1、第三章,刚体和流体,3-1 刚体及其运动规律,刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变,3-1-1 刚体的运动,平动和转动,平动：,刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。,可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。,注：,转动：,刚体上所有质点都绕同一直线做圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。,定轴转动：,转轴固定不动的转动。,3-1-2 刚体对定轴的角动量,质元：组成物体的微颗粒元,质元对点的角动量为,沿转轴Oz的投影为,刚体对Oz轴的角动量为,为刚体对 Oz 轴的转动惯量。,单位：,刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。,结论：,对于质
2、量连续分布的刚体：,（面质量分布）,（线质量分布）,例1 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。,解：,例2 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。,解：,平行轴定理,若刚体对过质心的轴的转动惯量为JC ，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是,设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量为J，则定义物体对该转轴的回转半径rG为：,回转半径,例3 计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r。）,解：,摆杆转动惯量：,摆锤转动惯量：,3-1-3 刚体对定轴的角动量定理 和转动定律,由质点系对轴的角动量定理，可
3、得,两边乘以dt，并积分,刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。,当 J 转动惯量是一个恒量时，有,刚体在做定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。,转动定律：,例1：如图所示，一滑轮可看作均匀薄圆盘。质量为m，半径为R。在圆盘边缘上绕一细绳，两端挂着质量为m1与m2的物体。若m1 m2 ，忽略轴上摩擦力，且绳与圆盘之间无滑动。求圆盘角加速度 与物体m1 、m2的加速度a。（圆盘对中心轴的转动惯量mR2/2 ）,初看起来，滑轮两边的物体一上一下，似乎是质点动力学问题。但是绳子不是在滑轮上滑过去，而是通过摩擦
4、带动滑轮旋转。既然有摩擦，滑轮两边绳中张力并不相等，其差与滑轮转动有关。问题既然涉及到滑轮的转动，就不是质点动离学问题，而是刚体动力学问题了。,运用隔离法，对滑轮及物体进行受力分析。选地面为参照系，由牛顿第二定律可列出物体的运动方程,由于绳与滑轮之间无滑动，所以两物体的加速度大小相同。,滑轮的运动方程可由转动定律给出,解上述方程即可得出,由此看出，滑轮两边的张力并不相等。但若滑轮质量可以忽略，即m=0，则有,这就是质点动力学问题了。,例2 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴转动设大小圆柱体的半径分别R为r和，质量分别为m和M绕在两柱体上的细绳分别与物体 相连， 挂在圆柱体的两
5、侧，如题图所示已知R0.20m, r0.10m，m4 kg，M10kg, 开始时， 离地均为h2m求： (1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力,解: 设,和分别为,和柱体的加速度及角加速度，方向如图,解方程,例3 计算如图所示系统中物体的加速度设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为，半径为，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设 ,M15 kg, r0.1 m 解: 分别以,滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示对,运用牛顿定律，有,则有,例4 质量为m0 =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求：（1）由静
6、止开始1秒钟后，物体下降的距离；（2）绳子的张力。,解：,例5 一质量为m，长为l 的均质细杆，转轴在O点，距A端 l/3 处。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求：（1）水平位置的角速度和角加速度;（2）垂直位置时的角速度和角加速度。,解：,（1）,（2）,例6 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为0，绕中O心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）,O,r,解：,dr,R,3-1-4 刚体对定轴的角动量守恒定律,刚体对定轴的角动量定理,刚体对定轴的角动量守恒定律：,当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。,注意：该
7、定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。,说明：,1. 物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。,2. 几个物体组成的系统，绕一公共轴转动，则对该公共转轴的合外力矩为零时，该系统对此轴的总角动量守恒,3-1-5 力矩的功,力矩：,力矩对刚体所作的功：,功率：,力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。,3-1-6 刚体的定轴转动动能和动能定理,z,第i个质元的动能：,整个刚体的转动动能：,设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移d,元功：,由转动定律,有,刚体绕定轴转动的动能定理 ：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,例7 质量为m0 ，
8、长为2l 的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。,解：,由系统角动量守恒,机械能守恒,设碰撞时间为t,消去t,例8 一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为30。问子弹的初速度为多少。,解：,角动量守恒：,机械能守恒：,例9 一质量为m0 ，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？,m,m0,m,解：,解得,例10 长为 l 的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在 A 处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求： 细直杆的质量m0； 碰撞后细直杆摆动的最大角度。（忽略一切阻力）,解：, 按角动量守恒定律,系统的动能守恒,解得,系统的机械能守恒，有,
