1、第九章 曲线曲面表示,曲线曲面的表示是计算机图形学的重要内容。它是描述物体外形、建立物体数学模型的有力工具。 在计算机图形学中，曲线曲面都是采用分段或分片参数多项式的形式。 采用分段参数方式有很多好处：曲线曲面形状不依赖坐标系的选取；有直观简便的人机交互手段；容易离散生成；造型灵活、易于拼接。 本章介绍一些常用曲线曲面的算法和性质。,显式、隐式和参数表示,曲线（面）的显式表示：y=f(x) 曲线（面）的隐式表示：f(x，y)=0 曲线（面）的参数表示：x=x(t),y=y(t) 显式表示特点：每一个x值只能对应一个y值；不能表示封闭或多值曲线，例如圆。 隐式表示特点：可以表示封闭或多值曲线。
2、非参数表示（显、隐）特点：与坐标轴相关；会出现斜率无穷大情况；非平面曲线（面）难以常系数函数表示；不便于计算和编程。,参数表示,点的每一个坐标都表示成参数变量的函数 参数整个变化范围对应整条曲线，但往往只对某一部分感兴趣，通过规格化使参数的变化范围限制在0，1中。,参数方程的优越性,有更大的自由度来控制曲线（面）的形状。如一条二维三次曲线显性表示：y=ax3+bx2+cx+d，只有四个系数可用来控制曲线（面）形状， 非参数方程表示的曲线（面）变换时必须对每个型值点进行变换；参数方程表示的曲线（面）变换时可直接对参数方程进行几何变换，节省计算量 便于处理斜率为无穷大的问题，不会因此中断计算 规格
3、化参数变量变化范围为0，1，不必为参数定义边界 易于用矢量和矩阵表达，简化了计算,参数曲线定义,一条三维曲线的参数形式：x=x(t),y=y(t),z=z(t),0t 1 曲线上任意一点可用矢量p(t)=x(t),y(t),z(t)表示。起始点在t=0处，即p(0)，终点p(1)在t=1处 曲线上任意一点切矢量表示了曲线上该点的切线方向，可以表示曲线在该点处的走向。切矢量表示为：p(t)=x(t),y(t),z(t) 。起始点t=0处切矢量，为p(0)，p(1)表示在终点t=1处切矢量。,Bezier曲线,在空间给定n+1个点P0,P1,Pn，称下列参数曲线为n次Bezier曲线：其中，Ji,
4、n(t)是Bernstein基函数：称折线为P0P1Pn为P(t)的控制多边形；称点P0, P1,Pn为P(t)的控制顶点。控制多边形P0P1Pn为P(t)的大致形状的勾画， P(t)是对P0P1Pn的逼近。,（9-1）,（9-2）,Bezier曲线的性质(1),端点的位置P0和Pn是曲线P(t)的两个端点。由式(9-1),(9-2)可得：p(0)=P0, p(1)= Pn 端点的切线P(t)在起点处与P0P1相切，在终点处与Pn-1Pn相切,由式(9-1),(9-2)可得： P(0)=n(P1-P0), p(1)=n(Pn-Pn-1),Bezier曲线的性质(2),凸包性P(t)位于控制顶点
5、P0, P1,Pn的凸包内 几何不变性曲线的形状仅由控制点的位置决定，与所选用的坐标系无关。 交互能力控制点的位置决定了曲线的形状，变换控制点位置，就可以改变曲线的形状。为人机交互确定曲线形状提供了手段。,Bezier曲线的拼接（1）,一段Bezier曲线常常不足以表现复杂的曲线。为了构造复杂的曲线，常用曲线拼接的方法，即用一段段的曲线首尾相连起来。 不同的问题在连接点对曲线连续性有不同的要求： 零阶几何连续：首位连在一起即可。不光滑。 一阶几何连续：在连接点处曲线方向相同。光滑，但变化趋势不同 二阶几何连续：两段曲线在连接处，不仅光滑连接，曲率也相同。,零阶几何连续,一阶几何连续,二阶几何连
6、续,Bezier曲线的拼接（2）,设两段Bezier曲线P(t), Q(t)首尾相接 零阶几何连续就是要求：P(1)=Q(0)。 由Bezier曲线的Q(0)=Q0, P(1)= Pn , 所以要使两段两段Bezier实现零阶几何连续拼接，就要求Pn = Q0, 即前一段曲线的最后一个控制点和后一段曲线的第一个控制点重合。,Bezier曲线的拼接（3）,一阶几何连续就是要求：P(1)=Q(0)。由式(9-1),(9-2)可得：P(1)=n(Pn-Pn-1) , Q(0)=m(Q1-Q0),几何意义就是要求： Pn-1 , Pn (Q0) ,Q1点在同一条直线上，且Pn-1 , Q1分别在Pn
7、(Q0) 两边,Bezier曲线的拼接（4）,二阶几何连续就是要求：P”(1)=Q”(0)。由式(9-1),(9-2)可得：P”(1)=n(n-1)(Pn-2Pn-1+Pn-2) =n(n-1)(Pn-Pn-1 + Pn-2 -Pn-1 ) Q”(0)=m(m-1)(Q2- 2Q1+Q0)= m(m-1)(Q2-Q1+Q0 -Q1),Pn-Pn-1,Pn-2 -Pn-1,Q0 -Q1,Q2-Q1,几何意义：除了对Pn-1 , Pn (Q0) , Q1控制点的位置有要求外，还对Pn-2 , Q2控制点的位置有要求。它们的位置必须使两个红色的矢量相等,Bezier曲线的生成(1),在实际应用Bez
8、ier曲线段绘制曲线时，常运用3次曲线，即n=3。这是因为： 一次曲线是直线，二次曲线是抛物线，它们表现复杂曲线的变化能力稍差；而三次曲线在一个小的局部，足够了。 次数太大，数学计算量大，且容易产生累积误差，影响精度。 次数太大，一段曲线的控制点太多，不利于人机交互调整曲线形状。,Bezier曲线的生成(2),下面来推导3次Bezier曲线的计算公式 n=3 由式（9-1），（9-2）可得：用矩阵表示如下：,（9-3）,（9-4）,Bezier曲线的生成(3),P(t)是空间点，用坐标形式表示为x(t),y(t),z(t) 由式（9-3）可知，实际坐标值可用下式分别计算：只要在0,1计算若干个
9、t值，如t=0,0.1,0.2,1,求出相应的坐标，用直线将这些点连接起来，就构成了曲线。 若要画二维曲线，只要计算x(t),y(t)。,P(t)的三个分量,Bezier曲线的手工生成(1),Bezier曲线上的点可以根据控制点精确得到,P0,P1,P2,P3,P0 ,P1 ,P2 ,P0 “,P1 “,P0 “,P0,P1,P2,P3,P0 ,P1 ,P2 ,P0 “,P1 “,P0 “,Bezier曲线的手工生成(2),P0”是曲线上的点P(1/2) 如果每次取得不是中点，而是1/3点，最终得到的点是P(1/3) 如果每次取得不是中点，而是1/n点，最终得到的点是P(1/n) P0”将一段
10、曲线分成两段，每一段成为一段新的Bezier曲线，其新的控制点如图所示 在新的Bezier曲线上可以继续精确取点,反算Bezier曲线控制点,给定n+1个型值点Qi(i=0,1,n)，要求构成的Bezier曲线通过这些点。 取参数ti=i/n与Qi相对应 根据式9-1，Bezier曲线方程为,解n+1个方程，得到P0 ,P1 Pn曲线控制点,Bezier曲线升阶,增加控制点，提高对曲线的灵活控制。 升阶前后，曲线形状不发生变化。 通过公式变换，找出升阶前后控制点之间的关系。 升阶前： 升阶后： 两者曲线相同： 左式乘以(t+(1-t)：,Bezier曲线升阶,比较两边同类项的系数得： 化简得：
11、例：一段3次曲线，控制点为P0,P1,P2,P3 ，升阶为4次曲线控制点为Q0,Q1,Q2,Q3,Q4 ，两者关系为Q0=P0，Q1=1/4P0+3/4P1 ，Q2=2/4P1+2/4P2Q3=3/4P2+1/4P3 ， Q4=P3。,Bezier曲线升阶,新的控制点是对老的控制多边形在参数i/(n+1)处进行线性插值的结果 升阶后的新控制多边形在老控制多边形凸包中 升阶后的新控制多边形比老控制多边形更接近Bezier曲线,B样条曲线,B样条曲线定义： 设P1,P2,Pn(n=k)为给定空间的n个点，称下列参数曲线为k阶或k-1次的样条曲线。折线 P1,P2,Pn为P(t)的控制多边形，这n个
12、点为P(t)的控制顶点。 B样条曲线定义式与Bezier曲线形式类似，不同之处在于，其基函数由Bernstein基函数变成了B样条基函数Bi,k(t),（9-6）,B样条基函数,B样条基函数是由参数k的递推关系所定义的其中，T=ti, i=0, 1, 2,是对参数轴t的一个划分。如果划分是等距离的，即对于任意i, ti+1 - ti=(i+1)-i=1，形成的是均匀B样条曲线。我们只讨论均匀B样条曲线,B样条基函数分析,B样条基函数是递推定义：B样条基函数的次数：k=1时， Bi,k(t) 为常数1, 0次；k=2时， Bi,k(t) 为1次； k=3时， Bi,k(t) 为二次函数； k=4
13、时， Bi,k(t) 为三次函数。,B样条基函数分析,局部性Bi,1(t) 的定义域为ti,ti+1)Bi,2(t) 由两段Bi,1(t)， Bi+1,1(t)组成，定义域为ti,ti+1) ti+1,ti+2) = ti,ti+2) Bi,3(t)的定义域为ti,ti+3)Bi,4(t)的定义域为ti,ti+4)这意味着一个控制点Pi对整个曲线的影响只局限在k个分割区域ti,ti+k)中,B样条基函数分析,反之，一段定义在区间ti,ti+1)上的B样条曲线Pi(t)只由k个控制点决定Pi-k ,Pi-1 ,Pi ,。整个B样条曲线就是这样一段一段绘制完成的 只要能解决一段定义在区间ti,ti
14、+1)上的B样条曲线Pi(t)的绘制就能绘制整段曲线。,B样条曲线段的绘制,以最简单的k=2情况为例，说明如何由定义式推出曲线段的计算公式： k=2，一段曲线Pi,2(t)只有两个控制点。由式（9-6）可得：,B样条曲线段的绘制,所以,同理,在t2tt3中,因为：ti=i,令t=t-t2,0t1,在定义域范围内,B样条曲线段的绘制,参数仍用t表示，可得k=2时：,同样，k=3、4时可以得到第i段曲线的矩阵表示：,（9-7）,（9-8）,（9-9）,B样条曲线段的绘制,对于n个控制点的构成的整个k阶曲线，整个曲线表示如下：整个曲线共由n-k+1个曲线段组成； 第一个曲线段为 ，最后一个曲线段为
15、曲线段 其形状由k个控制点Pi-k+1,Pi-k+2,Pi 的位置确定。 只要绘制出每一个曲线段，就能绘制出整个阶曲线。,B样条曲线的性质,以一段3次曲线(k=4)为例，说明B样条曲线的性质。P(t)的控制点为P1,P2,P3,P4 。 1、端点：P(t)的起点为P(0) ，终点为P(1) 。由式（9-9）P(0) =1/6(P1+4P2+P3) ,P(1) =1/6(P2+4P3+P4)先看起点， P(0) =P2+1/3 (1/2( P1+P3 ) -P2) 一个空间点可以看成是一个空间矢量。以平面上的点和平面矢量为例，回顾矢量加减法,B样条曲线的性质,B样条曲线的性质,2、端点的切线:P
16、(0)，P(1)我们讨论切线，只是想了解曲线的方向。由式（9-9）P(0)=1/2(P3-P1), P(1)=1/2(P4-P2),B样条曲线的性质,3、凸包性：曲线段在控制点所围成的凸包内,4、连续性：第一个曲线段的控制点为P1,P2,P3,P4,第二个曲线段的控制点为P2,P3,P4,P5,相邻的两个曲线段有三个共同的控制点。,B样条曲线的性质,决定第一段终点的控制点与决定第二段起点的控制点完全一样。那么，第一段终点的位置和方向与第二段起点的位置和方向完全一致，因此相邻的曲线段自动连接。可以证明，曲线在连接处具有k-1阶连续。 这是B样条曲线优于Bezier曲线的地方，即不必为了在连接处保
17、持一定的平滑度，而处心积虑地安排、调整控制点位置。它能自动地平滑连接。,三次Hermite曲线,一条三次参数曲线的代数形式是：P(t)=a3t3+a2t2+a1t+a0, t0,1 四个系数a3、a2 、a1、a0唯一地确定了曲线的形状和位置。 四个系数需要四个已知条件来确定，这种根据四个已知条件来确定的一条三次参数曲线称为三次Hermite曲线。,（9-10）,三次Hermite曲线,在实际应用中，常用的条件是：两个端点P(0)、P(1)和对应的切矢量P(0)、P(1)。 另一个常用的条件是：曲线上均匀分布的四个点P(0)、P(1/3) 、P(2/3) 、P(1)。这种情况是我们要介绍的。
18、下面我们推导出由曲线上均匀分布的四个点P(0)、P(1/3) 、P(2/3) 、P(1)决定的曲线。,三次Hermite曲线,由（9-10）知： P(0)=a0 P(1/3)=1/27a3+1/9a2+1/3a1+a0 P(2/3)=8/27a3+4/9a2+1/3a1+a0 P(1)= a3 +a2+a1+a0 解得： a3 = - 9/2P(0)+27/2P(1/3)-27/2P(2/3)+9/2P(1) a2 = 9P(0)-45/2P(1/3)+18P(2/3)-9/2P(1) a1 = -11/2P(0)+9P(1/3)-9/2P(2/3)+P(1) a0 = P(0),（9-11）
19、,三次Hermite曲线,由(9-10),(9-11)可得：,(9-12),由(9-12)可以计算出一系列的曲线上的点，进而画出曲线。,Hermite曲线的性质,Hermite曲线的控制点直接位于曲线之上，这种控制点称为型值点，对于确定曲线的位置十分有利。 三次Hermite曲线的起点和终点分别位于第一和第四个控制点上。 对于一系列控制点所形成的三次Hermite曲线，控制点应该分成每四个一组，每一组形成一段曲线。为了使每个曲线段连接起来，相邻两组的控制点应有一个控制点是重复的，即前一组的最后一个控制点同时也是后一组的第一个控制点。 曲线段相接处可能不光滑，可以通过调整控制点位置，使曲线段相接
20、处光滑起来。,曲面,曲面和曲线一样，也是用参数的形式表示。不同的是，曲面参数是二维的，用(u,v)表示 曲面和曲线类似，是用分片表示的。整个曲面是由一系列的分片拼接而成的。,Bezier曲面,一个三次Bezier曲面片的控制点有4x4个 一个三次Bezier曲面片的代数形式是,相应的矩阵形式是,B样条曲面,一个三次B样条曲面片的控制点有4x4个 一个三次B样条曲面片的代数形式是,相应的矩阵形式是,Hermite曲面,一个三次Hermite曲面片的控制点有4x4个 一个三次Hermite曲面片的代数形式是,相应的矩阵形式是,曲面,曲面P(u,v)上的任意点可以通过给定参数u,v (0=u,v=1
21、)、计算P(u,v)来得到。 一个曲面常用几条曲面上的曲线来表示。 曲面P(u,v)上的曲线可以通过固定u或v得到，例如 P(0,v)， P(1/2,v)， P(1,v)， P(u,0) P(u,1/3)， P(u,2/3) ，P(u,1)等都是常用来表示曲面的曲线。,曲面片的连接,曲面片的连接与曲线段的连接有类似的情况 Bezier曲面片的连接 两个Bezier曲面片分别由Pij 、Qij(i,j=1,4)控制点确定。如果要求两个曲面片相连，则要求控制点Pi4 =Qi1(i=1,4)；如果要求两个曲面片在连接处一阶平滑，则要求控制点Pi3 ， Pi3 (Qi1) , Qi2 在一条直线上(i
22、=1,4) 。,曲面片的连接,B样条曲面的连接与B样条曲线的连接类似，在两个曲面连接处自动实现光滑连接。 4x5个控制点Pij (i=1,4 ；j =1,5 )决定两个相邻曲面的形状，其中Pij (i=1,4 ；j =1,4 )决定一个曲面的形状， Pij (i=1,4 ；j =2,3 )决定另一个曲面的形状。 两个相邻曲面拥有12个共同的控制点Pij (i=1,4 ；j =2,4 ),曲面片的连接,Hermite曲面的连接与Bezier曲面类似 两个Hermite曲面片分别由Pij 、Qij(i,j=1,4)控制点确定。如果要求两个曲面片相连，则要求控制点Pi4 =Qi1(i=1,4)；如果要求两个曲面片在连接处平滑，则要调整控制点。,
