由试验确定。根据这一理论，单自由度的阻尼力为 。,1.6 建立结构运动方程的一般方法,要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方法很多，择常用的简单介绍如下： 1) 应用达朗泊尔原理，通过列瞬时“动平衡”方程来建立。由于下一章将专门介绍，这里不赘述。 2) 虚功法
11、根据达朗泊尔原理和所假设的阻尼理论，在质量上考虑惯性力、阻尼力的作用，则在任意瞬时质量应该处于“动平衡”状态，因此根据虚位移原理，外力（动荷载、惯性力、阻尼力）的总虚功应恒等于总虚变形功。也即通过列虚功方程象1)一样来获得运动方程。由于是用虚功方程来建立平衡条件，称虚功法。,1.6 建立结构运动方程的一般方法,3) 利用哈密顿原理来建立运动方程变分法分析力学中学过哈密顿原理。通过建立系统动能、势能和耗能（分别记作 T、EP、V），获得如下哈密顿泛函,根据哈密顿原理，可由令哈密顿泛函的一阶变分等于零来建立“动平衡方程”运动方程。当没有耗能时，所得到的是无阻尼的方程。否则，是有阻尼情况。用哈密顿原
12、理时和上两方法不同，不再考虑惯性力、阻尼例和弹性恢复力等，它们通过能量变分来得到。,二、体系的运动方程建立,2.1 建立运动方程的基本步骤 2.2 运动方程建立举例 2.3 体系运动方程的一般形式 2.4 应注意的几个问题 2.5 刚度法、柔度法列方程的步骤 2.6 运动方程建立总结,2.1 建立运动方程的基本步骤,作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。直接平衡法列方程的一般步骤为：1) 确定体系的自由度质量独立位移数；2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；
13、4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；5) 取质量为隔离体并作受力图；6) 根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方程，此方程就是运动（微分）方程。,列平衡方程称刚度法,2.1 建立运动方程的基本步骤,作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。直接平衡法列方程的一般步骤为：1) 确定体系的自由度质量独立位移数；2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（注意：惯性力
14、是实际的，但它不作用在质量上）；,列位移方程称柔度法,5) 将动力外荷、惯性力、阻尼力作为“外力”，按位移计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果应该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。,2.2 运动方程建立举例,2.2.1 单自由度体系运动方程 例-1) 试建立图示结构的运动方程。,h,m,EI,P(t),解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平位移。设x坐标向右（右手系）。,又设横梁（质量m）位移为u，以它为隔离体，受力如图所示。,P(t),h,列x方向全部力的平衡方程，即可得结构的运动方程为,图中Fs1和Fs2可由图是有位移法（实际直接可由形常数）得到,2.2 运动方程建立举例,2
15、.2.1 单自由度体系运动方程,解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度对称振动。设质量竖向位移为v，向下为正。,将惯性力fI、阻尼力fd如图所示加于梁上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定,l/2,l/2,m,例-2) 试建立图示抗弯刚度为 EI 简支梁的运动方程。（不计轴向变形）,l/2,l/2,fI,fd,P(t),P(t),由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移为,因此在所示“外力”下，质量的位移为,2.2 运动方程建立举例,2.2.1 单自由度体系运动方程 例-3) 试建立图示结构的运动方程。,h,m,EI,P(t),解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平位移。设质量m位移为u
16、，向右为正。根据达朗泊尔原理和假设的阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受力如图。,P(t),h,由超静定位移计算可得（如图示意）,h,1,因此，外力下位移为,显然，整理後结果和例-1）相同，k= -1,2.2 运动方程建立举例,2.2.1 单自由度体系运动方程,解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度对称振动。设质量竖向位移为v，向下为正。,l/2,l/2,m,例-4) 试建立图示抗弯刚度为 EI 简支梁的运动方程。（不计轴向变形）,P(t),因此由所示“外力”平衡可得,1,R,利用对称性由（形常数）可得质量点处所加支杆单位位移时的R（=？）。以m为隔离体，加上惯性力fI、阻尼力fd如图所示
17、，根据达朗泊尔原理和阻尼假定,显然,整理後结果和例-2)相同，k= -1,2.2 运动方程建立举例,2.2.1 单自由度体系运动方程,解：将惯性力fI、阻尼力fd如图所示加于梁上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定,仅在P(t)作用下m的位移由位移计算得,l/2,l/2,m,例-5) 若例-2)简支梁动荷载作用在3l/4处,试建立其运动方程,l/2,l/2,fI,fd,P(t),P(t),由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移为,作业： P -1的 物理意义 是什麽？,因此在所示“外力”下，质量的位移为,2.2 运动方程建立举例,2.2.1 单自由度体系运动方程,解：设质量水平位移为u，向右为正
18、。,例-6) 试建立图示质量、弹簧、阻尼器抽象化模型的运动方程。,因此由所示“外力”平衡可得,m,k,以m为隔离体，加上惯性力fI、阻尼力fd如图所示，此外还有弹簧的弹性恢复力fe 。根据达朗泊尔原理和阻尼假定,c,m,P(t),由这些例子显然可见，不管什麽单自由度结构，运动方程的最终形式都是一样的。,2.2 运动方程建立举例,单自由度体系运动方程建立小结,任何单自由度结构，运动方程都可写为,式中：m质量；c阻尼系数；k刚度系数；Peq为等效动荷载。当动荷载直接作用在质量上时，Peq为动荷载的合力在运动方向的投影；当动荷载不作用在质量上时，Peq为动荷载作用下限制沿自由度运动的支座反力。,用刚
19、度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。,没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动,2.2 运动方程建立举例,2.2.2 两自由度体系运动方程,解：结构为两自由度体系。设水平、竖向位移为u、v，分别向右、向下为正。,例-7) 试建立图示结构的运动方程。各杆长度为l，抗弯刚度为EI。,式中cij 为j方向单位速度引起的i方向的阻尼力。,m,根据达朗泊尔原理和阻尼假定,Px(t),为用柔度法建方程，沿位移正向加单位力的单位弯矩图如图所示。,m,Px(t),2.2 运动方程建立举例,2.2.2 两自由度体系运动方程,由图示单位弯矩图 可求得,因此，在所示“外
20、力”下u、v分别为,2.2 运动方程建立举例,2.2.2 两自由度体系运动方程,以矩阵方程表示，整理後可得,记作d 称位移阵,记作P称荷载阵,记作f 称柔度阵,记作M 称质量阵,记作C称阻尼阵,2.2 运动方程建立举例,2.2.2 两自由度体系运动方程,解：为用刚度法建方程，沿位移正向加限制位移的支座如图所示。,例-8) 试用刚度法建立结构的运动方程。,图中,由位移法或弯矩分配法可做出支座单位位移的弯矩图如图示。,1,1,M1,M2,M3,M4,2.2 运动方程建立举例,2.2.2 两自由度体系运动方程,图中,1,1,k11,k22,M1,M2,M3,M4,由此可求得图示反力(刚度)系数kij
21、,取质量为隔离体，加惯性力fIx、 fIy，阻尼力fdx 、 fdy和弹性恢复力fex、 fey。,2.2 运动方程建立举例,2.2.2 两自由度体系运动方程,由达朗泊尔原理、阻尼理论和上述结果可得,列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下,记作k称刚度阵,由两例系数结果可证k=f-1,2.2 运动方程建立举例,2.2.2 两自由度体系运动方程,解：为用刚度法建方程，沿位移正向使限制位移的支座产生图示单位位移。,例-9) 试用刚度法建立图示剪切型结构的运动方程。k1和k2为层侧移刚度。,由层刚度定义可得,1,k11,k21,k22,k12,加惯性力、阻尼力後以楼层为隔离体,2.2 运动方程
22、建立举例,2.2.2 两自由度体系运动方程,图中各项和前面例子相仿，分别为,列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下,记作k称刚度阵,2.2 运动方程建立举例,2.2.2 两自由度体系运动方程,解：本例除荷载作用位置外，其他和例-7完全相同。因此，惯性力、阻尼力、柔度系数等直接可以利用,例-10) 试建立图示结构的运动方程。各杆长度为l、刚度为EI。荷载在杆中间。,m,P (t),P (t),2.2 运动方程建立举例,2.2.2 两自由度体系运动方程,由图示荷载和单位弯矩图 可求得,因此，在所示“外力”下u、v分别为,2.2 运动方程建立举例,2.2.2 两自由度体系运动方程,以矩阵方程表示，整理後可得,记作d 称位移阵,记作f 称柔度阵,记作M 称质量阵,记作C称阻尼阵,记作P 称荷载位移,2.2 运动方程建立举例,两自由度体系运动方程建立小结,任何两自由度结构，运动方程都可写为,式中：m为质量、c为阻尼、k为刚度、Peq 为等效动荷载矩阵。当动荷载直接作用在质量上时，Peq 为动荷载的合力在运动方向的投影所组成的矩阵；当动荷载不作用在质量上时，Peq 为动荷载作用下限制沿自由度运动的支座反力所组成的矩阵。,用刚度法还是用柔度法建立方程，看具体问题是求刚度系数方便、还是求柔度系数方便来定。,没有等效动荷为自由振动，没第二项为无阻尼振动,
