1、高等结构动力学课程 Case Study1高等结构动力学课程 Case Study斜坡缓冲车辆的运动学模型与缓冲距离影响因素分析姓名： 班号： 学号： 摘要： 为了计算无动力车辆在斜坡上的最小缓冲距离，本文建立了斜坡行驶车辆的半车模型的运动学方程，采用龙格库达法对微分方程求解，得到初始速度与斜坡角度对缓冲距离的影响规律。1.引言为防止制动失灵的车辆冲下山谷, 盘山公路的下行方向每隔一定距离需要设置一个缓冲区，如 图 1 所示。缓冲区一般由一段具有上升坡度的渣土路面形成。制动失灵的车辆驶入缓冲区后，其动能一部分转换成势能，一部分由车轮与路面的摩擦耗散。图 2 所示为一车辆简化模型，车体高 h=1
2、.8m, 长 b=5m。已知前轮刚度K1=5.5*105N/m, 前轮阻尼系数 C1=8*104Ns/m, 后轮刚度 K2=8.5*105N/m, 后轮阻尼系数 C2=C1; 车体按匀质记，总重 10 吨，质心距地面高度 H=1.5m。摩擦力按下式计算：i=1, 2 摩擦系数，=0.3()iiftNtNi - 车轮所受地面的正压力。图 1 盘山公路缓冲区示意图 图 2 车辆简化模型假设: 车辆行驶过程中的车体变形很小 ,可忽略不计。 车轮质量与车身质量相比很小,可忽略不计。分别给出缓冲区坡度为 300 和 450 时的车辆驶入速高等结构动力学课程 Case Study2度与缓冲区长度的关系曲线
3、以及车速为 70Km/小时时缓冲区的最小长度。2 斜坡行驶车辆的动力学模型斜坡行驶车辆的物理模型与力学模型分别如 图 3 和图 4 所示。 ABCK1K2c cyx图 3 斜坡行驶车辆物理模型 图 4 斜坡行驶车辆力学模型ABCycy2y1mycmgk2y2cy2.cy1k1y1. (k1y1+cy1)J cxc (k2y2+cy2）. . cmxc图 5 斜坡行驶车辆模型受力分析建立如 图 5 所示的斜坡行驶车辆的力学模型，以质心 C 点垂直方向坐标和转角 为广义坐标， 和 分别为弹簧位置垂直方向坐标（均取在弹簧原cyc1y2长的位置处） ，采用达朗贝尔原理建立车辆运动的微分方程如下。以 C
4、 点垂直斜面方向的力平衡方程： 12()()cos0cmykykymg* MERGEFORMAT (1)以 C 点沿斜面方向的力平衡方程：高等结构动力学课程 Case Study312()sin0cmxkycymg* MERGEFORMAT (2)以质心 C 点取矩的力矩平衡方程： 1221122()()()()0c c cLLJykcykHykHyk * MERGEFORMAT (3)式中，车辆转动惯量 ；A 点坐标 ，B 点坐标2()1mJbh12cLy，坐标几何关系如 图 6 所示。12cLyABCycy2y1 c图 6 坐标几何关系将方程（1） （2）整理为以 和 为广义坐标的运动方程
5、如下：c* 1221()()cos0ccLmykykmgMERGEFORMAT (4) 12212()()sin0ccccLxykykg* MERGEFORMAT (5)* 212122211() )()04ccc ccc cJHykHykyLLk MERGEFORMAT (6)高等结构动力学课程 Case Study4由于考虑微幅振动 ，可以将 忽略，则微分方程（6）整理为下式：cyH=cy* 212122211()()()04ccc ccLJykHkyHkMERGEFORMAT (7)3 斜坡车辆模型的运动方程求解已知车体总重 ，高 h=1.8m，长 b=5m，转动惯量10mkg。前轮刚度
6、 k1=5.5*105N/m，前轮阻尼系数22()3,51Jbhc1=8*104Ns/m，后轮刚度 k2=8.5*105N/m,，后轮阻尼系数 c2=c1，质心距地面高度 H=1.5m。假设车轮间距 L=b=5m，摩擦系数 =0.3 。3.1 自由度初始条件假设车辆在 与 方向上做微幅振动，振动能量与车辆沿 方向的刚体运cy cx动能量相比为小量。由于机械能守恒，有 的初始条件：cx， * MERGEFORMAT (8)0c0vA BCmgk2y2sk1y1s图 7 水平面上力平衡高等结构动力学课程 Case Study5ABmgk2y2sk1y1s k1y1s k2y2sC图 8 斜面上力平
7、衡假设车辆在瞬时内速度方向由水平方向转变为沿斜面方向，那么弹簧 1、2的自由度为水平面上弹簧平衡位置与斜面上弹簧平衡位置之差，即：， * MERGEFORMAT (9)101sy202sy式中， 、 分别为弹簧 1、2 初始坐标， 、 为斜面上弹簧平衡位10y2 1ssy置坐标， 、 为水平面上弹簧平衡位置坐标。ss水平面上的力平衡如图 7 所示，弹簧平衡位置坐标 、 如下：1sy2s， * MERGEFORMAT (10)12smgyk2syk斜面上的力平衡如图 8 所示，弹簧平衡位置坐标 、 如下：1s2sy， * 11cos2sgyk22cosgykMERGEFORMAT (11)则有
8、与 自由度的初始条件表示为：cy，0102cyy0c， * MERGEFORMAT (12)0cL0c已知车辆驶入速度 ，则各自由度的初始条件有：07/3.6194m/sv，cx./c高等结构动力学课程 Case Study6， * 012cos4cmgyk0cyMERGEFORMAT (13)，021cos2cgLk0c， ，=30.983mcy0.8425radc3.2 车辆运动的微分方程求解采用龙格库达法求解运动微分方程（4） （5） （7） ，利用 Matlab 中的内置程序 ode15s 进行求解，源程序如下：function car2clear;clc;m=10000;h=1.8;
9、b=5;k1=5.5e5;c=8e4;k2=8.5e5;H=1.5;L=5;u=0.3;g=9.8;a=pi/6;j=23533;%龙格库达法T,Y = ode15s(fun,0 5,0.009830 0 0 19.44 -0.0008425 0)%微分方程标准化function dy=fun(t,y);dy=zeros(6,1);dy(1)=y(2);dy(3)=y(4);dy(5)=y(6);dy(2)=1/m*(-2*c*y(2)-(k1+k2)*y(1)-L/2*(k2-k1)*y(5)+m*g*cos(a);dy(4)=1/m*(-2*u*c*y(2)-u*(k1+k2)*y(1)-
10、u*L/2*(k2-k1)*y(5)-m*g*sin(a);dy(6)=1/j*(2*c*u*H*y(2)-c*L*L/2*y(6)+(L/2*(k1-k2)+u*H*(k1+k2)*y(1)+(u*L/2*H*(k2-k1)-L*L/4*(k1+k2)*y(5);endplot(T,Y(:,3)高等结构动力学课程 Case Study7end计算结果得到斜坡 时，车辆沿斜面行驶的距离为 25.36m，斜坡=30时，车辆沿斜面行驶的距离为 20.98m，车辆沿斜面位置随时间变化分别=45如 图 9 和 图 10 所示。0 1 2 3 4 5510152025302.70s 体体体/xcm体体/
11、ts体.36m图 9 车辆沿斜面位置随时间变化（ ）=0 1 2 3 4510152025.19s 体体体/xcm体体/ts体.98m图 10 车辆沿斜面位置随时间变化（ ）=53.3 车辆沿斜面的运动规律采用 for 循环语句计算缓冲坡度为 和 时的车辆驶入速度与最小缓冲304长度关系，源程序如下：function car30clear;clc;m=10000;高等结构动力学课程 Case Study8h=1.8;b=5;k1=5.5e5;c=8e4;k2=8.5e5;H=1.5;L=5;u=0.3;g=9.8;a=pi/6;j=23533;v=0:1:200;i=1;for vx=v/3.
12、6% 龙格库达法T,Y = ode15s(fun,0 5,0.009830 0 0 vx -0.0008425 0);y3max(i) =max(Y(:,3);i=i+1;endassignin(base,y3max,y3max)assignin(base,v,v)plot(v,y3max)%微分方程标准化function dy=fun(t,y)dy=zeros(6,1);dy(1)=y(2);dy(3)=y(4);dy(5)=y(6);dy(2)=1/m*(-2*c*y(2)-(k1+k2)*y(1)-L/2*(k2-k1)*y(5)+m*g*cos(a);dy(4)=1/m*(-2*u*c
13、*y(2)-u*(k1+k2)*y(1)-u*L/2*(k2-k1)*y(5)-m*g*sin(a);dy(6)=1/j*(2*c*u*H*y(2)-c*L*L/2*y(6)+(L/2*(k1-k2)+u*H*(k1+k2)*y(1)+(u*L/2*H*(k2-k1)-L*L/4*(k1+k2)*y(5);endend计算结果得到斜坡 与 时，车辆驶入速度与最小缓冲长度关系=3045曲线如 图 11 和 图 12 所示。高等结构动力学课程 Case Study90 50 10 150 2050101502025.36m.80m 体体体/xcm体体体/vkm/h体184.72m图 11 车辆驶入
14、速度与最小缓冲长度曲线（ ）=30 50 10 150 2050101502065.18m42.59m70 体体体/xcm体体体/vkm/h体.8图 12 车辆驶入速度与最小缓冲长度曲线（ ）=4采用 for 循环语句计算初始速度为 70km/h 车辆最小缓冲长度与斜坡角度的关系，源程序如下：function car50clear;clc;m=10000;h=1.8;b=5;k1=5.5e5;c=8e4;k2=8.5e5;H=1.5;L=5;高等结构动力学课程 Case Study10u=0.3;g=9.8;a=0:pi/180:pi/2;j=23533;v=70/3.6;i=1;for ax
15、=aT,Y = ode15s(fun,0 5,0.009830 0 0 v -0.0008425 0);y3max(i) =max(Y(:,3);i=i+1;endassignin(base,y3max,y3max)assignin(base,a,a)plot(a,y3max)%微分方程标准化function dy=fun(t,y)dy=zeros(6,1);dy(1)=y(2);dy(3)=y(4);dy(5)=y(6);dy(2)=1/m*(-2*c*y(2)-(k1+k2)*y(1)-L/2*(k2-k1)*y(5)+m*g*cos(ax);dy(4)=1/m*(-2*u*c*y(2)-
16、u*(k1+k2)*y(1)-u*L/2*(k2-k1)*y(5)-m*g*sin(ax);dy(6)=1/j*(2*c*u*H*y(2)-c*L*L/2*y(6)+(L/2*(k1-k2)+u*H*(k1+k2)*y(1)+(u*L/2*H*(k2-k1)-L*L/4*(k1+k2)*y(5);endend计算结果得到初始速度为 70km/h 时，车辆沿斜面最小缓冲距离与斜坡角度的关系曲线如 图 13 所示。0 20 40 60 80102030405060.49m5.36m53 体体体/xc体m体体/a体.98高等结构动力学课程 Case Study11图 13 斜坡角度与车辆最小缓冲长度
17、曲线（ ）0=7km/sv4.斜坡车辆缓冲距离结果验证假设忽略车辆车轮的刚度与阻尼作用（刚体车辆） ，计算车辆在初始速度，斜坡角度 下，车辆在斜坡上的缓冲距离。0=7m/sv=30ABmgN mgcosCxcmxc图 14 刚体车辆斜坡受力分析* MERGEFORMAT (14)+sincos=0cxg沿斜坡自由度 初始条件如下：cx， * MERGEFORMAT (15)=0cx19.4m/sc初始速度 ，计算得到最小缓冲距离为 25.38m。绘制不同车辆模型0=7m/sv沿斜面最小缓冲距离与斜坡角度的关系曲线如 图 15 所示。结果表明，车辆的横向振动消耗能量极小，对缓冲距离的影响可以忽略
18、。0 20 40 60 80102030405060 体体 .49m5.36m53 体体体/xc体m体体/a体.98图 15 斜坡角度与车辆最小缓冲长度曲线（ ）0=7km/sv高等结构动力学课程 Case Study125.结论本文建立了斜坡行驶车辆的半车模型的运动学方程，采用龙格库达法对微分方程求解，结果表明：（1）车辆最小缓冲距离随着初始速度的增加而增加，当速度足够大时，变化接近线性。（2）车辆最小缓冲距离随着斜坡角度的增加而减小，而且随着角度增加，变化逐渐缓慢。（3）通过相同初始条件下，刚体车辆与弹簧车辆缓冲距离的对比，可以看出车辆的横向振动消耗能量极小，对最小缓冲距离的影响可以忽略不计。6.参考文献1 倪振华. 振动力学 M. 西安交通大学出版社 +1989.2 刘浩，韩晶 . Matlab 完全自学一本通 M. 电子工业出版社 2013.
