1、第三章 随机变量的数字特征,分布函数能完整地描述随机变量的统 计特性, 但实际应用中, 有时并不需要知道 分布函数而只需知道随机变量的某些特征.,判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度，,平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;,又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度.,例如：,考察一射手的水平, 既要看他的平均 环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否 小, 即数据的波动是否小.,由上面例子看到，与随机变量有关的 某些数值，虽不能完整地描述随机变量， 但能清晰地描述随机变量在某些方面的重 要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都 具有重要意义.,随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写,第三章
2、 随机变量的数字特征,3.1 数学期望与方差,(1) 离散型场合,第三章 随机变量的数字特征,注：离散型随机变量的数学期望由分布列唯一决定，,其与 取值顺序无关.,(2) 连续型场合,第三章 随机变量的数字特征,数学期望的本质 加权平均,它是一个数而不再是 r.v.,第三章 随机变量的数字特征,注意: 不是所有的随机变量都有数学期望！,再比如：,设离散型 分布列为：,例1 设 N ( , ), 求 E .,解,例2 设 G(p)，求E .,解,例2,常用分布的数学期望,参数为p 的 0-1分布,p,B(n,p),np,P(),U(a,b),E(),N(, ),设离散型 r.v. 的概率分布为,
3、若无穷级数,绝对收敛，则,设连续型 r.v. 的 p.de.f. 为f (x),绝对收敛, 则,若广义积分,设离散型 r.v. ( , ) 的联合概率分布为,绝对收敛 , 则,若级数,设连续型 r.v. ( , )的联合 de.f. 为,f (x ,y) ，,绝对收敛, 则,若广义积分,例 3,第三章 随机变量的数字特征,例 4,第三章 随机变量的数字特征,解：,设( , )在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域. 求E ，E(-3 +2 )，E（ ）.,E (C ) = C,E (C ) = CE,E ( + ) = E + E,当 , 独立时，E ( )
4、 = E E .,期望性质,性质 4 的逆命题不成立，即,若E ( ) = E E ，则 与 不一定独立,注,反例,p j,pi,附录1,但,方 差,第三章 随机变量的数字特征,若 存在, 则称其为随机,称,为 的均方差或标准差.,定义,即,变量 的方差, 记为D 或 Var ( ),两者量纲相同,概念,D 描述 r.v. 的取值与平均值的平均偏离程度, 数,若 为离散型 r.v.，分布列为,若 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x),计算方差的常用公式：,方差的计算,推论：,例5 设 P (), 求D .,解,例1,例6 设 N ( , ), 求 D,解,例3,常见分布的方差,参数为p
5、的 0-1分布,p(1-p),B(n,p),np(1-p),P(),方差表,区间(a,b)上 的均匀分布,E(),N(,),例7,解,现在，我们希望找到一种适合一切随机变量的数学期望的定义，把离散型和连续型这两种情况作为特例.,若随机变量 的分布函数为 ，类似于连续型的场合，作很密的分割 ，则 落在 中的概率等于 ，因此,与以概率 取值 的离散型随机变量近似，而后者的数学期望为,注意到上式是斯蒂尔切斯积分 的渐近和式，这启示我们引进下面的定义.,定义,若 的分布函数为 ，则定义,为 的数学期望. 这里我们还是要求上述积分绝对收敛，否则数学期望不存在.,关于斯蒂尔切斯积分 ，我们仅列举它的如下性
6、质：,（1）当 为跳跃函数，在 具有跃度 时，上面的积分化为无穷级数,（2）当 存在导数 时，积分化为黎曼积分,随机变量函数的数学期望,定理,这个定理的证明要用到积分论，超出了本课程的范围.,（*）,离散型场合，公式（*）化为,连续型场合，,公式（*）化为,性质,定义,性质,性质,标准化随机变量,设 r.v. 的期望E 、方差D 都存在, 且 D 0, 则称,为 的标准化随机变量. 显然，,对任意常数 x, D E( x)2 ,当且仅当 x = E 时等号成立.,性质,证明,设 r.v. 的方差D 存在， 则对于任意实数 0,有,证 设 的分布函数为 则,5.1,定理,D = 0,P ( =
7、E ) =1,即 以概率 1 等于常数 E,推论,证明,例8 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试 估计在任选的 6000 粒种子中, 良种所占比 例与1/6 比较上下小于1%的概率.,解 设 表示 6000 粒种子中的良种数 ,则, B (6000,1/6 ),例1,实际精确计算,用Poisson 分布近似计算,取 = 1000,例9 设每次试验中，事件 A 发生的概率为0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 0.76 之间的概率不小于 0.90?,解 设 表示 n 次独立重复试验中事件 A发生的次数 , 则, B(n,0.75),要使,，求 n,例2,即,由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故,令,解得,
